Равномерный 4-многогранник

В геометрии — однородный 4-многогранник (или однородный многогранник ). ^[1] — 4-мерный многогранник , вершинно-транзитивный , ячейки которого представляют собой однородные многогранники , а грани — правильные многоугольники .

Имеется 47 непризматических выпуклых однородных 4-многогранников. Существует два бесконечных множества выпуклых призматических форм, а также 17 случаев, возникающих как призмы выпуклых однородных многогранников. Существует также неизвестное количество невыпуклых звездных форм.

История открытия

Выпуклые правильные многогранники :
- 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописной теории множественной непрерывности , что существует ровно 6 правильных многогранников в 4 измерениях и только 3 в 5 или более измерениях.
Правильные звездчатые 4-многогранники ( ячейки звездчатых многогранников и/или вершинные фигуры )
- 1852 : Людвиг Шлефли также нашел 4 из 10 правильных звездных 4-многогранников, не считая 6 с ячейками или вершинными фигурами { ⁵/ _2,5 } и {5, ⁵/ ₂} .
- 1883 : Эдмунд Гесс книге (на немецком языке) «Введение в теорию сферического деления» со специальным рассмотрением ее применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников завершил список 10 невыпуклых правильных 4-многогранников в своей . специальное рассмотрение его применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников, д-р. Эдмунд Хесс. С шестнадцатью литографированными пластинами. .
Выпуклые полуправильные многогранники категории Коксетера : (Различные определения до однородной )
- 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными ячейками ( платоновых тел ) в своей публикации «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений» . В четырех измерениях это дает выпрямленный 5-элементный , выпрямленный 600-элементный и курносый 24-элементный . ^[2]
- 1910 : Алисия Буль Стотт в своей публикации «Геометрический вывод полуправильных чисел из правильных многогранников и пространственных заполнений » расширила определение, также допустив архимедовы твердые тела и призматические ячейки. Эта конструкция насчитывала 45 полуправильных 4-многогранников, соответствующих перечисленным ниже непризматическим формам. курносая 24-камерная камера и большая антипризма . В ее списке отсутствовали ^[3]
- 1911 : Питер Хендрик Шоут опубликовал «Аналитическое лечение многогранников, регулярно полученных из правильных многогранников» , следуя обозначениям Буля-Стотта, перечисляя выпуклые однородные многогранники по симметрии на основе 5-ячеечных , 8- / 16-ячеечных и 24-ячеечных .
- 1912 : Э. Л. Эльте независимо расширил список Госсета публикацией «Полуправильные многогранники гиперпространств» — многогранники с одним или двумя типами полуправильных граней. ^[4]
Выпуклые однородные многогранники :
- 1940 : Поиск систематически расширялся Х.С.М. Коксетером в его публикации «Регулярные и полуправильные многогранники» .
- Выпуклые однородные 4-многогранники :
  - 1965 : Полный список выпуклых форм был наконец перечислен Джоном Хортоном Конвеем и Майклом Гаем в их публикации «Четырехмерные архимедовы многогранники» , установленной с помощью компьютерного анализа, с добавлением только одного не витоффова выпуклого 4-многогранника, большой антипризмы.
  - 1966 Норман Джонсон защищает докторскую диссертацию. диссертация «Теория однородных многогранников и сот» под руководством консультанта Коксетера завершает основную теорию однородных многогранников для размерностей 4 и выше.
  - В 1986 году Коксетер опубликовал статью «Регулярные и полуправильные многогранники II» , в которой был проведен анализ уникальной курносой 24-ячеечной структуры и симметрии аномальной большой антипризмы.
  - 1998 ^[5]-2000 : 4-многогранники были систематически названы Норманом Джонсоном и даны онлайн-индексированным перечислением Джорджа Ольшевского (использованным в качестве основы для этого списка). Джонсон назвал 4-многогранники полихорами, как и многогранники для 3-многогранников, от греческих корней поли («много») и choros («комната» или «пространство»). ^[6] Названия единой полихоры начинались с шести правильных полихор с префиксами, основанными на кольцах на диаграммах Коксетера; усечение t _0,1 , кантелляция t _0,2 , сокращение t _0,3 с однокольцевыми формами, называемыми выпрямленными, и би-, три-префиксами, добавленными, когда первое кольцо находилось на втором или третьем узлах. ^[7]^[8]
  - 2004 : Доказательство полноты множества Конвея-Гая было опубликовано Марко Мёллером в его диссертации Vier Dimensione Archimedische Polytope . Мёллер воспроизвел систему именования Джонсона в своем списке. ^[9]
  - 2008 : Симметрии вещей ^[10] был опубликован Джоном Х. Конвеем и содержит первый опубликованный в печати список выпуклых однородных 4-многогранников и многогранников более высокой размерности семейства групп Кокстера, с общими диаграммами фигур вершин для каждой перестановки кольцевых диаграмм Кокстера - курносых, больших антипризм и дуопризм. - которые он назвал пропризмами для продуктовых призм. Он использовал свою собственную схему именования ijk -ambo для перестановок индексированных колец, помимо усечения и побитового усечения, и все имена Джонсона были включены в указатель книги.
Неправильные однородные звездчатые 4-многогранники : (аналогично невыпуклым однородным многогранникам )
- 1966 : Джонсон описывает в своей диссертации три невыпуклые однородные антипризмы в четырехмерном пространстве. ^[11]
- 1990–2006 : В ходе совместных поисков до 2005 года Джонатан Бауэрс и Джордж Ольшевский идентифицировали в общей сложности 1845 однородных 4-многогранников (выпуклых и невыпуклых). ^[12] еще четыре были обнаружены в 2006 году, всего 1849. В подсчет включены 74 призмы из 75 непризматических однородных многогранников (поскольку это конечное множество - кубическая призма исключена, поскольку она дублирует тессеракт), но не бесконечные категории дуопризм или призм антипризм. ^[13]
- 2020–2023 гг .: обнаружено 342 новых полихоры, в результате чего общее количество известных однородных 4-многогранников достигло 2191. Список не является полным. ^[13]^[14]

Правильные 4-многогранники

Правильные 4-многогранники — это подмножество однородных 4-многогранников, удовлетворяющее дополнительным требованиям. Правильные 4-многогранники могут быть выражены с помощью символа Шлефли { p , q , r } и имеют ячейки типа { p , q }, грани типа { p }, реберные фигуры { r } и вершинные фигуры { q , r }.

Существование правильного 4-многогранника { p , q , r } ограничено существованием правильных многогранников { p , q }, которые становятся ячейками, и { q , r }, которые становятся вершинной фигурой .

Существование конечного 4-многогранника зависит от неравенства: ^[15]

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).

16 правильных 4-многогранников со свойством конгруэнтности всех ячеек, граней, ребер и вершин:

6 правильных выпуклых 4-многогранников : 5-клеточный {3,3,3}, 8-клеточный {4,3,3}, 16-клеточный {3,3,4}, 24-клеточный {3,4,3} , 120 ячеек {5,3,3} и 600 ячеек {3,3,5}.
10 правильных звездчатых 4-многогранников : икосаэдрический 120-клеточный {3,5, ⁵/ ₂ }, маленькие звездчатые 120-клеточные { ⁵/ ₂ ,5,3}, отличный 120-клеточный {5, ⁵/ ₂ ,5}, грандиозный 120-клеточный {5,3, ⁵/ ₂ }, большие звездчатые 120-клеточные { ⁵/ ₂ ,3,5}, большой звездчатый 120-клеточный { ⁵/ ₂,5, ⁵/ ₂ }, великий 120-клеточный {5, ⁵/ ₂ ,3}, большой икосаэдрический 120-ячеечный {3, ⁵/ _2,5 }, грандиозный 600-клеточный {3,3, ⁵/ ₂ } и великий звёздчатый 120-клеточный { ⁵/ ₂,3,3}.

