Jump to content

Группы точек в четырех измерениях

(Перенаправлено с гексадекахорной симметрии )
Иерархия четырехмерных точечных групп и некоторых подгрупп. Вертикальное позиционирование сгруппировано по порядку. Синим, зеленым и розовым цветами показаны отражательные, гибридные и вращательные группы.
Некоторые группы четырехмерных точек в обозначениях Конвея.

В геометрии группа точек в четырех измерениях — это группа изометрий в четырех измерениях, оставляющая начало координат фиксированным, или, соответственно, группа изометрий трехмерной сферы .

История четырехмерных групп

[ редактировать ]
  • 1889 Эдуард Гурса , Об ортогональных заменах и правильных делениях пространства , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Ser. 3, 6, (стр. 9–102, стр. 80–81 тетраэдры), тетраэдр Гурса
  • 1951, AC Hurley, Группы конечного вращения и кристаллические классы в четырех измерениях , Труды Кембриджского философского общества, том. 47, выпуск 04, с. 650 [1]
  • 1962 А. Л. Маккей Браве Решетки в четырехмерном пространстве [2]
  • 1964 Патрик дю Валь , Гомографии, кватернионы и вращения , кватернионов. 4D точечные группы на основе
  • 1975 Ян Мозжимас, Анджей Солецкий, Точечные группы R4 , Отчеты по математической физике, Том 7, Выпуск 3, с. 363-394 [3]
  • 1978 Х. Браун, Р. Бюлов, Дж. Нойбюзер, Х. Вондратчек и Х. Зассенхаус, Кристаллографические группы четырехмерного пространства. [4]
  • 1982 Н. П. Уорнер, Группы симметрии правильных мозаик S2 и S3. [5]
  • 1985 EJW Whittaker, Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов.
  • 1985 HSM Коксетер , Регулярные и полуправильные многогранники II , Обозначение Кокстера для 4D точечных групп
  • 2003 Джон Конвей и Смит, О кватернионах и октонионах , Завершенные кватернионов . 4D точечные группы на основе
  • 2018 Н. В. Джонсон «Геометрии и преобразования» , главы 11,12,13, Полные полихорические группы, с. 249, дуопризматические группы с. 269

Изометрии четырехмерной точечной симметрии

[ редактировать ]

Существует четыре основные изометрии четырехмерной точечной симметрии : симметрия отражения , симметрия вращения , симметрия ротора и двойное вращение .

Обозначения групп

[ редактировать ]

Группы точек в этой статье даны в нотации Кокстера , которые основаны на группах Кокстера , с разметкой для расширенных групп и подгрупп. [6] Обозначение Кокстера имеет прямое соответствие диаграмме Кокстера, например [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] и [p,2,q]. Эти группы связали 3-сферу в идентичные гиперсферические тетраэдрические домены. Количество доменов соответствует порядку группы. Число зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h группы Кокстера — число Кокстера , n — размерность (4). [7]

Для перекрестных ссылок здесь также приведены основанные на кватернионах. обозначения Патрика Дю Валя (1964), [8] и Джон Конвей (2003). [9] Обозначения Конвея позволяют вычислять порядок группы как произведение элементов с порядками групп киральных многогранников: (T = 12, O = 24, I = 60). В обозначениях Конвея префикс (±) подразумевает центральную инверсию , а суффикс (.2) подразумевает зеркальную симметрию. Точно так же в обозначениях Дю Валя есть верхний индекс звездочки (*), обозначающий зеркальную симметрию.

Группы инволюции

[ редактировать ]

Существует пять инволюционных групп: нет симметрии [ ] + , отражательная симметрия [ ], 2-кратная вращательная симметрия [2] + , 2-кратное роторное отражение [2 + ,2 + ] и симметрия центральной точки [2 + ,2 + ,2 + ] как 2-кратное двойное вращение .

Группы Кокстера 4-го ранга

[ редактировать ]

Полихорическая группа — одна из пяти групп симметрии 4-мерных правильных многогранников . Существуют также три многогранные призматические группы и бесконечное множество дуопризматических групп. Каждая группа определяется тетраэдра Гурса, фундаментальной областью ограниченной зеркальными плоскостями. Двугранные углы между зеркалами определяют порядок двугранной симметрии . Диаграмма Коксетера-Дынкина представляет собой граф, узлы которого представляют зеркальные плоскости, а ребра называются ветвями и помечены порядком двугранных углов между зеркалами.

Термин полихорон (множественное число полихора , прилагательное полихорик ) происходит от греческих корней поли («много») и хорос («комната» или «пространство») и защищался. [10] Нормана Джонсона и Джорджа Ольшевского в контексте однородной полихоры (4-многогранников) и связанных с ними 4-мерных групп симметрии. [11]

Ортогональные подгруппы

B 4 можно разложить на 2 ортогональные группы, 4 A 1 и D 4 :

  1. = (4 ортогональных зеркала)
  2. = (12 зеркал)

F 4 можно разложить на 2 ортогональные группы D 4 :

  1. = (12 зеркал)
  2. = (12 зеркал)

B 3 × A 1 можно разложить на ортогональные группы 4 A 1 и D 3 :

  1. = (3+1 ортогональные зеркала)
  2. = (6 зеркал)

4-го ранга Группы Кокстера позволяют набору из 4 зеркал охватывать 4-пространство и делят 3-сферу на тетраэдрические фундаментальные области. Группы Кокстера более низкого ранга могут ограничивать только фундаментальные области осоэдра или гомотопа на 3-сфере.

