Сморщенные тессеракты

Тессеракт	Сморщенный тессеракт (Руссированный, 16-ячеечный)	16-ячеечный
Усеченный тессеракт (Рунцикантеллярный, 16-клеточный)	Ранцитусеченный 16-клеточный (Runcicantellated тессеракт)	Всеусеченный тессеракт (Всеусеченный, 16 ячеек)
Ортогональные проекции в B 4 плоскости Кокстера

В четырехмерной геометрии ( срезанный тессеракт или срезанный 16-ячеечный ) представляет собой выпуклый однородный 4-многогранник , являющийся срезом (усечением 3-го порядка) регулярного тессеракта .

Существует 4 варианта сокращений тессеракта, в том числе с перестановками, усечениями и кантелляциями.

Сморщенный тессеракт

Сморщенный тессеракт
Диаграмма Шлегеля с 16 тетраэдрами.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т 0,3 {4,3,3}
Диаграммы Кокстера
Клетки	80	16 3.3.3 32 3.4.4 32 4.4.4
Лица	208	64 {3} 144 {4}
Края	192
Вершины	64
Вершинная фигура	Равносторонний треугольный антиподий
Группа симметрии	B 4 , [3,3,4], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	14 15 16

Сеть

Усеченный тессеракт или (маленький) диспризматотессерактигексадекашорон имеет 16 тетраэдров , 32 куба и 32 треугольные призмы . Каждую вершину разделяют 4 куба, 3 треугольные призмы и один тетраэдр.

Строительство

Закругленный тессеракт можно построить путем расширения ячеек тессеракта в радиальном направлении и заполнения промежутков тетраэдрами (вершинные фигуры), кубами (граневые призмы) и треугольными призмами (призмы граничных фигур). Тот же процесс, примененный к 16-ячейке, также дает ту же цифру.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин тессеракта с длиной ребра 2 представляют собой перестановки:

$\left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)$

Изображения

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Диаграммы Шлегеля

Каркас

Каркас с 16 тетраэдрами .

Каркас с 32 треугольными призмами .

Структура

Восемь кубических ячеек соединены с остальными 24 кубическими ячейками через все 6 квадратных граней. Остальные 24 кубические ячейки соединены с предыдущими 8 ячейками только двумя противоположными квадратными гранями; остальные 4 грани соединены с треугольными призмами. Треугольные призмы соединены с тетраэдрами своими треугольными гранями.

Сморщенный тессеракт можно расчленить на 2 кубических купола и ромбокубооктаэдрическую призму между ними. Это рассечение можно рассматривать как аналогичное трехмерному ромбокубооктаэдру на , расчлененному два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму .

кубический купол

ромбокубооктаэдрическая призма

Прогнозы

направлением куба Орфографическая проекция изогнутого тессеракта в трехмерном пространстве с имеет (маленькую) ромбокубооктаэдрическую оболочку. Изображения его ячеек расположены внутри этого конверта следующим образом:

• Ближайший и самый дальний куб с точки зрения 4D проецируется в кубический объем в центре конверта.
• Шесть кубоидальных объемов соединяют этот центральный куб с шестью осевыми квадратными гранями ромбокубооктаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек (каждая пара кубов имеет общее изображение).
• 18 квадратных граней конверта — это изображения остальных кубических ячеек.
• 12 клиновидных объемов, соединяющих грани центрального куба с неосными квадратными гранями оболочки, представляют собой изображения 24 треугольных призм (по паре ячеек на изображение).
• 8 треугольных граней конверта являются изображениями остальных 8 треугольных призм.
• Наконец, 8 тетраэдрических объемов, соединяющих вершины центрального куба с треугольными гранями оболочки, являются изображениями 16 тетраэдров (опять же по паре ячеек на изображение).

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней (маленького) ромбокубооктаэдра при проекции на 2 измерения. Ромбикубооктаэдр также состоит из куба или октаэдра аналогично сеченному тессеракту. Следовательно, растянутый тессеракт можно рассматривать как четырехмерный аналог ромбокубооктаэдра.