Выпуклые однородные 4-многогранники

Симметрия однородных 4-многогранников в четырех измерениях

Ортогональные подгруппы
24 зеркала F ₄ можно разложить на 2 ортогональные группы D ₄ : = (12 зеркал) = (12 зеркал)
10 зеркал B ₃ × A ₁ можно разложить на ортогональные группы 4 A ₁ и D ₃ : = (3+1 зеркала) = (6 зеркал)

Существует 5 основных семейств точечных групп зеркальной симметрии в 4-х измерениях: A ₄ = , В ₄ = , Д ₄ = , Ф ₄ = , Ч ₄ = . ^[7] Также существуют 3 призматические группы A ₃ A ₁ = , В ₃ А ₁ = , ЧАС ₃ А ₁ = , и дуопризматические группы: I ₂ (p)×I ₂ (q) = . Каждая группа определяется тетраэдра Гурса, фундаментальной областью ограниченной зеркальными плоскостями.

Каждый отражающий однородный 4-многогранник может быть построен в одной или нескольких отражающих точечных группах в 4 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Коксетера . Зеркальные гиперплоскости можно сгруппировать, как видно по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a,b,a] имеют расширенную симметрию [[a,b,a]], удваивая порядок симметрии. Сюда входят [3,3,3], [3,4,3] и [ p ,2, p ]. Однородные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.

Если все зеркала данного цвета не имеют кольца (неактивны) в данном однородном многограннике, он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией за счет удаления всех неактивных зеркал. Если все узлы данного цвета окольцованы (активны), операция чередования может создать новый 4-многогранник с киральной симметрией, показанный как «пустые» узлы в кружке», но геометрия обычно не поддается настройке для создания единообразных решений .

Вейль группа	Конвей Кватернион	Абстрактный структура	Заказ	Коксетер обозначение	Коммутатор подгруппа	Коксетер число (час)	Зеркала м = 2 часа
Нередуцируемый
A ₄	+1/60[I×I].21	С ₅	120	[3,3,3]	[3,3,3] ⁺	5		10
Д ₄	±1/3[T×T].2	1/2. ²С ₄	192	[3 ^1,1,1]	[3 ^1,1,1] ⁺	6		12
Б ₄	±1/6[O×O].2	²С ₄ = С ₂ ≀ _{С 4}	384	[4,3,3]	[3 ^1,1,1] ⁺	8	4	12
F_F4	±1/2[O×O].2 ₃	3. ²С ₄	1152	[3,4,3]	[3 ⁺,4,3 ⁺]	12	12	12
Ч ₄	±[I×I].2	2.(A ₅×A ₅).2	14400	[5,3,3]	[5,3,3] ⁺	30		60
Призматические группы
А ₃ А ₁	+1/24[O×O].2 ₃	S ₄×D ₁	48	[3,3,2] = [3,3]×[ ]	[3,3] ⁺	-		6	1
Б ₃ А ₁	±1/24[O×O].2	S ₄×D ₁	96	[4,3,2] = [4,3]×[ ]	[3,3] ⁺	-	3	6	1
Ч ₃ А ₁	±1/60[I×I].2	A ₅×D ₁	240	[5,3,2] = [5,3]×[ ]	[5,3] ⁺	-		15	1
Дуопризматические группы (используйте 2p,2q для четных целых чисел)
Я ₂ ( п ) Я ₂ ( q )	±1/2[D _{2 p}×D _{2 q}]	D _p×D _q	4 шт.	[ п ,2, q ] = [ п ]×[ q ]	[ п ⁺,2, q ⁺]	-		п	д
Я ₂ ( 2п )Я ₂ ( д )	±1/2[D _{4 p}×D _{2 q}]	D _{2 p}×D _q	8 шт.	[2 п ,2, q ] = [2 п ]×[ q ]		-	п	п	д
Я ₂ ( 2п ) Я ₂ ( 2д )	±1/2[D _{4 p}×D _{4 q}]	D _2p×D _2q	16 кв.м.	[2 п ,2,2 q ] = [2 п ]×[2 q ]		-	п	п	д	д

Перечисление

Существует 64 выпуклых однородных 4-многогранника, включая 6 правильных выпуклых 4-многогранников, исключая бесконечные множества дуопризм и антипризматических призм .

5 — многогранные призмы на основе Платоновых тел (1 перекрывается с регулярной, поскольку кубическая гиперпризма — это тессеракт )
13 — многогранные призмы на основе архимедовых тел.
9 принадлежат к самодуальному регулярному семейству A ₄ [3,3,3] группы ( 5-клеток ).
9 принадлежат к самодуальному регулярному семейству F ₄ [3,4,3] группы ( 24 ячейки ). (исключая курносый 24-элементный)
15 входят в обычную группу B ₄ [3,3,4] ( тессеракт / 16-клеточное семейство) (3 перекрываются с 24-клеточным семейством)
15 относятся к семейству обычных групп H ₄ ] ( 120/600 ячеек [ 3,3,5 ).
1 специальная курносая форма в семействе групп [3,4,3] ( 24 ячейки ).
1 специальный невитоффов 4-многогранник, большая антипризма.
ИТОГО: 68 − 4 = 64

Эти 64 однородных 4-многогранника пронумерованы ниже Георгием Ольшевским. Повторяющиеся формы симметрии указаны в скобках.

В дополнение к 64, указанным выше, существует 2 бесконечных призматических набора, которые порождают все оставшиеся выпуклые формы:

Набор однородных антипризматических призм — sr{ p ,2}×{ } — Многогранные призмы из двух антипризм .
Набор однородных дуопризм - { p }×{ q } - Декартово произведение двух многоугольников.

А ₄Семья

5-клеточная клетка имеет диплоидную пентахорную [3,3,3] симметрию . ^[7] порядка 120, изоморфен перестановкам пяти элементов, поскольку все пары вершин связаны одинаково.

Фасеты (ячейки) задаются, сгруппированные в своих местоположениях на диаграмме Коксетера путем удаления указанных узлов.

[3,3,3] однородные многогранники
#	Имя Имя Бауэрса (и аббревиатура)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению				Количество элементов
#	Имя Имя Бауэрса (и аббревиатура)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (5)	Поз. 2 (10)	Поз. 1 (10)	Поз. 0 (5)	Клетки	Лица	Края	Вершины
1	5-клеточный Пентахорон ^[7] (ручка)		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	выпрямленный 5-клеточный Ректифицированный пентахорон (рэп)		г {3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	усеченный 5-клеточный Усеченный пентахорон (наконечник)		т{3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	кантеллированный 5-клеточный Маленький ромбовидный пентахорон (срип)		рр{3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	кантитусеченный 5-клеточный Большой ромбовидный пентахорон (рукоятка)		тр{3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	укороченный 5-клеточный Призматоромбовидный пентахорон (прип)		т _0,1,3 {3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

[[3,3,3]] однородные многогранники
#	Имя Имя Бауэрса (и аббревиатура)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению			Количество элементов
#	Имя Имя Бауэрса (и аббревиатура)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3-0 (10)	Поз. 1-2 (20)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
5	* сморщенный 5-клеточный Small prismatodecachoron (spid)		т _0,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	* усеченный 5-ячеечный Декашорон (дека)		2т{3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	* всеусеченный 5-клеточный Большой призматодекахорон (гиппид)		т _0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
Неоднородный	омниснуб 5-ячеечный Курносый декахорон (снад) Курносый пентахорон (обрезной) ^[16]		чт _0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

Три однородные формы 4-многогранников, отмеченные звездочкой * , порядка 240, [[3,3,3]], поскольку элемент , имеют более высокую расширенную пентахорную симметрию соответствующий любому элементу базовой 5-ячейки, можно поменять местами. с одним из тех, которые соответствуют элементу его двойника. Есть одна небольшая индексная подгруппа [3,3,3] ⁺, порядок 60 или его удвоение [[3,3,3]] ⁺, порядок 120, определяющий 5-элементную omnisnub , которая указана для полноты, но не является однородной.

Б ₄Семья

Это семейство имеет диплоидную гексадекахорную симметрию . ^[7] [4,3,3], порядка 24×16=384: 4!=24 перестановки четырёх осей, 2 ⁴=16 для отражения по каждой оси. Существует 3 небольшие индексные подгруппы, причем первые две порождают однородные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах, [1 ⁺,4,3,3], [4,(3,3) ⁺] и [4,3,3] ⁺, все порядка 192.