Как и трехмерные многогранные группы , имена данных четырехмерных полихорических групп состоят из греческих префиксов количества ячеек соответствующих правильных многогранников с треугольными гранями. [12] Расширенные симметрии существуют в однородной полихоре с симметричными кольцевыми узорами в рамках конструкции диаграммы Коксетера . Киральные симметрии существуют в чередующейся однородной полихоре.

Только неприводимые группы имеют числа Кокстера, но дуопризматические группы [p,2,p] можно удвоить до p,2,p, добавив 2-кратное вращение к фундаментальной области, и это дает эффективное число Кокстера 2 p , для например, группа [4,2,4] и ее полная симметрия B 4 , [4,3,3] с числом Кокстера 8.

Вейль
группа
Конвей
Кватернион
Абстрактный
структура
Коксетер
диаграмма
Коксетер
обозначение
Заказ Коммутатор
подгруппа
Коксетер
число

(час)
Зеркала
(м)
Полные полихорические группы
A 4 + 1 / 60 [I×I].2 1 С 5 [3,3,3] 120 [3,3,3] + 5 10
Д 4 ±1/3[T×T].2 1/2. 2 С 4 [3 1,1,1 ] 192 [3 1,1,1 ] + 6 12
Б 4 ±1/6[O×O].2 2 С 4 = С 2 С 4 [4,3,3] 384 8 4 12
FF4 ±1/2[O×O].2 3 3. 2 С 4 [3,4,3] 1152 [3 + ,4,3 + ] 12 12 12
Ч 4 ±[I×I].2 2.(A 5 ×A 5 ).2 [5,3,3] 14400 [5,3,3] + 30 60
Полные многогранные призматические группы
А 3 А 1 +1/24[O×O].2 3 S 4 ×D 1 [3,3,2] = [3,3]×[ ] 48 [3,3] + - 6 1
Б 3 А 1 ±1/24[O×O].2 S 4 ×D 1 [4,3,2] = [4,3]×[ ] 96 - 3 6 1
Ч 3 А 1 ±1/60[I×I].2 A 5 ×D 1 [5,3,2] = [5,3]×[ ] 240 [5,3] + - 15 1
Полные дуопризматические группы
1 = 2Д 2 ±1/2[D 4 ×D 4 ] Д 1 4 = Д2 2 [2,2,2] = [ ] 4 = [2] 2 16 [ ] + 4 1 1 1 1
Д 2 Б 2 ±1/2[D 4 ×D 8 ] D 2 ×D 4 [2,2,4] = [2]×[4] 32 [2] + - 1 1 2 2
D2AD2A2 ±1/2[D 4 ×D 6 ] D 2 ×D 3 [2,2,3] = [2]×[3] 24 [3] + - 1 1 3
Д 2 Г 2 ±1/2[D 4 ×D 12 ] D 2 ×D 6 [2,2,6] = [2]×[6] 48 - 1 1 3 3
Д 2 Ч 2 ±1/2[D 4 ×D 10 ] D 2 ×D 5 [2,2,5] = [2]×[5] 40 [5] + - 1 1 5
2B2Б2 ±1/2[D 8 ×D 8 ] Д 4 2 [4,2,4] = [4] 2 64 [2 + ,2,2 + ] 8 2 2 2 2
B2AБ2А2 ±1/2[D 8 ×D 6 ] D 4 ×D 3 [4,2,3] = [4]×[3] 48 [2 + ,2,3 + ] - 2 2 3
Б 2 Г 2 ±1/2[D 8 ×D 12 ] D 4 ×D 6 [4,2,6] = [4]×[6] 96 - 2 2 3 3
Б 2 Ч 2 ±1/2[D 8 ×D 10 ] D 4 ×D 5 [4,2,5] = [4]×[5] 80 [2 + ,2,5 + ] - 2 2 5
2A2А2 ±1/2[D 6 ×D 6 ] Д 3 2 [3,2,3] = [3] 2 36 [3 + ,2,3 + ] 6 3 3
A2GA2G2 ±1/2[D 6 ×D 12 ] D 3 ×D 6 [3,2,6] = [3]×[6] 72 - 3 3 3
2 ±1/2[D 12 ×D 12 ] Д 6 2 [6,2,6] = [6] 2 144 12 3 3 3 3
A2HA2H2 ±1/2[D 6 ×D 10 ] D 3 ×D 5 [3,2,5] = [3]×[5] 60 [3 + ,2,5 + ] - 3 5
G2HG2H2 ±1/2[D 12 ×D 10 ] D 6 ×D 5 [6,2,5] = [6]×[5] 120 - 3 3 5
2H2H2 ±1/2[D 10 ×D 10 ] Д 5 2 [5,2,5] = [5] 2 100 [5 + ,2,5 + ] 10 5 5
В общем, p,q=2,3,4...
2 (2п) ±1/2[D 4p ×D 4p ] Д 2п 2 [2п,2,2п] = [2п] 2 16р. 2 [п + ,2,п + ] п п п п
2 (п) ±1/2[D 2p ×D 2p ] Д п 2 [п,2,п] = [п] 2 2 п п
Я 2 (п)Я 2 (д) ±1/2[D 4p ×D 4q ] D 2p ×D 2q [2p,2,2q] = [2p]×[2q] 16pq [п + ,2,д + ] - п п д д
Я 2 (п)Я 2 (д) ±1/2[D 2p ×D 2q ] D p ×D q [p,2,q] = [p]×[q] 4pq - п д

Порядок симметрии равен числу ячеек правильного полихорона, умноженному на симметрию его ячеек. Всеусеченная двойная полихора имеет клетки, соответствующие фундаментальным областям группы симметрии.