Усеченный тессеракт

Усеченный тессеракт
Диаграмма Шлегеля с центром в усеченном кубе, с показанными кубооктаэдрическими ячейками
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,3 {4,3,3}
Диаграммы Кокстера
Клетки	80	8 3.4.4 16 3.4.3.4 24 4.4.8 32 3.4.4
Лица	368	128 {3} 192 {4} 48 {8}
Края	480
Вершины	192
Вершинная фигура	Прямоугольная пирамида
Группа симметрии	B 4 , [3,3,4], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	18 19 20

Сеть

, Усеченный тессеракт усеченный 16-клеточный или призматоромбатированный гексадекахорон ограничен 80 ячейками: 8 усеченными кубами , 16 кубооктаэдрами , 24 восьмиугольными призмами и 32 треугольными призмами .

Строительство

Усеченный тессеракт может быть построен из усеченного тессеракта путем расширения ячеек усеченного куба наружу радиально и вставки между ними восьмиугольных призм. При этом тетраэдры расширяются в кубооктаэдры, а треугольные призмы заполняют оставшиеся пробелы.

Декартовы координаты вершин необрезанного тессеракта, имеющего длину ребра 2, задаются всеми перестановками:

$\left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)$

Прогнозы

В первой параллельной проекции усеченного куба усеченного тессеракта в трехмерное пространство проекционное изображение располагается следующим образом:

• Огибающая проекции представляет собой неоднородный (маленький) ромбокубооктаэдр с 6 квадратными гранями и 12 прямоугольными гранями.
• Две ячейки усеченного куба проецируются на усеченный куб в центре оболочки проекции.
• Шесть восьмиугольных призм соединяют этот центральный усеченный куб с квадратными гранями конверта. Это изображения 12 ячеек восьмиугольной призмы, по две ячейки на каждое изображение.
• Остальные 12 восьмиугольных призм проецируются на прямоугольные грани оболочки.
• 6 квадратных граней конверта — это изображения остальных 6 усеченных ячеек куба.
• Двенадцать прямоугольных треугольных призм соединяют внутренние восьмиугольные призмы. Это изображения 24 ячеек треугольной призмы. Остальные 8 треугольных призм выступают на треугольные грани конверта.
• Остальные 8 объемов, лежащие между треугольными гранями конверта и внутренним усеченным кубом, представляют собой изображения 16 кубооктаэдрических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.

Изображения

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Стереографическая проекция со 128 синими треугольными гранями и 192 зелеными четырехугольными гранями.

Ранцитусеченный 16-клеточный

Ранцитусеченный 16-клеточный
Диаграммы Шлегеля с центром ромбокубооктаэдр и усеченный тетраэдр
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,3 {3,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	80	8 3.4.4.4 16 3.6.6 24 4.4.4 32 4.4.6
Лица	368	64 {3} 240 {4} 64 {6}
Края	480
Вершины	192
Вершинная фигура	Трапециевидная пирамида
Группа симметрии	B 4 , [3,3,4], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	19 20 21

Сеть

Усеченный 16-клеточный , усеченный тессеракт или призматоромбатированный тессеракт ограничен 80 ячейками : 8 ромбокубооктаэдрами , 16 усеченными тетраэдрами , 24 кубами и 32 шестиугольными призмами .

Строительство

Усеченный 16-ячеечный элемент можно построить, сжимая маленькие ромбокубооктаэдрические ячейки кантеллированного тессеракта радиально и заполняя промежутки между ними кубами. При этом октаэдрические ячейки расширяются в усеченные тетраэдры (половина их треугольных граней расширяются в шестиугольники за счет раздвигания ребер), а треугольные призмы расширяются в шестиугольные призмы (каждая из трех исходных квадратных граней, как и прежде, соединена в маленькие ромбокубооктаэдры и три их новые квадратные грани, соединенные с кубами).