Усечение Тессеракта

#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Клетки	Лица	Края	Вершины
10	тессеракт или 8-клеточный Тессеракт (тес)		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	Ректифицированный тессеракт (рит)		г {4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	Усеченный тессеракт (тат)		т{4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	Кантеллированный тессеракт Маленький ромбированный тессеракт (срит)		рр{4,3,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Сморщенный тессеракт (также 16-ячеечный ) Малый диспризматотессерактигексадекашорон (сидпит)		т _0,3 {4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	Усеченный тессеракт (также усеченный 16-ячеечный ) Тессерактигексадекашорон (тах)		2т{4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	Кантитусеченный тессеракт Большой ромбовидный тессеракт (песок)		тр{4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Усеченный тессеракт Призматоромбовидный гексадекашорон (прох)		т _0,1,3 {4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	Всеусеченный тессеракт (также всеусеченный 16-элементный ) Большой диспризматотессерактигексадекашорон (гидпит)		т _0,1,2,3 {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

Связанный полутессеракт, [1 ⁺,4,3,3] однородные 4-многогранники
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
12	Половина тессеракта Демитессеракт = 16 ячеек (шестнадцатеричный)		= ч{4,3,3}={3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	Кантический тессеракт = Усеченные 16 ячеек (x)		= ч ₂ {4,3,3}=t{4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	Рунический тессеракт = Исправленный тессеракт (рит)		= ч ₃ {4,3,3}=r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	Рунцикантический тессеракт = Усеченный тессеракт (тах)		= ч _2,3 {4,3,3}=2t{4,3,3}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	= Исправленный тессеракт (крыса)		= ч ₁ {4,3,3}=r{4,3,3}						24	88	96	32
[16]	= Усеченный тессеракт (тах)		= ч _1,2 {4,3,3}=2t{4,3,3}						24	120	192	96
[23]	= Ректифицированный 24-клеточный (рико)		= ч _1,3 {4,3,3}=rr{3,3,4}						48	240	288	96
[24]	= Усеченные 24 ячейки (тико)		= ч _1,2,3 {4,3,3}=tr{3,3,4}						48	240	384	192

#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
Неоднородный	омниснуб тессеракт Курносый тессеракт (snet) ^[17] (Или омниснуб 16-кл .)		чт _0,1,2,3 {4,3,3}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

16-ячеечные усечения

#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (32)	Поз. 0 (16)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
[12]	16-ячеечный Гексадекахорон ^[7] (шестнадцатеричный)		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	Выпрямленный 16-клеточный (То же, что и 24-ячеечный* ) (ico)		= г {3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	Усеченный 16-клеточный Усеченный гексадекахорон (текс)		т{3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	Контеллектированный 16-клеточный (То же, что и выпрямленный 24-элементный* ) (rico)		= рр{3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	Ранцинированный 16-клеточный (также сморщенный тессеракт ) (сидпит)		т _0,3 {3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	Усеченный 16-ячеечный (также усеченный тессеракт ) (та)		2т{3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	Плетенный 16-клеточный (То же, что и усеченная 24-ячейка* ) (tico)		= тр{3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	Ранцитусеченный 16-клеточный Призматоромбовидный тессеракт (прит)		т _0,1,3 {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	Всеусеченный 16-ячеечный (также всеусеченный тессеракт ) (гидпит)		т _0,1,2,3 {3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	чередующиеся кантиусеченные 16-клеточные (То же, что и курносый 24-элементный ) (сади)		ср{3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Неоднородный	Рунцич курносый ректифицированный 16-клеточный Пиритоснуб тессеракт (pysnet)		ср ₃ {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) Точно так же, как при выпрямлении тетраэдра образуется октаэдр , при выпрямлении 16-ячеечного получается 24-ячеечный, обычный член следующего семейства.

Курносый 24-элементный элемент повторяется в этом семействе для полноты картины. Это чередование кантиусеченной 16-клетки или усеченной 24-клетки , с полугруппой симметрии [(3,3) ⁺,4]. Усеченные октаэдрические ячейки превращаются в икосаэдры. Кубы становятся тетраэдрами, а в промежутках из удаленных вершин создается 96 новых тетраэдров.

Ф ₄Семья

Это семейство обладает диплоидной икоситетрахорической симметрией . ^[7] [3,4,3], порядка 24×48=1152: 48 симметрий октаэдра для каждой из 24 ячеек. Существует 3 небольшие индексные подгруппы, причем первые две изоморфные пары порождают однородные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах, [3 ⁺,4,3], [3,4,3 ⁺] и [3,4,3] ⁺, всего порядка 576.

[3,4,3] однородные 4-многогранники
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению				Количество элементов
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (24)	Поз. 2 (96)	Поз. 1 (96)	Поз. 0 (24)	Клетки	Лица	Края	Вершины
22	24-ячеечный (То же, что и выпрямленный 16-элементный ) Икоситетрахорон ^[7] (ико)		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	выпрямленный 24-клеточный (То же, что и сочлененный 16-элементный ) Икоситетрахорон ректифицированный (рико)		г {3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	усеченный 24-клеточный (То же, что и усеченный 16-элементный ) Усеченный икоситетрахорон (тико)		т{3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	сочлененный 24-клеточный Маленький ромбовидный икоситетрахорон (шрико)		рр{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28	усеченный, 24 ячейки Большой ромбовидный икоситетрахорон (грико)		тр{3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	усеченный, 24-клеточный Призматоромбатированный икоситетрахорон (прико)		т _0,1,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

[3 ⁺,4,3] однородные 4-многогранники
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (24)	Поз. 2 (96)	Поз. 1 (96)	Поз. 0 (24)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
31	† курносый, 24 ячейки Курносый дисикозитрахорон (сади)		с{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Неоднородный	рунчик курносый, 24 ячейки Призматоромбиснуб икоситетрахорон (присси)		с ₃ {3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) Трикуп	240	960	1008	288
[25]	кантик курносый, 24 ячейки (То же, что и 24-элементный сочлененный ) (srico)		с2 _{ 3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	курносый, курносый, 24-клеточный (То же, что и укороченный 24-элементный ) (prico)		с _2,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

(†) Курносый 24-клеточный здесь, несмотря на свое общее название, не является аналогом курносого куба ; скорее, он получается путем чередования усеченных 24 ячеек. Его число симметрии всего 576 ( ионная уменьшенная икоситетрахорическая группа, [3 ⁺,4,3]).

Как и 5-клеточная, 24-клеточная самодуальна, поэтому следующие три формы имеют в два раза больше симметрий, в результате чего их общее количество достигает 2304 ( расширенная икоситетрахорическая симметрия [[3,4,3]]).

[[3,4,3]] однородные 4-многогранники
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению		Количество элементов
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3-0 (48)	Поз. 2-1 (192)	Клетки	Лица	Края	Вершины
26	сморщенный 24-клеточный Малый призматотетраконтоктахорон (спик)		т _0,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	усеченный 24 ячейки Тетраконтоктахорон (продолжение)		2т{3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	всеусеченный 24-клеточный Большой призматотетраконтоктахорон (гиппик)		т _0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

[[3,4,3]] ⁺ изогональный 4-многогранник
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению			Количество элементов
#	Имя	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3-0 (48)	Поз. 2-1 (192)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
Неоднородный	омниснуб, 24 ячейки Курносый тетраконтоктахорон (snoc) Курносый икоситетрахорон (sni) ^[18]		чт _0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

H ₄Семья

Это семейство имеет диплоидную гексакосихорную симметрию . ^[7] [5,3,3] порядка 120×120=24×600=14400: по 120 на каждый из 120 додекаэдров или по 24 на каждый из 600 тетраэдров. Есть одна небольшая индексная подгруппа [5,3,3] ⁺, всего порядка 7200.