Сети для выпуклых правильных 4-многогранников и всеусеченных двойственных многогранников.
Симметрия A 4 Д 4 Б 4 FF4 Ч 4
4-многогранник 5-клеточный полудессеракт тессеракт 24-ячеечный 120-ячеечный
Клетки 5 {3,3} 16 {3,3} 8 {4,3} 24 {3,4} 120 {5,3}
Симметрия клеток [3,3], порядок 24 [4,3], порядок 48 [5,3], порядок 120
Диаграмма Кокстера =
4-многогранник
сеть
Всеобрезание всеобщий. 5-клеточный всем подводить всеобщий. тессеракт всеобщий. 24-ячеечный всеобщий. 120-ячеечный
Всеобрезание
двойной
сеть
Диаграмма Кокстера
Клетки 5×24 = 120 (16/2)×24 = 192 8×48 = 384 24×48 = 1152 120×120 = 14400

Хиральные подгруппы

[ редактировать ]
Ребра из 16 ячеек , проецированные на 3-сферу, представляют собой 6 больших кругов симметрии B4. В каждой вершине сходятся 3 круга. Каждый круг представляет собой оси 4-кратной симметрии.
Края из 24 ячеек , проецируемые на 3-сферу, представляют собой 16 больших кругов симметрии F4. В каждой вершине встречаются четыре круга. Каждый круг представляет собой оси 3-кратной симметрии.
Ребра из 600 ячеек , проецированные на трехмерную сферу, представляют собой 72 больших круга симметрии H4. В каждой вершине сходятся шесть окружностей. Каждый круг представляет собой оси 5-кратной симметрии.

Прямые подгруппы отражающих 4-мерных точечных групп:

Коксетер
обозначение
Конвей
Кватернион
Структура Заказ оси вращения
Полихорические группы
[3,3,3] + +1/60[I× I ] AА5 60 10 3 10 2
3,3,3 + ±1/60[I× I ] A 5 ×Z 2 120 10 3 (10+?) 2
[3 1,1,1 ] + ±1/3[T×T] 1/2. 2 A 4 96 16 3 18 2
[4,3,3] + ±1/6[O×O] 2 A 4 = A 2 ≀A 4 192 6 4 16 3 36 2
[3,4,3] + ±1/2[O×O] 3. 2 A 4 576 18 4 16 3 16 3 72 2
[3 + ,4,3 + ] ±[T×T] 288 16 3 16 3 (72+18) 2
[[3 + ,4,3 + ]] ±[O×T] 576 32 3 (72+18+?) 2
3,4,3 + ±[O×O] 1152 18 4 32 3 (72+?) 2
[5,3,3] + ±[I×I] 2.(A 5 ×A 5 ) 7200 72 5 200 3 450 2
Многогранные призматические группы
[3,3,2] + + 1 / 24 [O× O ] A 4 ×Z 2 24 4 3 4 3 (6+6) 2
[4,3,2] + ±1/24[O×O] S 4 ×Z 2 48 6 4 8 3 (3+6+12) 2
[5,3,2] + ±1/60[I×I] A 5 ×Z 2 120 12 5 20 3 (15+30) 2
Дуопризматические группы
[2,2,2] + +1/2[D 4 ×D 4 ] 8 1 2 1 2 4 2
[3,2,3] + +1/2[D 6 ×D 6 ] 18 1 3 1 3 9 2
[4,2,4] + +1/2[D 8 ×D 8 ] 32 1 4 1 4 16 2
(p,q=2,3,4...), НОД(p,q)=1
[п,2,п] + +1/2[D 2p ×D 2p ] 2 1 р 1 р (пп) 2
[п,2,д] + +1/2[D 2p ×D 2q ] 2pq 1 р 1 кв. (пк) 2
[п + ,2,д + ] +[C p ×C q ] Z p ×Z q ПК 1 р 1 кв.

Пентахорическая симметрия

[ редактировать ]
  • Пентахорическая группа A 4 , [3,3,3], ( ), заказ 120, (Дю Валь #51' (I 1 ;И/К 1 ) †* , Конвей + 1 / 60 [I×I].2 1 ), названный в честь 5-клеточного (пентахорона), заданного кольцевой диаграммой Кокстера. . Ее также иногда называют гипертетраэдрической группой для расширения тетраэдрической группы [3,3]. В этой группе 10 зеркальных гиперплоскостей. Она изоморфна абстрактной симметрической группе S 5 .
    • Расширенная пентахорная группа Aut ( A 4 ) , [[3,3,3]], (на удвоение можно намекнуть с помощью свернутой диаграммы, ), заказ 240, (Дю Валь №51 (I †* 2 ;И/С 2 ) †* , Конвей ± 1 / 60 [I× I ].2). Она изоморфна прямому произведению абстрактных групп: S 5 ×C 2 .
      • Хиральная расширенная пентахорная группа — это [[3,3,3]] + , ( ), заказ 120, (Дю Валь №32 (I 2 ;И/С 2 ) , Конвей ± 1 / 60 [IX I ]). Данная группа представляет собой конструкцию omnisnub 5-cell , , хотя сделать его единым невозможно. Она изоморфна прямому произведению абстрактных групп: A 5 ×C 2 .
    • Хиральная пентахорная группа - это [3,3,3] + , ( ), порядок 60, (Дю Валь #32' (I 1 ;И/К 1 ) , Конвей + 1 / 60 [I× I ]). Она изоморфна абстрактной знакопеременной группе A 5 .
      • Расширенная киральная пентахорная группа : [[3,3,3] + ], заказ 120, (Дю Валь #51" (I 1 ;И/К 1 ) †* , Конвей + 1 / 60 [IxI].2 3 ). Коксетер относит эту группу к абстрактной группе (4,6|2,3). [13] Она также изоморфна симметрической группе S5 абстрактной .

