8-ортоплекс

8-ортоплекс Октакросс
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 8-многогранник
Семья	ортоплекс
Символ Шлефли	{3 6 ,4} {3,3,3,3,3,3 1,1 }
Диаграммы Кокстера-Динкина
7-гранный	256 {3 6 }
6-гранный	1024 {3 5 }
5-гранный	1792 {3 4 }
4-ликий	1792 {3 3 }
Клетки	1120 {3,3}
Лица	448 {3}
Края	112
Вершины	16
Вершинная фигура	7-ортоплекс
Полигон Петри	шестиугольник
Группы Кокстера	С 8 , [3 6 ,4] Д 8 , [3 5,1,1 ]
Двойной	8-кубовый
Характеристики	выпуклый многогранник Ханнера

В геометрии или 8-ортоплекс 8- перекрестный многогранник — это правильный 8-многогранник с 16 вершинами , 112 ребрами , 448 гранями тетраэдра треугольников, 1120 ячейками , 1792 5-ячеечными 4-гранями , 1792 5-гранями , 1024 6-гранями , и 256 7-гранников .

Он имеет две конструктивные формы, первая из которых регулярная с символом Шлефли {3 ⁶ ,4}, а второй с попеременно помеченными (в шахматном порядке) гранями, с символом Шлефли {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } или символ Кокстера 5 ₁₁ .

Он является частью бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-многогранниками или ортоплексами . Двойственный многогранник представляет собой 8- гиперкуб или октеракт .

Альтернативные названия

• Октакросс , образовано от объединения фамильного крестового многогранника с октаном , обозначающим восемь (размеров) на греческом языке.
• Диакосипентаконтагексазеттон как 256- гранный 8-многогранник (полизеттон)

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет 8-ортоплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням, 5-граням, 6-граням и 7-граням. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем 8-ортоплексе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&14&84&280&560&672&448&128\\2&112&12&60&160&240&192&64\\3&3&448&10&40&80&80&32\\4&6&4&1120&8&24&32&16\\5&10&10&5&1792&6&12&8\\6&15&20&15&6&1792&4&4\\7&21&35&35&21&7&1024&2\\8&28&56&70&56&28&8&256\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгрупповой порядок путем удаления отдельных зеркал.

Б 8		k-лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	f 3	ж 4	ж 5	ж 6	ж 7	к -фигура	примечания
Б 7		( )	ж 0	16	14	84	280	560	672	448	128	{3,3,3,3,3,4}	Б 8 /Б 7 = 2^8*8!/2^7/7! = 16
А 1 Б 6		{ }	ж 1	2	112	12	60	160	240	192	64	{3,3,3,3,4}	Б 8 /А 1 Б 6 = 2^8*8!/2/2^6/6! = 112
А 2 Б 5		{3}	ff2	3	3	448	10	40	80	80	32	{3,3,3,4}	B 8 /A 2 B 5 = 2^8*8!/3!/2^5/5! = 448
А 3 Б 4		{3,3}	f 3	4	6	4	1120	8	24	32	16	{3,3,4}	B 8 /A 3 B 4 = 2^8*8!/4!/2^4/4! = 1120
А 4 Б 3		{3,3,3}	ж 4	5	10	10	5	1792	6	12	8	{3,4}	B 8 /A 4 B 3 = 2^8*8!/5!/8/3! = 1792
А 5 Б 2		{3,3,3,3}	ж 5	6	15	20	15	6	1792	4	4	{4}	B 8 /A 5 B 2 = 2^8*8!/6!/4/2 = 1792
А 6 А 1		{3,3,3,3,3}	ж 6	7	21	35	35	21	7	1024	2	{ }	B 8 /A 6 A 1 = 2^8*8!/7!/2 = 1024
A 7		{3,3,3,3,3,3}	ж 7	8	28	56	70	56	28	8	256	( )	Б 8 /А 7 = 2^8*8!/8! = 256

Строительство

Есть две группы Кокстера, связанные с 8-кубом, одна регулярная , двойственная к октеракту с группой симметрии C ₈ или [4,3,3,3,3,3,3], и полусимметрия с двумя копиями 7-симплексных граней, чередующихся, с D ₈ или [3 ^5,1,1 ] группа симметрии. Конструкция с наименьшей симметрией основана на двойственном 8- ортотопе , называемом 8-фусилем .

Имя	Диаграмма Кокстера	Символ Шлефли	Симметрия	Заказ	Вершинная фигура
обычный 8-ортоплекс		{3,3,3,3,3,3,4}	[3,3,3,3,3,3,4]	10321920
Квазирегулярный 8-ортоплекс		{3,3,3,3,3,3 1,1 }	[3,3,3,3,3,3 1,1 ]	5160960
8-пушечный		8{}	[2 7 ]	256

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин 8-куба с центром в начале координат:

(±1,0,0,0,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0,0,0,0), (0,0,±1,0,0,0,0,0), (0,0,0,±1,0,0,0,0),

(0,0,0,0,±1,0,0,0), (0,0,0,0,0,±1,0,0), (0,0,0,0,0,0,0,±1), (0,0,0,0,0,0,0,±1)

Каждая пара вершин соединена ребром , кроме противоположных.

Изображения

орфографические проекции

Б 8			Б 7
[16]			[14]
Б 6			Б 5
[12]			[10]
Б 4		BБ3		BБ2
[8]		[6]		[4]
A 7		AА5		AА3
[8]		[6]		[4]

Он используется в чередующейся форме 5 ₁₁ с 8-симплексом для формирования 5 ₂₁ сот .

Ссылки

• ХСМ Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии.
• Клитцинг, Ричард. «8D однородные многогранники (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o4o - ek» .

Внешние ссылки

• Ольшевский, Георгий. «Перекрестный многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Многогранники различных размерностей
• Многомерный глоссарий