Усечение 120 ячеек

#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Поз. 3 (120)	Поз. 2 (720)	Поз. 1 (1200)	Поз. 0 (600)	Все	Клетки	Лица	Края	Вершины
32	120-ячеечный (гекатоникосахорон или додекаконтахорон) ^[7] Гекатоникосахорон (привет)		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	выпрямленный 120-ячеечный Ректифицированный гекатоникосахорон (рахи)		г {5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	усеченный 120-ячеечный Усеченный гекатоникосахорон (ти)		т{5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	кантеллированный, 120 ячеек Маленький ромбовидный гекатоникосахорон (срахи)		рр{5,3,3}	(2) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920	9120	10800	3600
38	сморщенный 120-клеточный (также запущенный 600-ячеечный ) Малый диспризматогексакосихекатоникосахорон (сидпикси)		т _0,3 {5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	усеченный 120 ячеек (также усеченный до 600 ячеек ) Гексакосихекатоникосахорон (xhi)		2т{5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	усеченный, 120 ячеек Большой ромбовидный гекатоникосахорон (грахи)		тр{5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920	9120	14400	7200
43	укороченный, 120 ячеек Призматоромбатированный гексакосихорон (прикс)		т _0,1,3 {5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	всеусеченный, 120-ячеечный (также усеченный, 600 ячеек ) Большой диспризматогексакосихекатоникосахорон (гидпикси)		т _0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
Неоднородный	омниснуб, 120 ячеек Курносый гекатоникосахорон (снахи) ^[19] (То же, что и omnisnub 600-cell )		чт _0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

Усечение 600 ячеек

#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Симметрия	Подсчет ячеек по местоположению				Количество элементов
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Симметрия	Поз. 3 (120)	Поз. 2 (720)	Поз. 1 (1200)	Поз. 0 (600)	Клетки	Лица	Края	Вершины
35	600-ячеечный Гексакосихорон ^[7] (бывший)		{3,3,5}	[5,3,3] заказать 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	20-уменьшенный, 600-ячеечный = Большая антипризма (пробел)		ноннотоффский строительство	[[10,2 ⁺,10]] заказать 400 Индекс 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	24 уменьшенных 600 ячеек = Курносый 24-клеточный (сади)		ноннотоффский строительство	[3 ⁺,4,3] заказать 576 индекс 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
Неоднородный	би-24-уменьшенный, 600 ячеек Би-икоситетрадиминидированный гексакосихорон (бидекс)		ноннотоффский строительство	заказать 144 индекс 100	(6) тди				48	192	216	72
34	выпрямленный 600-ячеечный Ректифицированный гексакосихорон (rox)		г {3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
Неоднородный	120-уменьшенный выпрямленный 600-ячеечный Swirlprismatodiminished выпрямленный гексакосихорон (спидрокс)		ноннотоффский строительство	заказать 1200 индекс 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) П4	840	2640	2400	600
41	усеченный 600-ячеечный Усеченный гексакосихорон (текс)		т{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	сочлененный из 600 ячеек Маленький ромбовидный гексакосихорон (srix)		рр{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	сморщенный 600-клеточный (также 120-клеточный ) (sidpixhi)		т _0,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	усеченный 600 ячеек (также усеченный до 120 ячеек ) (xhi)		2т{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	усеченный, 600 ячеек Большой ромбовидный гексакосихорон (грикс)		тр{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	укороченный, 600 ячеек Призматоромбовидный гекатоникосахорон (прахи)		т _0,1,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	всеусеченный на 600 ячеек (также всеусеченный, 120-ячеечный ) (гидпикси)		т _0,1,2,3 {3,3,5}	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

Д ₄Семья

Это полудессерактное семейство , [3 ^1,1,1], не вводит новых однородных 4-многогранников, но стоит повторить эти альтернативные конструкции. Это семейство имеет порядок 12×16=192: 4!/2=12 перестановок четырех осей, половина из которых чередуется, 2 ⁴=16 для отражения по каждой оси. Существует одна небольшая индексная подгруппа, порождающая однородные 4-многогранники, [3 ^1,1,1] ⁺, заказ 96.

[3 ^1,1,1] однородные 4-многогранники
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера = =	Подсчет ячеек по местоположению					Количество элементов
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера = =	Поз. 0 (8)	Поз. 2 (24)	Поз. 1 (8)	Поз. 3 (8)	Поз. (96)	3	2	1	0
[12]	полудессеракт половина тессеракта (То же, что и 16-ячеечный ) (шестнадцатеричный)		= ч{4,3,3}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	кантический тессеракт (То же, что и усеченный 16-ячеечный ) (thex)		= ч ₂ {4,3,3}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	рунический тессеракт (То же, что и исправленный тессеракт ) (рит)		= ч ₃ {4,3,3}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	руникантический тессеракт (То же, что и усеченный тессеракт ) (та)		= ч _2,3 {4,3,3}	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24

Когда три раздвоенных узла ветвления имеют одинаковое кольцо, симметрия может быть увеличена на 6, как [3[3 ^1,1,1]] = [3,4,3], и, таким образом, эти многогранники повторяются из 24-клеточного семейства.

[3[3 ^1,1,1]] однородные 4-многогранники
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера = =	Подсчет ячеек по местоположению			Количество элементов
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера = =	Поз. 0,1,3 (24)	Поз. 2 (24)	Поз. (96)	3	2	1	0
[22]	выпрямленный 16-клеточный (То же, что и 24-ячеечный ) (ico)		= = = {3 ^1,1,1} = г{3,3,4} = {3,4,3}	(6) (3.3.3.3)			48	240	288	96
[23]	сочлененный 16-клеточный (То же, что и выпрямленный 24-элементный ) (rico)		= = = г{3 ^1,1,1} = рр{3,3,4} = р{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		24	120	192	96
[24]	усеченный, 16 ячеек (То же, что и усеченная 24-ячейка ) (tico)		= = = т{3 ^1,1,1} = тр{3,3,4} = т{3,4,3}	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		48	240	384	192
[31]	курносый 24-клеточный (сади)		= = = с{3 ^1,1,1} = ср{3,3,4} = с{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

И здесь курносая 24-ячейка с группой симметрии [3 ^1,1,1] ⁺ на этот раз представляет собой попеременное усечение усеченных 24 ячеек, создающее 96 новых тетраэдров на месте удаленных вершин. В отличие от его внешнего вида в прежних группах как частично курносого 4-многогранника, только внутри этой группы симметрии он имеет полную аналогию с курносыми кеплерами, т. е. курносым кубом и курносым додекаэдром .

Великая антипризма

Существует один не витоффов однородный выпуклый 4-многогранник, известный как большая антипризма , состоящий из 20 пятиугольных антипризм, образующих два перпендикулярных кольца, соединенных 300 тетраэдрами . Это во многом аналогично трехмерным антипризмам , которые состоят из двух параллельных многоугольников, соединенных полосой треугольников . Однако в отличие от них большая антипризма не является членом бесконечного семейства однородных многогранников.

Его симметрия - ионная уменьшенная группа Кокстера , [[10,2 ⁺,10]], порядка 400.

#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу		Количество элементов				Сеть
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу		Клетки	Лица	Края	Вершины	Сеть
47	большая антипризма (разрыв)			Нет символа	300 ( 3.3.3 )	20 ( 3.3.3.5 )	320	20 {5} 700 {3}	500	100

Призматические однородные 4-многогранники

Призматический многогранник — это декартово произведение двух многогранников меньшей размерности; знакомыми примерами являются трехмерные призмы , которые представляют собой произведения многоугольника и отрезка . Призматические однородные 4-многогранники состоят из двух бесконечных семейств:

Многогранные призмы : произведения отрезка и однородного многогранника. Это семейство бесконечно, поскольку в него входят призмы, построенные на основе трехмерных призм и антипризм .
Дуопризмы : произведения двух многоугольников.

Выпуклые многогранные призмы

Наиболее очевидным семейством призматических 4-многогранников являются многогранные призмы, т.е. произведения многогранника с отрезком . Ячейками такого 4-многогранника являются два одинаковых однородных многогранника, лежащие в параллельных гиперплоскостях ( ячейки основания ) и соединяющий их слой призм ( боковые ячейки). В это семейство входят призмы для 75 непризматических однородных многогранников (из них 18 выпуклых; одна из них, куб-призма, указана выше как тессеракт ). ^{[ нужна ссылка ]}

Существует 18 выпуклых многогранных призм, созданных из 5 платоновых тел и 13 архимедовых тел, а также для бесконечных семейств трехмерных призм и антипризм . ^{[ нужна ссылка ]} Число симметрии многогранной призмы в два раза больше, чем у базового многогранника.

Четырехгранные призмы: А ₃ × А ₁

Эта призматическая тетраэдрическая симметрия равна [3,3,2], порядка 48. Есть две подгруппы индекса 2, [(3,3) ⁺,2] и [3,3,2] ⁺, но второй не порождает однородный 4-многогранник.