Шестидекахорная симметрия

[ редактировать ]
  • Шестидесятеричная группа B 4 , [4,3,3], ( ), order 384, (Du Val #47 (O/V;O/V) * , Конвей ± 1 / 6 [O×O].2), названный в честь 16-клеточного (гексадекахорон), . В этой группе 16 зеркальных гиперплоскостей, которые можно разделить на 2 ортогональных набора: 12 из [3 1,1,1 ] подгруппы и 4 из подгруппы [2,2,2]. Ее также называют гипероктаэдрической группой для расширения трехмерной октаэдрической группы [4,3] и тессерактической группой для тессеракта . .
    • Хиральная гексадекагорная группа - [4,3,3] + , ( ), order 192, (Du Val #27 (O/V;O/V), Conway ± 1 / 6 [О×О]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснубового тессеракта , , хотя сделать его единым невозможно.
    • Ионная уменьшенная гексадекагорная группа — [4,(3,3) + ], ( ), order 192, (Du Val #41 (T/V;T/V) * , Конвей ± 1 / 3 [Т×Т].2). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции .
    • Полугексадекагорная группа - это [1 + ,4,3,3], ( = ), порядок 192 и такой же, как симметрия #demitessractic : [3 1,1,1 ]. Эта группа выражается в конструкции тессеракта чередующейся из 16 ячеек . = .
      • Группа [1 + ,4,(3,3) + ], ( = ), порядка 96 и то же, что и хиральная демитэссерактическая группа [3 1,1,1 ] + а также является коммутатором группы [4,3,3].
    • Высокоиндексной отражающей подгруппой является призматическая октаэдрическая симметрия , [4,3,2] ( ), порядок 96, индекс подгруппы 4, (Дю Вал #44 (O/C 2 ;O/C 2 ) * , Конвей ± 1 / 24 [О×О].2). Усеченная кубическая призма имеет симметрию с диаграммой Кокстера. а кубическая призма представляет собой конструкцию тессеракта с более низкой симметрией , так как .
      • Его киральная подгруппа — [4,3,2] + , ( ), порядок 48, (Дю Вал № 26 (O/C 2 ; O/C 2 ), Конвей ± 1 / 24 [О×О]). Примером может служить курносая кубическая антипризма . , хотя сделать его единым невозможно.
      • Ионные подгруппы:
        • [(3,4) + ,2], ( ), порядок 48, (Дю Вал # 44b' (O/C 1 ;O/C 1 ) - * , Конвей + 1 / 24 [О×О].2 1 ). Плосконосая кубическая призма имеет симметрию с диаграммой Кокстера. .
          • [(3,4) + ,2 + ], ( ), порядок 24, (Дю Вал #44' (T/C 2 ;T/C 2 ) - * , Конвей + 1 / 12 [T×T].2 1 ).
        • [4,3 + ,2], ( ), порядок 48, (Дю Валь #39 (T/C 2 ;T/C 2 ) c * , Конвей ± 1 / 12 [T×T].2).
          • [4,3 + ,2,1 + ] = [4,3 + ,1] = [4,3 + ], ( = ), заказ 24, (Дю Валь #44" (Т/К 2 ;Т/К 2 ) * , Конвей + 1 / 12 [Т×Т].2 3 ). Это 3D пиритоэдрическая группа , [4,3 + ].
          • [3 + ,4,2 + ], ( ), порядок 24, (Дю Валя № 21 (T/C 2 ; T/C 2 ), Конвей ± 1 / 12 [T×T]).
        • [3,4,2 + ], ( ), порядок 48, (Дю Вал #39' (T/C 2 ;T/C 2 ) - * , Конвей ± 1 / 12 [T× T ].2).
        • [4,(3,2) + ], ( ), порядок 48, (Дю Валя № 40b' (O/C 1 ;O/C 1 ) - * , Конвей + 1 / 24 [O× O ].2 1 ).
      • Полуподгруппа [4,3,2,1 + ] = [4,3,1] = [4,3], ( = ), порядок 48 (Дю Вал № 44b" (O/C 1 ;O/C 1 ) c * , Конвей + 1 / 24 [О×О].2 3 ). Она называется октаэдрической пирамидальной группой и представляет собой трехмерную октаэдрическую симметрию , [4,3]. Кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {4,3}.
        [4,3], , октаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- октаэдрической симметрии
        • Киральная полуподгруппа [(4,3) + ,2,1 + ] = [4,3,1] + = [4,3] + , ( = ), порядок 24 (Дю Вал № 26b' (O/C 1 ;O/C 1 ), Конвей + 1 / 24 [О×О]). Это 3D- хиральная октаэдрическая группа , [4,3] + . Плосконосая кубическая пирамида может иметь такую ​​симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{4,3}.
    • Другой отражающей подгруппой с высоким показателем отражения является призматическая тетраэдрическая симметрия , [3,3,2], ( ), порядок 48, индекс подгруппы 8, (Du Val #40b" (O/C 1 ;O/C 1 ) * , Конвей + 1 / 24 [O× O ].2 3 ).
      • Киральная подгруппа — это [3,3,2] + , ( ), порядок 24, (Дю Валь #26b" (O/C 1 ;O/C 1 ), Конвей + 1 / 24 [О× О ]). Примером может служить курносая тетраэдрическая антипризма . , хотя сделать его единым невозможно.
      • Ионная подгруппа — это [(3,3) + ,2], ( ), порядок 24, (Дю Валь #39b' (T/C 1 ;T/C 1 ) c * , Конвей + 1 / 12 [Т× Т ].2 3 ). Примером может служить курносая тетраэдрическая призма . .
      • Полуподгруппа — это [3,3,2,1 + ] = [3,3,1] = [3,3], ( = ), порядок 24, (Дю Валя #39b" (T/C 1 ;T/C 1 ) - * , Конвей + 1 / 12 [Т× Т ].2 1 ). Она называется тетраэдрической пирамидальной группой и представляет собой 3D- тетраэдрическую группу , [3,3]. Правильная тетраэдральная пирамида может иметь такую ​​симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ {3,3}.
        [3,3], , тетраэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- тетраэдрической симметрии
        • Киральная полуподгруппа [(3,3) + ,2,1 + ] = [3,3] + ( = ), порядок 12, (Дю Вал № 21b' (T/C 1 ;T/C 1 ), Конвей + 1 / 12 [Т×Т]). Это 3D хиральная тетраэдрическая группа , [3,3] + . с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{3,3}. курносая тетраэдрическая пирамида Такую симметрию может иметь
    • Другая подгруппа радиальной отражающей способности с высоким индексом - [4,(3,3) * ], индекс 24, удаляет зеркала с двугранными углами порядка 3, создавая [2,2,2] ( ), порядок 16. Остальные — [4,2,4] ( ), [4,2,2] ( ), с индексами подгрупп 6 и 12, порядка 64 и 32. Эти группы являются нижними симметриями тессеракта : ( ), ( ), и ( ). Эти группы обладают #дуопризматической симметрией .