Вершины усеченной 16-ячейки с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками следующих декартовых координат :

$\left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)$

Изображения

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Структура

Маленькие ромбокубооктаэдрические ячейки соединены своими 6 осевыми квадратными гранями с кубическими ячейками и соединены своими 12 неосными квадратными гранями с шестиугольными призмами. Кубические ячейки соединены с ромбокубооктаэдрами двумя противоположными гранями, а с шестиугольными призмами - оставшимися четырьмя гранями. Шестиугольные призмы соединены с усеченными тетраэдрами своими шестиугольными гранями, с ромбокубооктаэдрами - тремя квадратными гранями каждый, а с кубами - тремя другими квадратными гранями. Усеченные тетраэдры соединены с ромбокубооктаэдрами треугольными гранями, а с шестиугольными призмами — шестиугольными гранями.

Прогнозы

Ниже показано расположение ячеек 16 -ячеечной усеченной ячейки под параллельной проекцией маленького ромбокубооктаэдра вперед в трехмерное пространство:

• Оболочка проекции представляет собой усеченный кубооктаэдр .
• Шесть малых ромбокубооктаэдров проецируются на 6 восьмиугольных граней этой оболочки, а два других проецируются на небольшой ромбокубооктаэдр, лежащий в центре этой оболочки.
• 6 кубических объемов, соединяющих осевые квадратные грани центрального малого ромбокубооктаэдра с центром восьмиугольников, соответствуют изображению 12 кубических ячеек (каждая пара из двенадцати имеет одно и то же изображение).
• Остальные 12 кубических ячеек выступают на 12 квадратных граней большой ромбокубооктаэдрической оболочки.
• 8 объемов, соединяющих шестиугольники оболочки с треугольными гранями центрального ромбокубооктаэдра, являются изображениями 16 усеченных тетраэдров.
• Остальные 12 пространств, соединяющих неосные квадратные грани центрального малого ромбокубооктаэдра с квадратными гранями оболочки, являются изображениями 24 шестиугольных призм.
• Наконец, последние 8 шестиугольных призм выступают на шестиугольные грани оболочки.

Такое расположение ячеек похоже на расположение граней большого ромбокубооктаэдра при проекции в 2-мерное пространство. Следовательно, усеченный 16-ячеечный элемент можно рассматривать как один из четырехмерных аналогов большого ромбокубооктаэдра. Другой аналог — всеусеченный тессеракт .

Всеусеченный тессеракт

Всеусеченный тессеракт
диаграмма Шлегеля , с центром в усеченном кубооктаэдре, показаны усеченные октаэдрические ячейки
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {3,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	80	8 4.6.8 16 4.6.6 24 4.4.8 32 4.4.6
Лица	464	288 {4} 128 {6} 48 {8}
Края	768
Вершины	384
Вершинная фигура	Хиральный разносторонний тетраэдр
Группа симметрии	B 4 , [3,3,4], порядок 384
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	20 21 22

Омниусеченный тессеракт , омниусеченный 16-клеточный , или большой диспризматотессерактигексадекахорон, ограничен 80 ячейками : 8 усеченными кубооктаэдрами , 16 усеченными октаэдрами , 24 восьмиугольными призмами и 32 шестиугольными призмами .

Строительство

Омниусеченный тессеракт можно построить из кантиусеченного тессеракта путем радиального смещения усеченных кубооктаэдрических ячеек так, чтобы между их восьмиугольными гранями можно было вставить восьмиугольные призмы. В результате треугольные призмы расширяются в шестиугольные призмы, а усеченные тетраэдры расширяются в усеченные октаэдры.

Декартовы координаты вершин всеусеченного тессеракта с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками координат и знаком:

$\left(1,\ 1+{\sqrt {2}},\ 1+2{\sqrt {2}},\ 1+3{\sqrt {2}}\right)$

Структура

Ячейки усеченных кубооктаэдров соединены с восьмиугольными призмами через их восьмиугольные грани, с усеченными октаэдрами - через их шестиугольные грани, а с шестиугольными призмами - через их квадратные грани. Восьмиугольные призмы соединены с шестиугольными призмами и усеченными октаэдрами своими квадратными гранями, а шестиугольные призмы соединены с усеченными октаэдрами посредством своих шестиугольных граней.