[3,3,2] однородные 4-многогранники
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу			Количество элементов				Сеть
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу			Клетки	Лица	Края	Вершины	Сеть
48	Тетраэдрическая призма (тепе)			{3,3}×{ } т _0,3 {3,3,2}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	Усеченная тетраэдрическая призма (туттип)			т{3,3}×{ } т _0,1,3 {3,3,2}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24

[[3,3],2] однородные 4-многогранники
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу			Количество элементов				Сеть
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу			Клетки	Лица	Края	Вершины	Сеть
[51]	Выпрямленная тетраэдрическая призма (То же, что и октаэдрическая призма ) (опе)			г{3,3}×{ } т _1,3 {3,3,2}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	Кантелляционная тетраэдрическая призма (То же, что и кубооктаэдрическая призма ) (копия)			рр{3,3}×{ } т _0,2,3 {3,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	Кантиусеченная тетраэдрическая призма (То же, что и усеченная октаэдрическая призма ) (вершина)			tr{3,3}×{ } т _0,1,2,3 {3,3,2}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Вздернутая тетраэдрическая призма (То же, что икосаэдрическая призма ) (ipe)			ср{3,3}×{ }	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24
Неоднородный	омниснуб тетраэдрическая антипризма Пиритоэдрическая икосаэдрическая антипризма (пикап)			$s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3	40	16+96 {3}	96	24

Октаэдрические призмы: Б ₃ × А ₁

Симметрия этого призматического октаэдрического семейства равна [4,3,2], порядок 96. Существует 6 подгрупп индекса 2, порядок 48, которые выражены в чередующихся 4-многогранниках ниже. Симметрии — это [(4,3) ⁺,2], [1 ⁺,4,3,2], [4,3,2 ⁺], [4,3 ⁺,2], [4,(3,2) ⁺] и [4,3,2] ⁺.

#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу				Количество элементов				Сеть
#	Имя (аббревиатура в стиле Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу				Клетки	Лица	Края	Вершины	Сеть
[10]	Кубическая призма (То же, что и тессеракт ) (То же, что и дуопризма 4-4 ) (tes)			{4,3}×{ } т _0,3 {4,3,2}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	Кубооктаэдрическая призма (То же, что и кантелляционная тетраэдрическая призма ) (корпус)			г{4,3}×{ } т _1,3 {4,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	Октаэдрическая призма (То же, что и выпрямленная тетраэдрическая призма ) (То же, что и треугольная антипризматическая призма ) (опе)			{3,4}×{ } т _2,3 {4,3,2}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	Ромбокубооктаэдрическая призма (сиркопа)			рр{4,3}×{ } т _0,2,3 {4,3,2}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
53	Усеченная кубическая призма (тикап)			т{4,3}×{ } т _0,1,3 {4,3,2}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	Усеченная октаэдрическая призма (То же, что и скошенная тетраэдрическая призма ) (вершина)			т{3,4}×{ } т _1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	Усеченная кубооктаэдрическая призма (гиркопа)			тр{4,3}×{ } т _0,1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.8	12 4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28	96 {4} 16 {6} 12 {8}	192	96
56	Курносая кубическая призма (сникап)			ср{4,3}×{ }	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48
[48]	Тетраэдрическая призма (тепе)			ч{4,3}×{ }	2 3.3.3	4 3.4.4			6	8 {3} 6 {4}	16	8
[49]	Усеченная тетраэдрическая призма (туттип)			ч ₂ {4,3}×{ }	2 3.3.6	4 3.4.4	4 4.4.6		6	8 {3} 6 {4}	16	8
[50]	Кубооктаэдрическая призма (корпус)			рр{3,3}×{ }	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
[52]	Ромбокубооктаэдрическая призма (сиркопа)			с ₂ {3,4}×{ }	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
[54]	Усеченная октаэдрическая призма (вершина)			tr{3,3}×{ }	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Икосаэдрическая призма (ipe)			с{3,4}×{ }	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
[12]	16-ячеечный (шестнадцатеричный)			с{2,4,3}	2+6+8 3.3.3.3				16	32 {3}	24	8
Неоднородный	Омниснуб тетраэдрическая антипризма = Пиритоэдрическая икосаэдрическая антипризма (пикап)			ср{2,3,4}	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3		40	16+96 {3}	96	24
Неоднородный	Октаэдрический хосохорон с курносым краем Пиритоснуб альтерпризма (писна)			ср ₃ {2,3,4}	2 3.4.4.4	6 4.4.4	8 3.3.3.3	24 3.4.4	40	16+48 {3} 12+12+24+24 {4}	144	48
Неоднородный	Омниснуб кубическая антипризма Курносая кубическая антипризма (сникап)			$s\left\{{\begin{array}{l}4\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.4	12+48 3.3.3	8 3.3.3.3	6 3.3.3.4	76	16+192 {3} 12 {4}	192	48
Неоднородный	Рунцич курносый кубический хосохорон Усеченная тетраэдрическая альтерпризма (тута)			с ₃ {2,4,3}	2 3.6.6	6 3.3.3	8 треугольный купол		16	52	60	24

Икосаэдрические призмы: H ₃ × A ₁

Эта призматическая икосаэдральная симметрия равна [5,3,2], порядка 240. Есть две подгруппы индекса 2, [(5,3) ⁺,2] и [5,3,2] ⁺, но второй не генерирует однородный полихорон.

#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу				Количество элементов				Сеть
#	Имя (имя и аббревиатура Бауэрса)	Картина	Вертекс фигура	Диаграмма Кокстера и Шлефли символы	Ячейки по типу				Клетки	Лица	Края	Вершины	Сеть
57	Додекаэдрическая призма (наркотик)			{5,3}×{ } т _0,3 {5,3,2}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	Икосододекаэдральная призма (иддип)			г{5,3}×{ } т _1,3 {5,3,2}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	Икосаэдральная призма (то же, что курносая тетраэдрическая призма ) (ipe)			{3,5}×{ } т _2,3 {5,3,2}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	Усеченная додекаэдрическая призма (пичка)			т{5,3}×{ } т _0,1,3 {5,3,2}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.10		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	Ромбикосододекаэдральная призма (сриддип)			рр{5,3}×{ } т _0,2,3 {5,3,2}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	Усеченная икосаэдрическая призма (острие)			т{3,5}×{ } т _1,2,3 {5,3,2}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	Усеченная икосододекаэдральная призма (сетка)			tr{5,3}×{ } т _0,1,2,3 {5,3,2}	2 4.6.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {10}	480	240
64	Курносая додекаэдральная призма (сниддип)			ср{5,3}×{ }	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	160 {3} 150 {4} 24 {5}	360	120
Неоднородный	Омниснуб додекаэдрическая антипризма Курносая додекаэдральная антипризма (сниддап)			$s\left\{{\begin{array}{l}5\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.5	30+120 3.3.3	20 3.3.3.3	12 3.3.3.5	184	20+240 {3} 24 {5}	220	120

Дуопризмы: [p] × [q]

Второе — бесконечное семейство однородных дуопризм , произведений двух правильных многоугольников . дуопризмы Диаграмма Кокстера-Динкина : . Его вершинная фигура — дисфеноидный тетраэдр , .

Это семейство пересекается с первым: когда один из двух «факторных» многоугольников является квадратом, произведение эквивалентно гиперпризме, основанием которой является трехмерная призма. Число симметрии дуопризмы, факторами которой являются p -угольник и q -угольник (« p,q -дуопризма»), равно 4 pq , если p ≠ q ; если оба фактора являются p -угольниками, число симметрии равно 8 p ². Тессеракт также можно считать 4,4-дуопризмой.

Расширенный f-вектор { p }×{ q } равен ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).

Ячейки: pq - гональные призмы, qp - гональные призмы.
Грани: pq квадраты, p q -угольники, q p -угольники
Края: 2 шт.
Вершины: pq

Не существует единого четырехмерного аналога бесконечного семейства трехмерных антипризм .