Икоситетрахорическая симметрия

[ редактировать ]
  • Икозитетрахорическая группа F 4 , [3,4,3], ( ), заказ 1152, (Дю Валь #45 (О/Т;О/Т) * , Конвей ± 1 / 2 [OxO].2), названный в честь 24-клеточного (икозитрахорон), . В этой симметрии имеется 24 зеркальные плоскости, которые можно разложить на два ортогональных набора по 12 зеркал с демитэссерактической симметрией [3]. 1,1,1 ] подгруппы, так как [3 * ,4,3] и [3,4,3 * ], как подгруппы индекса 6.
    • Расширенная икоситетрахорная группа , Aut ( F 4 ), [[3,4,3]], ( ) имеет заказ 2304, (Дю Валь #48 (O/O;O/O) * , Конвей ±[O×O].2).
      • Хиральная расширенная икоситетрахорная группа , [[3,4,3]] + , ( ) имеет порядок 1152 (Дю Валя #25 (O/O;O/O), Конвей ±[OxO]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub из 24 ячеек , , хотя сделать его единым невозможно.
    • Ионные уменьшенные икоситетрахорические группы , [3 + ,4,3] и [3,4,3 + ], ( или ), заказ 576, (Дю Валь #43 (T/T;T/T) * , Конвей ±[T×T].2). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции или .
      • Двукратно уменьшенная икоситетрахорическая группа , [3 + ,4,3 + ] (двойное убавление можно показать пробелом в 4-ветви диаграммы: ), порядок 288, (Дю Валя #20 (T/T;T/T), Конвей ±[T×T]) — коммутант группы [3,4,3].
        • Его можно расширить как [[3 + ,4,3 + ]], ( ) порядок 576, (Дю Вал № 23 (T/T;O/O), Конвей ±[OxT]).
    • Хиральная икоситетрахорная группа - это [3,4,3] + , ( ), порядок 576, (Дю Вал № 28 (O/T;O/T), Конвей ± 1 / 2 [O×O]).
      • Расширенная хиральная икоситетрахорная группа , [[3,4,3] + ] имеет порядок 1152, (Дю Вал № 46 (O/T;O/T) * , Конвей ± 1 / 2 [ОхО]. 2 ). Коксетер относит эту группу к абстрактной группе (4,8|2,3). [13]

Демитэссерактическая симметрия

[ редактировать ]
  • Демитэссерактическая группа D 4 , [3 1,1,1 ], [3,3 1,1 ] или [3,3,4,1 + ], ( = ), order 192, (Du Val #42 (T/V;T/V) * , Конвей ± 1 / 3 [T× T ].2), названный в честь (демитесеракта) 4-полукубической конструкции 16-ячеечной клетки, или . В этой группе симметрии 12 зеркал.
    • Существует два типа расширенной симметрии путем добавления зеркал: <[3,3 1,1 ]> который становится [4,3,3] путем разделения фундаментальной области пополам зеркалом, с возможными 3 ориентациями; и полная расширенная группа [3[3 1,1,1 ]] становится [3,4,3].
    • Киральная демитэссерактическая группа — это [3 1,1,1 ] + или [1 + ,4,(3,3) + ], ( = ), order 96, (Du Val #22 (T/V;T/V), Conway ± 1 / 3 [Т×Т]). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции = .

Гексакосихорная симметрия

[ редактировать ]

[5,3,3] + 72 порядка-5 витков

[5,3,3] + 200 порядка-3 оборота

[5,3,3] + 450 порядка-2 оборота

[5,3,3] + все вращения

[5,3], , икосаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- икосаэдрической симметрии
  • Гексакосихорная группа H 4 , [5,3,3], ( ), заказ 14400, (Дю Валь #50 (I/I;I/I) * , Конвей ±[I×I].2), названный в честь 600-клеточного (гексакосихорона), . Ее также иногда называют гипер-икосаэдрической группой из-за расширения трехмерной икосаэдрической группы [5,3] и гекатоникосахорной группы или додекаконтахорной группы из 120-клеточной группы . .
    • Хиральная гексакосихорная группа - это [5,3,3] + , ( ), порядок 7200, (Дю Валя #30 (I/I;I/I), Конвей ±[I×I]). конструкцию Эта группа представляет собой курносую 120-ячеечную , , хотя сделать его единым невозможно.
    • Подгруппа отражающей способности с высоким показателем отражения — это призматическая икосаэдрическая симметрия , [5,3,2], ( ), порядок 240, индекс подгруппы 60, (Дю Валя #49 (I/C 2 ;I/C 2 ) * , Конвей ± 1 / 60 [IxI].2).

Дуопризматическая симметрия

[ редактировать ]
  • Дуопризматические группы – [p,2,q], ( ), порядка 4 pq , существуют для всех 2 ⩽ p , q < ∞. В этой симметрии существуют зеркала p + q, которые тривиально разлагаются на два ортогональных набора зеркал p и q двугранной симметрии : [p] и [q].
    • Киральная подгруппа — это [p,2,p] + ,( ), заказывайте 2 шт . Его можно удвоить как [[2p,2,2p] + ].
    • Если p и q равны, [p,2,p], ( ), симметрию можно удвоить как [[p,2,p]], ( ).
      • Удвоение: [[2 + ,2,п + ]], ( ), [[2p,2 + ,2p]], [[2p + ,2 + ,2р + ]].
    • [p,2,∞], ( ), он представляет собой группы линий в трехмерном пространстве,
    • [∞,2,∞], ( ) он представляет собой симметрию евклидовой плоскости с двумя наборами параллельных зеркал и прямоугольной областью ( орбифолд *2222).
    • Подгруппы включают: [p + ,2,q], ( ), [p,2,q + ], ( ), [п + ,2,д + ], ( ).
    • И для четных значений: [2p,2 + ,2q], ( ), [2p,2 + ,2к + ], ( ), [(п,2) + ,2q], ( ), [2p,(2,q) + ], ( ), [(п,2) + ,2к + ], ( ), [2п + ,(2,q) + ], ( ), [2п + ,2 + ,2к + ], ( ), и подгруппа коммунляторов, индекс 16, [2p + ,2 + ,2к + ] + , ( ).
  • Дигональная дуопризматическая группа – [2,2,2], ( ), порядок 16.
    • Киральная подгруппа — это [2,2,2] + , ( ), порядок 8.
    • Расширенный [[2,2,2]], ( ), порядок 32. Дуопризма 4-4 имеет расширенную симметрию, .
      • Киральная расширенная группа — это [[2,2,2]] + , заказ 16.
      • Расширенная киральная подгруппа — это [[2,2,2] + ], порядок 16, с роторно-отражательными генераторами. Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,2).
    • Другие расширенные [(3,3)[2,2,2]]=[4,3,3], порядок 384, #Гексадекахорная симметрия . Тессеракт т.к. обладает такой симметрией, или .
    • Ионные уменьшенные подгруппы - это [2 + ,2,2], порядок 8.
      • Двукратно уменьшенная подгруппа — это [2 + ,2,2 + ], порядок 4.
        • Расширено как [[2 + ,2,2 + ]], порядок 8.
      • Подгруппы роторного отражения [2 + ,2 + ,2], [2,2 + ,2 + ], [2 + ,(2,2) + ], [(2,2) + ,2 + ] порядок 4.
      • Тройная уменьшенная подгруппа — это [2 + ,2 + ,2 + ], ( ), порядок 2. Это 2-кратное двойное вращение и 4D центральная инверсия .
    • Половина подгруппы — [1 + ,2,2,2]=[1,2,2], порядок 8.
  • Треугольная дуопризматическая группа – [3,2,3], , заказ 36.
    • Киральная подгруппа — это [3,2,3] + , заказ 18.
    • Расширенный [[3,2,3]], порядок 72. Дуопризма 3-3 имеет расширенную симметрию: .
      • Киральная расширенная группа — это [[3,2,3]] + , заказ 36.
      • Расширенная киральная подгруппа — это [[3,2,3] + ], порядок 36, с роторно-отражательными генераторами. Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,3).
    • Другие расширенные [[3],2,3], [3,2,[3]] порядка 72 изоморфны [6,2,3] и [3,2,6].
    • И 3,2,3 , порядка 144 , и изоморфен [6,2,6].
    • И [[[3]],2,[3]]], порядка 288, изоморфны [[6,2,6]]. Дуопризма 6–6 обладает такой симметрией, так как или .
    • Ионные уменьшенные подгруппы - это [3 + ,2,3], [3,2,3 + ], порядок 18.
      • Двукратно уменьшенная подгруппа — это [3 + ,2,3 + ], порядок 9.
        • Расширено как [[3 + ,2,3 + ]], порядок 18.
    • Подгруппа с высоким индексом - это [3,2] , порядок 12, индекс 3, которая изоморфна диэдральной симметрии в трехмерной группе, [3,2], D 3h .
      • [3,2] + , заказ 6
  • Квадратная дуопризматическая группа – [4,2,4], , заказ 64.
    • Киральная подгруппа — это [4,2,4] + , заказ 32.
    • Расширенный [[4,2,4]], порядок 128. Дуопризма 4–4 имеет расширенную симметрию: .
      • Киральная расширенная группа — это [[4,2,4]] + , заказ 64.
      • Расширенная киральная подгруппа — это [[4,2,4] + ], порядок 64, с роторно-отражательными генераторами. Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,4).
    • Остальные расширенные [[4],2,4], [4,2,[4]] порядка 128 изоморфны [8,2,4] и [4,2,8]. Дуопризма 4–8 обладает такой симметрией, так как или .
    • И 4,2,4 , порядка 256 , и изоморфен [8,2,8].
    • И [[[4]],2,[4]]] порядка 512, изоморфный [[8,2,8]]. Дуопризма 8–8 обладает такой симметрией, так как или .
    • Ионные уменьшенные подгруппы - это [4 + ,2,4], [4,2,4 + ], порядок 32.
      • Двукратно уменьшенная подгруппа — это [4 + ,2,4 + ], порядок 16.
        • Расширено как [[4 + ,2,4 + ]], порядок 32.
      • Подгруппы роторного отражения [4 + ,2 + ,4], [4,2 + ,4 + ], [4 + ,(2,4) + ], [(4,2) + ,4 + ], ( , , , ) заказ 16.
      • Тройная уменьшенная подгруппа — это [4 + ,2 + ,4 + ], ( ), порядок 8.
    • Полуподгруппы - это [1 + ,4,2,4]=[2,2,4], ( ), [4,2,4,1 + ]=[4,2,2], ( ), заказ 32.
      • [1 + ,4,2,4] + =[2,2,4] + , ( ), [4,2,4,1 + ] + =[4,2,2] + , ( ), порядок 16.
    • Половина подгруппы снова [1 + ,4,2,4,1 + ]=[2,2,2], ( ), порядок 16.
      • [1 + ,4,2,4,1 + ] + = [1 + ,4,2 + ,4,1 + ] = [2,2,2] + , ( ) заказать 8