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгрупповый порядок путем удаления одного зеркала за раз. Ребра существуют в 4 положениях симметрии. У квадрата 3 позиции, у шестиугольника 2 позиции, у восьмиугольника одна. Наконец, существуют 4 типа ячеек, сосредоточенных в 4 углах фундаментального симплекса.

Б 4		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1				ff2						f 3				к -фигура	Примечания
		( )	ж 0	384	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	4.( )	Б 4 = 384
А 1		{ }	ж 1	2	192	*	*	*	1	1	1	0	0	0	1	1	1	0	3.( )	Б 4 /А 1 = 192
А 1		{ }		2	*	192	*	*	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1		Б 4 /А 1 = 192
А 1		{ }		2	*	*	192	*	0	1	0	1	0	1	1	0	1	1		Б 4 /А 1 = 192
А 1		{ }		2	*	*	*	192	0	0	1	0	1	1	0	1	1	1		Б 4 /А 1 = 192
А 2		{6}	ff2	6	3	3	0	0	64	*	*	*	*	*	1	1	0	0	{ }	Б 4 /А 2 = 64
А 1 А 1		{4}		4	2	0	2	0	*	96	*	*	*	*	1	0	1	0		Б 4 /А 1 А 1 = 96
А 1 А 1		{4}		4	2	0	0	2	*	*	96	*	*	*	0	1	1	0		Б 4 /А 1 А 1 = 96
А 2		{6}		6	0	3	3	0	*	*	*	64	*	*	1	0	0	1		Б 4 /А 2 = 64
А 1 А 1		{4}		4	0	2	0	2	*	*	*	*	96	*	0	1	0	1		Б 4 /А 1 А 1 = 96
BБ2		{8}		8	0	0	4	4	*	*	*	*	*	48	0	0	1	1		Б 4 /Б 2 = 48
AА3		тр{3,3}	f 3	24	12	12	12	0	4	6	0	4	0	0	16	*	*	*	( )	Б 4 /А 3 = 16
А 2 А 1		{6}×{ }		12	6	6	0	6	2	0	3	0	3	0	*	32	*	*		Б 4 /А 2 А 1 = 32
Б 2 А 1		{8}×{ }		16	8	0	8	8	0	4	4	0	0	2	*	*	24	*		Б 4 /Б 2 А 1 = 24
BБ3		тр{4,3}		48	0	24	24	24	0	0	0	8	12	6	*	*	*	8		Б 4 /Б 3 = 8

Прогнозы

В усеченном кубооктаэдре в первой параллельной проекции омниусеченного тессеракта в 3 измерения изображения его ячеек располагаются следующим образом:

• Огибающая проекции имеет форму неоднородного усеченного кубооктаэдра.
• Два усеченных кубооктаэдра выступают в центр оболочки проекции.
• Остальные 6 усеченных кубооктаэдров проецируются на (неправильные) восьмиугольные грани оболочки. Они соединены с центральным усеченным кубооктаэдром через 6 восьмиугольных призм, которые являются изображениями ячеек восьмиугольной призмы, по паре на каждое изображение.
• 8 шестиугольных граней конверта представляют собой изображения 8 шестиугольных призм.
• Остальные шестиугольные призмы проецируются на 12 неправильных изображений шестиугольных призм, лежащих там, где должны быть края куба. Каждому изображению соответствуют две ячейки.
• Наконец, 8 объемов между шестиугольными гранями проекционной оболочки и шестиугольными гранями центрального усеченного кубооктаэдра являются изображениями 16 усеченных октаэдров, по две ячейки на каждое изображение.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению 16-ячеечных усеченных ячеек , что аналогично расположению граней в проекции усеченного кубооктаэдра, начиная с восьмиугольника, в двух измерениях. Таким образом, всеусеченный тессеракт можно рассматривать как еще один аналог усеченного кубооктаэдра в четырех измерениях.