Бесконечный набор дуопризм pq - - p q -угольные призмы, q p -угольные призмы:

Имя	Граф Кокстера	Клетки	Изображения	Сеть
3-3 дуопризма (триддип)		3+3 треугольные призмы
3-4 дуопризма (тисдип)		3 кубика 4 треугольные призмы
4-4 дуопризма (тес) (то же, что и тессеракт)		4+4 кубика
3-5 дуопризма (трапедип)		3 пятиугольные призмы 5 треугольных призм
4-5 дуопризма (сквипдип)		4 пятиугольные призмы 5 кубиков
5-5 дуопризма (педип)		5+5 пятиугольных призм
3-6 дуопризма (третье дип)		3 шестиугольные призмы 6 треугольных призм
4-6 дуопризм (шидип)		4 шестиугольные призмы 6 кубиков
5-6 дуопризма (фиддип)		5 шестиугольных призм 6 пятиугольных призм
6-6 дуопризма (хиддип)		6+6 шестиугольных призм

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Возможны чередования. = дает семейство дуоантипризм , но их вообще нельзя сделать однородными. p=q=2 — единственный выпуклый случай, который можно сделать однородным, получив правильные 16 ячеек. p=5, q=5/3 — единственный невыпуклый случай, который можно сделать однородным, давая так называемую большую дуоантипризму . дает p-2q-гональную призмантипризму (чередование краев дуопризмы 2p-4q), но ее ни в коем случае нельзя сделать однородной. ^[20]

Многоугольные призматические призмы: [p] × [ ] × [ ]

Бесконечное множество однородных призматических призм перекрывается с 4-p дуопризмами: (p≥3) - - p кубов и 4 p -угольных призмы - (все такие же, как 4-p дуопризма ) Второй многогранник в серии представляет собой более низкую симметрию правильного тессеракта , {4}×{4}.

Выпуклые p -угольные призматические призмы
Имя	{3}×{4}	{4}×{4}	{5}×{4}	{6}×{4}	{7}×{4}	{8}×{4}	{p}×{4}
Коксетер диаграммы
Изображение
Клетки	3 {4}×{} 4 {3}×{}	4 {4}×{} 4 {4}×{}	5 {4}×{} 4 {5}×{}	6 {4}×{} 4 {6}×{}	7 {4}×{} 4 {7}×{}	8 {4}×{} 4 {8}×{}	п {4}×{} 4 {p}×{}
Сеть

Многоугольные антипризматические призмы: [p] × [ ] × [ ]

Бесконечные множества однородных антипризматических призм построены из двух параллельных однородных антипризм ): (p≥2) - - 2 p -угольные антипризмы, соединенные 2 p -угольными призмами и 2p- треугольными призмами.

Выпуклые p -угольные антипризматические призмы
Имя	с{2,2}×{}	с{2,3}×{}	с{2,4}×{}	с{2,5}×{}	с{2,6}×{}	с{2,7}×{}	с{2,8}×{}	с{2,р}×{}
Коксетер диаграмма
Изображение
Вертекс фигура
Клетки	2 с{2,2} (2) {2}×{}= {4} 4 {3}×{}	2 с{2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{}	2 с{2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{}	2 с{2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{}	2 с{2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{}	2 с{2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{}	2 с{2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{}	2 с{2,п} 2 {p}×{} 2 п {3}×{}
Сеть

P -угольная антипризматическая призма имеет треугольник 4p , квадрат 4p и грани 4 p-угольника. Он имеет ребра 10p и 4p вершины .

Неравномерные чередования

кольцами Коксетер показал только два равномерных решения для групп Кокстера ранга 4 со всеми чередующимися (показаны пустыми узлами в виде кружков). Первое - это , с{2 ^1,1,1} который представлял подгруппу индекса 24 ( симметрия [2,2,2] ⁺, порядок 8) форма демитессеракта , , h{4,3,3} (симметрия [1 ⁺,4,3,3] = [3 ^1,1,1], приказ 192). Второй , с{3 ^1,1,1}, которая является подгруппой индекса 6 (симметрия [3 ^1,1,1] ⁺, порядок 96) форма курносая 24-клеточная , , s{3,4,3}, (симметрия [3 ⁺,4,3], порядок 576).

Другие варианты, например , как альтернатива всеусеченному тессеракту , не может быть сделан равномерным, поскольку решение для равных длин ребер, как правило, переопределено (есть шесть уравнений, но только четыре переменных). Такие неоднородные чередующиеся фигуры могут быть построены как вершинно-транзитивные 4-многогранники путем удаления одного из двух полумножеств вершин полнокольцевой фигуры, но они будут иметь неравную длину ребер. Как и равномерные чередования, они будут иметь половину симметрии однородной фигуры, например [4,3,3] ⁺, порядок 192, представляет собой симметрию чередующегося всеусеченного тессеракта . ^[21]

Конструкции Витхоффа с чередованиями создают транзитивные по вершинам фигуры, которые можно сделать равносторонними, но не однородными, поскольку чередующиеся промежутки (вокруг удаленных вершин) создают ячейки, которые не являются регулярными или полуправильными. Предлагаемое название таких фигур — чешуйчатые многогранники . ^[22] Эта категория позволяет использовать подмножество тел Джонсона в виде ячеек, например треугольный купол .

Каждая конфигурация вершин внутри тела Джонсона должна существовать внутри фигуры вершин. Например, квадратная пирамида имеет две конфигурации вершин: 3.3.4 вокруг основания и 3.3.3.3 на вершине.

Ниже приведены сети и фигуры вершин четырех выпуклых равносторонних случаев, а также список ячеек вокруг каждой вершины.

Четыре выпуклых вершинно-транзитивных равносторонних 4-многогранника с неоднородными ячейками
Коксетер диаграмма	с ₃ {2,4,3},	с ₃ {3,4,3},	Другие
Связь	24 из 48 вершин ромбокубооктаэдрическая призма	288 из 576 вершин усеченный, 24-клеточный	72 из 120 вершин из 600 ячеек	600 из 720 вершин ректифицированного 600-кл.
Проекция				Два кольца пирамид
Сеть	рунчик курносый кубический хосохорон ^[23]^[24]	рунчик курносый, 24 ячейки ^[25]^[26]	^[27]^[28]^[29]	^[30]^[31]
Клетки
Вертекс фигура	(1) 3.4.3.4: треугольный купол (2) 3.4.6: треугольный купол (1) 3.3.3: тетраэдр (1) 3.6.6: усеченный тетраэдр	(1) 3.4.3.4: треугольный купол (2) 3.4.6: треугольный купол (2) 3.4.4: треугольная призма (1) 3.6.6: усеченный тетраэдр (1) 3.3.3.3.3: икосаэдр	(2) 3.3.3.5: трехмерный икосаэдр (4) 3.5.5: трехмерный икосаэдр	(1) 3.3.3.3: квадратная пирамида (4) 3.3.4: квадратная пирамида (2) 4.4.5: пятиугольная призма (2) 3.3.3.5 пятиугольная антипризма

Геометрические выводы для 46 непризматических однородных полихор Витоффа

46 витоффовых 4-многогранников включают шесть выпуклых правильных 4-многогранников . Остальные сорок могут быть получены из регулярной полихоры с помощью геометрических операций, которые сохраняют большую часть или все их симметрии , и поэтому могут быть классифицированы по группам симметрии , которые у них общие.

Сводная диаграмма операций усечения	Пример расположения калейдоскопической генераторной точки в фундаментальной области.

Геометрические операции, которые производят 40 однородных 4-многогранников из правильных 4-многогранников, являются усечения операциями . 4-многогранник может быть усечен по вершинам, ребрам или граням, что приводит к добавлению ячеек, соответствующих этим элементам, как показано в столбцах таблиц ниже.

На диаграмме Коксетера-Динкина четыре зеркала калейдоскопа Витоффа показаны как узлы, а края между узлами помечены целым числом, показывающим угол между зеркалами ( π / n радиан или 180/ n градусов). Узлы в кружке показывают, какие зеркала активны для каждой формы; зеркало активно по отношению к вершине, не лежащей на нем.