Краткое описание некоторых четырехмерных точечных групп

[ редактировать ]

Это краткое изложение 4-мерных точечных групп в обозначениях Кокстера . Из них 227 являются кристаллографическими точечными группами (при определенных значениях p и q). [14] [ который? ] (nc) приведен для некристаллографических групп. Некоторые кристаллографические группы [ который? ] индексировать свои заказы (order.index) по их абстрактной групповой структуре. [15]

Конечные группы
[ ]:
SymbolOrder
[1]+1.1
[1] = [ ]2.1
[2]:
SymbolOrder
[1+,2]+1.1
[2]+2.1
[2]4.1
[2,2]:
SymbolOrder
[2+,2+]+
= [(2+,2+,2+)]
1.1
[2+,2+]2.1
[2,2]+4.1
[2+,2]4.1
[2,2]8.1
[2,2,2]:
SymbolOrder
[(2+,2+,2+,2+)]
= [2+,2+,2+]+
1.1
[2+,2+,2+]2.1
[2+,2,2+]4.1
[(2,2)+,2+]4
[[2+,2+,2+]]4
[2,2,2]+8
[2+,2,2]8.1
[(2,2)+,2]8
[[2+,2,2+]]8.1
[2,2,2]16.1
[[2,2,2]]+16
[[2,2+,2]]16
[[2,2,2]]32
[p]:
SymbolOrder
[p]+p
[p]2p
[p,2]:
SymbolOrder
[p,2]+2p
[p,2]4p
[2p,2+]:
SymbolOrder
[2p,2+]4p
[2p+,2+]2p
[p,2,2]:
SymbolOrder
[p+,2,2+]2p
[(p,2)+,2+]2p
[p,2,2]+4p
[p,2,2+]4p
[p+,2,2]4p
[(p,2)+,2]4p
[p,2,2]8p
[2p,2+,2]:
SymbolOrder
[2p+,2+,2+]+p
[2p+,2+,2+]2p
[2p+,2+,2]4p
[2p+,(2,2)+]4p
[2p,(2,2)+]8p
[2p,2+,2]8p
[p,2,q]:
SymbolOrder
[p+,2,q+]pq
[p,2,q]+2pq
[p+,2,q]2pq
[p,2,q]4pq
[(p,2)+,2q]:
SymbolOrder
[(p,2)+,2q+]2pq
[(p,2)+,2q]4pq
[2p,2,2q]:
SymbolOrder
[2p+,2+,2q+]+=
[(2p+,2+,2q+,2+)]
pq
[2p+,2+,2q+]2pq
[2p,2+,2q+]4pq
[((2p,2)+,(2q,2)+)]4pq
[2p,2+,2q]8pq
[[p,2,p]]:
SymbolOrder
[[p+,2,p+]]2p2
[[p,2,p]]+4p2
[[p,2,p]+]4p2
[[p,2,p]]8p2
[[2p,2,2p]]:
SymbolOrder
[[(2p+,2+,2p+,2+)]]2p2
[[2p+,2+,2p+]]4p2
[[((2p,2)+,(2p,2)+)]]8p2
[[2p,2+,2p]]16p2
[3,3,2]:
SymbolOrder
[(3,3)Δ,2,1+]
≅ [2,2]+
4
[(3,3)Δ,2]
≅ [2,(2,2)+]
8
[(3,3),2,1+]
≅ [4,2+]
8
[(3,3)+,2,1+]
= [3,3]+
12.5
[(3,3),2]
≅ [2,4,2+]
16
[3,3,2,1+]
= [3,3]
24
[(3,3)+,2]24.10
[3,3,2]+24.10
[3,3,2]48.36
[4,3,2]:
SymbolOrder
[1+,4,3+,2,1+]
= [3,3]+
12
[3+,4,2+]24
[(3,4)+,2+]24
[1+,4,3+,2]
= [(3,3)+,2]
24.10
[3+,4,2,1+]
= [3+,4]
24.10
[(4,3)+,2,1+]
= [4,3]+
24.15
[1+,4,3,2,1+]
= [3,3]
24
[1+,4,(3,2)+]
= [3,3,2]+
24
[3,4,2+]48
[4,3+,2]48.22
[4,(3,2)+]48
[(4,3)+,2]48.36
[1+,4,3,2]
= [3,3,2]
48.36
[4,3,2,1+]
= [4,3]
48.36
[4,3,2]+48.36
[4,3,2]96.5
[5,3,2]:
SymbolOrder
[(5,3)+,2,1+]
= [5,3]+
60.13
[5,3,2,1+]
= [5,3]
120.2
[(5,3)+,2]120.2
[5,3,2]+120.2
[5,3,2]240 (nc)
[31,1,1]:
SymbolOrder
[31,1,1]Δ
≅[[4,2+,4]]+
32
[31,1,1]64
[31,1,1]+96.1
[31,1,1]192.2
<[3,31,1]>
= [4,3,3]
384.1
[3[31,1,1]]
= [3,4,3]
1152.1
[3,3,3]:
SymbolOrder
[3,3,3]+60.13
[3,3,3]120.1
[[3,3,3]]+120.2
[[3,3,3]+]120.1
[[3,3,3]]240.1
[4,3,3]:
SymbolOrder
[1+,4,(3,3)Δ]
= [31,1,1]Δ
≅[[4,2+,4]]+
32
[4,(3,3)Δ]
= [2+,4[2,2,2]+]
≅[[4,2+,4]]
64
[1+,4,(3,3)]
= [31,1,1]
64
[1+,4,(3,3)+]
= [31,1,1]+
96.1
[4,(3,3)]
≅ [[4,2,4]]
128
[1+,4,3,3]
= [31,1,1]
192.2
[4,(3,3)+]192.1
[4,3,3]+192.3
[4,3,3]384.1
[3,4,3]:
SymbolOrder
[3+,4,3+]288.1
[3,4,3]
= [4,3,3]
384.1
[3,4,3]+576.2
[3+,4,3]576.1
[[3+,4,3+]]576 (nc)
[3,4,3]1152.1
[[3,4,3]]+1152 (nc)
[[3,4,3]+]1152 (nc)
[[3,4,3]]2304 (nc)
[5,3,3]:
SymbolOrder
[5,3,3]+7200 (nc)
[5,3,3]14400 (nc)