Изображения

орфографические проекции

Самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б2 / Д3
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Коксетера	FF4	AА3
График
Двугранная симметрия	[12/3]	[4]

Перспективные прогнозы
Перспективная проекция с центром на одной из усеченных кубооктаэдрических ячеек, выделенной желтым цветом. Шесть окружающих восьмиугольных призм окрашены в синий цвет, а остальные ячейки — в зеленый. Ячейки, не видимые с точки зрения 4D, удалены для ясности.	Перспективная проекция с центром на одной из усеченных октаэдрических ячеек, выделенной желтым цветом. Четыре окружающие шестиугольные призмы показаны синим цветом, еще 4 усеченных октаэдра на другой стороне этих призм также показаны желтым цветом. Ячейки, не видимые с точки зрения 4D, удалены для ясности. С этого ракурса также можно различить некоторые другие шестиугольные и восьмиугольные призмы.
Стереографические проекции
В центре усеченного кубооктаэдра.	В центре усеченного октаэдра

Сеть

Всеусеченный тессеракт

Двойной или всеусеченный тессеракт

Полный курносый тессеракт

Фигура вершины тессеракта omnisnub

Полный курносый тессеракт или omnisnub тессеракт , определяемый как чередование всеусеченного тессеракта, не может быть сделан единым, но ему можно дать диаграмму Коксетера. и симметрия [4,3,3] ⁺ , и построен из 8 курносых кубов , 16 икосаэдров , 24 квадратных антипризм , 32 октаэдров (как треугольные антипризмы) и 192 тетраэдров , заполняющих промежутки в удаленных вершинах. Он имеет 272 ячейки, 944 грани, 864 ребра и 192 вершины.

Биальтернатоснуб 16-кл.

Вершинная фигура для биальтернатоснуба 16-ячеечная

Биальтернатосносный 16-клеточный или руничный курносый выпрямленный 16-клеточный , построенный путем удаления из восьмиугольников чередующихся длинных прямоугольников, также не является однородным. Как и тессеракт omnisnub, он имеет конструкцию наивысшей симметрии порядка 192, с 8 ромбокубооктаэдрами (с симметрией T _h ), 16 икосаэдрами (с симметрией T ), 24 прямоугольными трапезопризмами (топологически эквивалентными кубу , но с симметрией D _2d ), 32 треугольные призмы , с 96 треугольными призмами (как клинья C _s -симметрии), заполняющими промежутки.

Вариант с правильными икосаэдрами и равномерными треугольными призмами имеет две длины ребер в соотношении 1 : 2 и представляет собой вершинную огранку чешуйчатого руничного вздернутого 24-клеточного .

Связанные однородные многогранники

показывать Многогранники симметрии B4
Name	tesseract	rectified tesseract	truncated tesseract	cantellated tesseract	runcinated tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	omnitruncated tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t1{4,3,3} r{4,3,3}	t0,1{4,3,3} t{4,3,3}	t0,2{4,3,3} rr{4,3,3}	t0,3{4,3,3}	t1,2{4,3,3} 2t{4,3,3}	t0,1,2{4,3,3} tr{4,3,3}	t0,1,3{4,3,3}	t0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B4
Name	16-cell	rectified 16-cell	truncated 16-cell	cantellated 16-cell	runcinated 16-cell	bitruncated 16-cell	cantitruncated 16-cell	runcitruncated 16-cell	omnitruncated 16-cell
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t1{3,3,4} r{3,3,4}	t0,1{3,3,4} t{3,3,4}	t0,2{3,3,4} rr{3,3,4}	t0,3{3,3,4}	t1,2{3,3,4} 2t{3,3,4}	t0,1,2{3,3,4} tr{3,3,4}	t0,1,3{3,3,4}	t0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B4

Ссылки

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
• ХСМ Коксетер :
  • Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 , с. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 )
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• 2. Выпуклая равномерная полихора на основе тессеракта (8-клеточного) и гексадекахорона (16-клеточного) — Модель 15, 19, 20 и 21 , Георгий Ольшевский.
• http://www.polytope.de/nr17.html
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . х3о3о4х - сидпит, х3о3х4х - прох, х3х3о4х - прит, х3х3х4х - гидпит

Внешние ссылки

• Однородные многогранники H4 с координатами: t03{4,3,3} t013{3,3,4} t013{4,3,3} t0123{4,3,3}