Операция	Символ Шлефли	Симметрия	Описание
Родитель	т ₀ {p,q,r}	[п, д, р]	Исходная правильная форма {p,q,r}
Исправление	т ₁ {p,q,r}		Операция усечения применяется до тех пор, пока исходные ребра не выродятся в точки.
Биректификация (выпрямленный двойной)	т ₂ {p,q,r}		Лицо полностью усечено до точек. То же, что выпрямленный двойной.
Триректификация ( двойной )	т ₃ {p,q,r}		Ячейки усекаются до точек. Обычный двойной {r,q,p}
Усечение	т _0,1 {p,q,r}		Каждая вершина обрезается так, чтобы осталась середина каждого исходного ребра. Там, где была вершина, появляется новая ячейка — фигура родительской вершины . Каждая исходная ячейка также усекается.
Биусечение	т _1,2 {p,q,r}		Усечение между исправленной формой и двойной исправленной формой.
Триусечение	т _2,3 {p,q,r}		Усеченный двойственный {r,q,p}.
Кантелляция	т _0,2 {p,q,r}		Усечение применяется к ребрам и вершинам и определяет переход между регулярной и двойственно выпрямленной формой.
Бикантелляция	т _1,3 {p,q,r}		Кантеллированный двойственный {r,q,p}.
Рансинация (или расширение )	т _0,3 {p,q,r}		Усечение, применяемое к ячейкам, граням и краям; определяет прогрессию между правильной формой и двойственной.
Усечение количества	т _0,1,2 {p,q,r}		Операции кантелляции усечения и применяются вместе .
Бикантитрункация	т _1,2,3 {p,q,r}		Кантиусеченный двойственный {r,q,p}.
Ранцитуркация	т _0,1,3 {p,q,r}		Операции прогонки усечения и применяются вместе .
Ранчикантелляция	т _0,2,3 {p,q,r}		Усеченный двойственный {r,q,p}.
Всеобрезание (урезание)	т _0,1,2,3 {p,q,r}		Применение всех трех операторов.
Половина	ч{2p,3,q}	[1 ⁺,2p,3,q] =[(3,p,3),q]	Чередование , то же, что
Кантик	ч ₂ {2p,3,q}		То же, что
Рунцич	ч ₃ {2p,3,q}		То же, что
Рансикантический	ч _2,3 {2p,3,q}		То же, что
Четверть	q{2p,3,2q}	[1 ⁺,2p,3,2q,1 ⁺]	То же, что
пренебрежительный	с{p,2q,r}	[п ⁺,2q,r]	Попеременное усечение
Кантическое пренебрежение	s ₂ {p,2q,r}		Свернутое попеременное усечение
Руничич пренебрежение	р ₃ {p,2q,r}		Ранцинированное попеременное усечение
Рансикантическое пренебрежение	с _2,3 {p,2q,r}		Ранцикантеллированное попеременное усечение
Курносый исправлен	ср{p,q,2r}	[(p,q) ⁺,2р]	Попеременное усеченное выпрямление
	ht _0,3 {2p,q,2r}	[(2p,q,2r,2 ⁺)]	Попеременный запуск
Биснуб	2s{2p,q,2r}	[2p,q ⁺,2р]	Попеременное усечение битов
Омниснуб	ht _0,1,2,3 {p,q,r}	[п, д, р] ⁺	Попеременное всеусечение

См. также выпуклые однородные соты , некоторые из которых иллюстрируют эти операции применительно к обычным кубическим сотам .

Если два многогранника являются двойственными друг другу (например, тессеракт и 16-ячеечный или 120-ячеечный и 600-ячеечный), то побитовое усечение , прогонка или всеусечение либо дает ту же фигуру, что и та же операция для другого. Таким образом, если в таблице встречается только причастие, следует понимать, что оно применимо к любому из родителей.

Краткое изложение конструкций расширенной симметрии

46 однородных полихор, построенных на основе симметрии A ₄ , B ₄ , F ₄ , H _4, представлены в этой таблице в виде их полной расширенной симметрии и диаграмм Кокстера. Симметрия D ₄ также включена, но она создает только дубликаты. Чередования сгруппированы по их киральной симметрии. Приведены все чередования, хотя курносая 24-клетка с тремя конструкциями из разных семейств является единственной однородной. В скобках указано либо повторение, либо неравномерность. Диаграммы Кокстера даны с индексами от 1 до 46. Включено дуопризматическое семейство 3-3 и 4-4, второе по отношению к семейству B ₄ .

Группа Коксетера	Расширенный симметрия	Полихора		Хиральный расширенный симметрия	Чередование сот
[3,3,3]	[3,3,3] (заказ 120)	6	₍₁₎ \| ₍₂₎ \| ₍₃₎ ₍₄₎ \| ₍₇₎ \| ₍₈₎
[3,3,3]	[2 ⁺[3,3,3]] (заказ 240)	3	₍₅₎\| ₍₆₎ \| ₍₉₎	[2 ⁺[3,3,3]] ⁺ (заказ 120)	(1)	₍₋₎
[3,3 ^1,1]	[3,3 ^1,1] (заказ 192)	0	(никто)
	[1[3,3 ^1,1]]=[4,3,3] = (заказ 384)	(4)	₍₁₂₎ \| ₍₁₇₎ \| ₍₁₁₎ \| ₍₁₆₎
	[3[3 ^1,1,1]]=[3,4,3] = (заказ 1152)	(3)	₍₂₂₎ \| ₍₂₃₎ \| ₍₂₄₎	[3[3,3 ^1,1]] ⁺ =[3,4,3] ⁺ (заказ 576)	(1)	₍₃₁₎ (= ) ₍₋₎
[4,3,3]	[3[1 ⁺,4,3,3]]=[3,4,3] = (заказ 1152)	(3)	₍₂₂₎ \| ₍₂₃₎ \| ₍₂₄₎
	[4,3,3] (заказ 384)	12	₍₁₀₎ \| ₍₁₁₎ \| ₍₁₂₎ \| ₍₁₃₎ \| ₍₁₄₎ ₍₁₅₎ \| ₍₁₆₎ \| ₍₁₇₎ \| ₍₁₈₎ \| ₍₁₉₎ ₍₂₀₎ \| ₍₂₁₎	[1 ⁺,4,3,3] ⁺ (заказ 96)	(2)	₍₁₂₎ (= ) ₍₃₁₎ ₍₋₎
	[4,3,3] (заказ 384)	12		[4,3,3] ⁺ (заказ 192)	(1)	₍₋₎
[3,4,3]	[3,4,3] (заказ 1152)	6	₍₂₂₎ \| ₍₂₃₎ \| ₍₂₄₎ ₍₂₅₎ \| ₍₂₈₎ \| ₍₂₉₎	[2 ⁺[3 ⁺,4,3 ⁺]] (заказ 576)	1	₍₃₁₎
[3,4,3]	[2 ⁺[3,4,3]] (заказ 2304)	3	₍₂₆₎ \| ₍₂₇₎ \| ₍₃₀₎	[2 ⁺[3,4,3]] ⁺ (заказ 1152)	(1)	₍₋₎
[5,3,3]	[5,3,3] (заказ 14400)	15	₍₃₂₎ \| ₍₃₃₎ \| ₍₃₄₎ \| ₍₃₅₎ \| ₍₃₆₎ ₍₃₇₎ \| ₍₃₈₎ \| ₍₃₉₎ \| ₍₄₀₎ \| ₍₄₁₎ ₍₄₂₎ \| ₍₄₃₎ \| ₍₄₄₎ \| ₍₄₅₎ \| ₍₄₆₎	[5,3,3] ⁺ (заказ 7200)	(1)	₍₋₎
[3,2,3]	[3,2,3] (заказ 36)	0	(никто)	[3,2,3] ⁺ (заказ 18)	0	(никто)
	[2 ⁺[3,2,3]] (заказ 72)	0		[2 ⁺[3,2,3]] ⁺ (заказ 36)	0	(никто)
	[[3],2,3]=[6,2,3] = (заказ 72)	1		[1[3,2,3]]=[[3],2,3] ⁺=[6,2,3] ⁺ (заказ 36)	(1)
	[(2 ⁺,4)[3,2,3]]=[2 ⁺[6,2,6]] = (заказ 288)	1		[(2 ⁺,4)[3,2,3]] ⁺=[2 ⁺[6,2,6]] ⁺ (заказ 144)	(1)
[4,2,4]	[4,2,4] (заказ 64)	0	(никто)	[4,2,4] ⁺ (заказ 32)	0	(никто)
	[2 ⁺[4,2,4]] (заказ 128)	0	(никто)	[2 ⁺[(4,2 ⁺,4,2 ⁺)]] (заказ 64)	0	(никто)
	[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3] = (заказ 384)	(1)	₍₁₀₎	[(3,3)[4,2*,4]] ⁺=[4,3,3] ⁺ (заказ 192)	(1)	₍₁₂₎
	[[4],2,4]=[8,2,4] = (заказ 128)	(1)		[1[4,2,4]]=[[4],2,4] ⁺=[8,2,4] ⁺ (заказ 64)	(1)
	[(2 ⁺,4)[4,2,4]]=[2 ⁺[8,2,8]] = (заказ 512)	(1)		[(2 ⁺,4)[4,2,4]] ⁺=[2 ⁺[8,2,8]] ⁺ (заказ 256)	(1)