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Херли, AC; Дирак, ПАМ (1951). «Группы конечных вращений и классы кристаллов в четырех измерениях» . Математические труды Кембриджского философского общества . 47 (4): 650–661. Бибкод : 1951PCPS...47..650H . дои : 10.1017/S0305004100027109 . S2CID   122468489 .
  2. ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/Alan/CV25.pdf [ пустой URL PDF ]
  3. ^ Мозжимас, Ян; Солецкий, Анджей (1975). «Группы точек R4». Доклады по математической физике . 7 (3): 363–394. Бибкод : 1975РпМП....7..363М . дои : 10.1016/0034-4877(75)90040-3 .
  4. ^ Браун, Х; Бюлов, Р; Нойбюзер, Дж; Вондраччек, Х; Зассенхаус, Х (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства (PDF) . Уайли .
  5. ^ Уорнер, НП (1982). «Группы симметрии регулярных мозаик S2 и S3». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 383 (1785): 379–398. Бибкод : 1982RSPSA.383..379W . дои : 10.1098/rspa.1982.0136 . JSTOR   2397289 . S2CID   119786906 .
  6. ^ Коксетер, Регулярные и полуправильные многогранники II , 1985, 2.2 Четырехмерные группы отражений , 2.3 Подгруппы малого индекса
  7. ^ Коксетер , Правильные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12.61
  8. ^ Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Оксфорд , 1964.
  9. ^ Конвей и Смит, О кватернионах и октонионах , 2003 г., глава 4, раздел 4.4. Обозначения Коксетера для многогранных групп.
  10. ^ «Выпуклые и абстрактные многогранники», Программа и рефераты, Массачусетский технологический институт, 2005 г.
  11. ^ Джонсон (2015), Глава 11, Раздел 11.5 Сферические группы Кокстера
  12. ^ Что такое многогранники? , с греческими цифровыми префиксами
  13. ^ Перейти обратно: а б Коксетер, Абстрактные группы G м;н;п , (1939)
  14. ^ Вайгель, Д.; Фан, Т.; Вейсейр, Р. (1987). «Кристаллография, геометрия и физика в высших измерениях. III. Геометрические символы для 227 кристаллографических точечных групп в четырехмерном пространстве». Акта Кристаллогр . A43 (3): 294. Бибкод : 1987AcCrA..43..294W . дои : 10.1107/S0108767387099367 .
  15. ^ Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II (1985)
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
  • HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и отношения для дискретных групп. 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 стр.92, стр.122.
  • Джон .Х. Конвей и Гай MJT : Четырехмерные архимедовы многогранники , Материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр. 11.5. 249
  • Джон Х. Конвей и Дерек А. Смит, О кватернионах и октонионах , 2003 г., ISBN   978-1-56881-134-5
  • Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (глава 26)
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0ef2c3d02e06d40515fe2463d1998124__1722574140
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0e/24/0ef2c3d02e06d40515fe2463d1998124.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Point groups in four dimensions - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)