Равномерная звездчатая полихора

Помимо вышеупомянутых семейств бесконечных дуопризм и антипризм, которые имеют бесконечное количество невыпуклых членов, было обнаружено множество однородных звездных полихор. В 1852 году Людвиг Шлефли открыл четыре правильных звездчатых полихоры: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} и {5/2,3,3. }. В 1883 году Эдмунд Гесс нашел остальные шесть: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2. }, {5,5/2,3} и {3,5/2,5}. Норман Джонсон описал три однородных звездных полихора, похожих на антипризмы, в своей докторской диссертации 1966 года: они основаны на трех дитригональных многогранниках, разделяющих ребра и вершины правильного додекаэдра. С тех пор другие исследователи, в том числе Джонатан Бауэрс и Джордж Ольшевский, обнаружили гораздо больше, в результате чего в настоящее время насчитывается 2127 известных однородных звездных полихор (не считая бесконечного набора дуопризм, основанных на звездных многоугольниках). В настоящее время нет доказательств полноты набора.

См. также

Конечные правильные косые многогранники 4-пространства
Выпуклые однородные соты - связанные бесконечные 4-многогранники в евклидовом 3-мерном пространстве.
Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве - связанные бесконечные 4-многогранники в гиперболическом 3-пространстве.
Паракомпактные однородные соты

Ссылки

^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224
^ Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 13 августа 2010 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ Эльте (1912)
^ Однородные многогранники в четырех измерениях , 6 декабря 1998 г., самый старый архив.
^ Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона Дэвида Дарлинга, (2004) ASIN: B00SB4TU58
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Джонсон (2015), глава 11, раздел 11.5 Сферические группы Кокстера, 11.5.5 полные полихорические группы
^ Однородные многогранники в четырех измерениях , Джордж Ольшевский.
^ Мёллер, Марко (2004). Viersizede Archimedische Polytope (PDF) (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Гамбурга.
^ Конвей (2008)
^ Многомерный глоссарий , Георгий Ольшевский.
^ https://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf Семинар по выпуклым и абстрактным многогранникам (2005), Н.Джонсон - аннотация «Равномерная полихора».
^ Перейти обратно: ^а ^б «Равномерная Полихора» . www.polytope.net . Проверено 20 февраля 2020 г.
^ «Равномерный многогранник» . Политоп Wiki . 6 ноября 2023 г. Проверено 11 ноября 2023 г.
^ Коксетер, Правильные многогранники, 7.7 Критерий Шлефли, уравнение 7.78, стр.135
^ «С3с3с3с» .
^ «С3с3с4с» .
^ «С3с4с3с» .
^ «С3с3с5с» .
^ sns2s2mx , Ричард Клитцинг
^ HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II, [Math. Зейт. 188 (1985) с. 582-588 2.7 Четырехмерные аналоги курносого куба
^ «Многогранник-дерево» .
^ «тута» .
^ Категория S1: Тутпап Simple Scaliforms
^ «Присси» .
^ Категория S3: Особые чешуйчатые присси
^ «бидекс» . Bendwavevy.org . Проверено 11 ноября 2023 г.
^ Категория S3: Специальный бидекс Scaliforms.
^ Би-икозитетрадиминишированный 600-ячеечный
^ «спидрокс» . Bendwavevy.org . Проверено 11 ноября 2023 г.
^ Категория S4: Чешуйчатые вихревые призмы spidrox

А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
Б. Грюнбаум «Выпуклые многогранники» , Нью-Йорк; Лондон: Спрингер, 2003 г. ISBN 0-387-00424-6 .
Второе издание подготовили Фолькер Кайбель, Виктор Клее и Гюнтер М. Циглер.
Эльте, EL (1912), Полуправильные многогранники гиперпространств , Гронинген: Гронингенский университет, ISBN 1-4181-7968-Х Полуправильные многогранники гиперпространств. Полуправильные многогранники гиперпространств.
ХСМ Коксетер :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society, London, 1954
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и отношения для дискретных групп. 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 р. 92, с. 122.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (глава 26)
Джон Х. Конвей и Гай MJT : Четырехмерные архимедовы многогранники , Материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 11: Конечные группы симметрии
Ричард Клитцинг, Снабс, чередующиеся грани и диаграммы Стотта-Коксетера-Динкина , Симметрия: Культура и Наука, Vol. 21, №4, 329-344, (2010) [1]
Шуте, Питер Хендрик (1911), «Аналитическая обработка многогранников, регулярно полученных из правильных многогранников», Трактаты Королевской академии наук в Амстердаме , 11 (3): 87 стр. Googlebook, 370-381

Внешние ссылки

Выпуклые однородные 4-многогранники
- Однородные выпуклые многогранники в четырех измерениях , Марко Мёллер (на немецком языке) . Включает альтернативные имена этих фигур, в том числе имена Джонатана Бауэрса, Джорджа Ольшевского и Нормана Джонсона.
- Правильные и полуправильные выпуклые многогранники: краткий исторический обзор
- Java3D-апплеты с исходниками
Невыпуклые однородные 4-многогранники
- Равномерная полихора Джонатана Бауэрса
- Stella4D Stella (программное обеспечение) создает интерактивные изображения известных однородных полихор, включая 64 выпуклые формы и бесконечные призматические семейства.
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники» .
4D-многогранники и их двойственные многогранники группы Коксетера W(A4), представленные кватернионами Международный журнал геометрических методов в современной физике, Vol. 9, № 4 (2012) Мехмет Коджа, Назифе Оздес Коджа, Мудхахир Аль-Аджми (2012) [2]

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224

[2] Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.

[3] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 13 августа 2010 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[4] Эльте (1912)

[5] Однородные многогранники в четырех измерениях , 6 декабря 1998 г., самый старый архив.

[6] Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона Дэвида Дарлинга, (2004) ASIN: B00SB4TU58

[polychoric_groups-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Джонсон (2015), глава 11, раздел 11.5 Сферические группы Кокстера, 11.5.5 полные полихорические группы

[8] Однородные многогранники в четырех измерениях , Джордж Ольшевский.

[9] Мёллер, Марко (2004). Viersizede Archimedische Polytope (PDF) (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Гамбурга.

[10] Конвей (2008)

[11] Многомерный глоссарий , Георгий Ольшевский.

[12] ttps://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf Семинар по выпуклым и абстрактным многогранникам (2005), Н.Джонсон - аннотация «Равномерная полихора».

[:0-13] Перейти обратно: ^а ^б «Равномерная Полихора» . www.polytope.net . Проверено 20 февраля 2020 г.

[14] «Равномерный многогранник» . Политоп Wiki . 6 ноября 2023 г. Проверено 11 ноября 2023 г.

[15] Коксетер, Правильные многогранники, 7.7 Критерий Шлефли, уравнение 7.78, стр.135

[16] «С3с3с3с» .

[17] «С3с3с4с» .

[18] «С3с4с3с» .

[19] «С3с3с5с» .

[20] sns2s2mx , Ричард Клитцинг

[21] HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II, [Math. Зейт. 188 (1985) с. 582-588 2.7 Четырехмерные аналоги курносого куба

[22] «Многогранник-дерево» .

[23] «тута» .

[24] Категория S1: Тутпап Simple Scaliforms

[25] «Присси» .

[26] Категория S3: Особые чешуйчатые присси

[27] «бидекс» . Bendwavevy.org . Проверено 11 ноября 2023 г.

[28] Категория S3: Специальный бидекс Scaliforms.

[29] Би-икозитетрадиминишированный 600-ячеечный

[30] «спидрокс» . Bendwavevy.org . Проверено 11 ноября 2023 г.

[31] Категория S4: Чешуйчатые вихревые призмы spidrox

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]