Jump to content

Двойной многогранник

(Перенаправлено из Двойной многогранник )
Двойником куба является октаэдр . Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра – друг другу.

В геометрии каждому многограннику сопоставлена ​​вторая двойственная структура, где вершины одного соответствуют граням другого , а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. [1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также могут быть построены как геометрические многогранники. [2] Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.

Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные элементы принадлежат соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники – (выпуклые) Платоновы тела и (звездные) многогранники Кеплера – Пуансо – образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр является самодвойственным . Двойственный изогональному многограннику (тот, в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрии многогранника) является изоэдральным многогранником (тот, в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Двойственный изотоксальному многограннику (тот, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.

Дуальность тесно связана с полярной взаимностью — геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как еще один выпуклый многогранник.

Виды двойственности

[ редактировать ]
Двойственное платоново тело можно построить, соединив центры граней. В общем, это создает только топологический двойник .
Изображения из книги Кеплера « Harmonices Mundi» (1619 г.)

Существует много видов двойственности. Виды, наиболее относящиеся к элементарным многогранникам, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Полярное взаимное движение

[ редактировать ]

В евклидовом пространстве двойственный многограннику часто определяется как полярное возвратно-поступательное движение вокруг сферы. Здесь каждой вершине (полюсу) сопоставлена ​​плоскость грани (полярной плоскости или просто полярной) так, что луч из центра в вершину перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. [3]

Когда сфера имеет радиус и центрирован в начале координат (так что он определяется уравнением ), то полярный двойник выпуклого многогранника определяется как

для всех в

где обозначает стандартное скалярное произведение и .

Обычно, когда при построении дуала сфера не указана, используется единичная сфера, т.е. в приведенных выше определениях. [4]

Для каждой грани описывается линейным уравнением соответствующая вершина двойственного многогранника будут координаты . Аналогично каждая вершина соответствует плоскости грани , и каждая краевая линия соответствует линии края . Соответствие между вершинами, ребрами и гранями и меняет включение. Например, если край содержит вершину, соответствующее ребро будет содержаться в соответствующей грани.

Для многогранника с центром симметрии принято использовать сферу с центром в этой точке, как в конструкции Дормана-Люка (упомянутой ниже). В противном случае это можно использовать для многогранника с описанной сферой, вписанной сферой или средней сферой (у которой все ребра являются касательными). Однако многогранник может совершать возвратно-поступательные движения вокруг любой сферы, и результирующая форма двойственного элемента будет зависеть от размера и положения сферы; Как разнообразна сфера, так же разнообразна и двойственная форма. Выбора центра сферы достаточно, чтобы определить двойственное с точностью до подобия.

Если у многогранника в евклидовом пространстве грань, линия ребра или вершина лежат в центре сферы, соответствующий элемент его двойственного элемента будет стремиться к бесконечности. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления необходимой «плоскости в бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного пространства не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные числа способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части).

Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездчатые многогранники, когда мы пытаемся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. [5] Из-за проблем с определениями геометрической двойственности невыпуклых многогранников Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.

Канонические двойники

[ редактировать ]
Каноническое двойное соединение кубооктаэдра (светлый) и ромдодекаэдра (темный). Пары ребер встречаются на общей срединной сфере .

Любой выпуклый многогранник может быть искажен до канонической формы , в которой существует единичная средняя сфера (или интерсфера), касающаяся каждого ребра, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма единственна с точностью до сравнений.

Если мы совершим возвратно-поступательное движение такого канонического многогранника вокруг его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также будет каноническим. Это каноническое двойственное соединение, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение. [6]

Строительство Дормана Люка

[ редактировать ]

Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана-Люка . [7]

Топологическая двойственность

[ редактировать ]

Даже если пара многогранников не может быть получена взаимным поступательным движением друг друга, их можно называть двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , сохраняя заболеваемость. Такие пары многогранников топологически или абстрактно двойственны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-остов многогранника), вложенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроектировать в виде диаграммы Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный вершинами и ребрами двойственного многогранника, является двойственным графом исходному графу.

В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, встроенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют двойственный граф исходного графа.

Абстрактный многогранник — это определенный вид частично упорядоченного набора (ЧУМ) элементов, в котором инцидентности или связи между элементами набора соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. У каждого такого ЧУМ есть двойственный ЧУМ, образованный изменением всех отношений порядка. Если ЧУ-множество визуализируется как диаграмма Хассе , то двойственное ЧУ-множество можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе.

Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственные многогранники могут быть нереализуемы геометрически.

Самодвойственные многогранники

[ редактировать ]

Топологически многогранник называется самодвойственным, если его двойственный многогранник имеет точно такую ​​же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе . Геометрически он не только топологически самодвойственен, но и его полярная обратная точка относительно определенной точки, обычно ее центроида, представляет собой аналогичную фигуру. Например, двойником правильного тетраэдра является другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .

Каждый многоугольник топологически самодвойственен, поскольку у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются по принципу двойственности. Но оно не обязательно самодвойственно (с точностью до твердого движения, например). Каждый многоугольник имеет правильную форму , которая геометрически самодвойственна относительно своей интерсферы: все углы равны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти сравнения меняются местами. Аналогично, каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником , обратным относительно центра средней сферы .

Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды . [8] Другое бесконечное семейство — вытянутые пирамиды — состоит из многогранников, которые грубо можно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы ( с одинаковым числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды со срезанной вершиной) под призмой создает еще одно бесконечное семейство и так далее. Существует много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных по 7 вершин и 16 по 8 вершин. [9]

Самодуальный невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был обнаружен Брюкнером в 1900 году. [10] [11] [12] Другие невыпуклые самодвойственные многогранники были найдены при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственных многогранников.

Двойные многогранники и тесселяции

[ редактировать ]

Дуальность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двухмерном виде они называются двойными многоугольниками .

Вершины одного многогранника соответствуют ( n − 1)-мерным элементам или граням другого, а j точек, определяющих ( j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, образуя ( n j )-мерный элемент. двойник n -мерной мозаики или сот Аналогично можно определить .

В общем, грани двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных обратных величин правильных и однородных многогранников двойственные фасеты будут полярными обратными вершинной фигуре оригинала. Например, в четырех измерениях вершиной 600-ячеечной фигуры является икосаэдр ; двойником 600-ячеечного является 120-ячеечный , чьи грани представляют собой додекаэдры , двойственные икосаэдру.

Самодвойственные многогранники и замощения

[ редактировать ]
Квадратная мозаика {4,4} является самодвойственной, как показано на этих красных и синих мозаиках.
Апейрогональная мозаика бесконечного порядка , {∞,∞} красным и ее двойственное положение синим цветом.

Основной класс самодвойственных многогранников — это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственны, многогранники вида {a,a}, 4-многогранники вида {a,b,a}, 5-многогранники вида {a,b,b,a }, и т. д.

Самодвойственные правильные многогранники:

Самодуальными (бесконечными) правильными евклидовыми сотами являются:

Самодуальными (бесконечными) правильными гиперболическими сотами являются:

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Веннингер (1983) , «Основные представления о звездчатости и двойственности», с. 1.
  2. ^ Грюнбаум (2003)
  3. ^ Канди и Роллетт (1961) , 3.2 Двойственность, стр. 78–79; Веннингер (1983) , страницы 3–5. (Обратите внимание: обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)
  4. ^ Barvinok (2002) , Page 143.
  5. ^ См., например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к получению своих бесконечных двойников.
  6. ^ Грюнбаум (2007) , Теорема 3.1, с. 449.
  7. ^ Канди и Роллетт (1961) , с. 117; Веннингер (1983) , с. 30.
  8. ^ Воллебен, Ева (2019), «Дуальность в неполиэдральных телах, часть I: Полилайнер», в Коккьярелле, Луиджи (редактор), ICGG 2018 - Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-летие - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. , Спрингер, с. 485–486, номер домена : 10.1007/978-3-319-95588-9 , ISBN.  978-3-319-95588-9
  9. ^ 3D- Java модели в симметриях канонических самодвойственных многогранников , на основе статьи Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрое создание плоских графов PDF [1]
  10. ^ Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometry / Вклад в алгебру и геометрию , апрель 2011 г., том 52, выпуск 1, стр. 133–161.
  11. ^ Мост Нью-Джерси; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , Vol. A 30, часть 4, июль 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.
  12. ^ Брюкнер, М.; Многоугольники и многогранники: теория и история , Тойбнер, Лейпциг, 1900.

Библиография

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 149e4868565145fe60df42dfa70a53cf__1720017300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/14/cf/149e4868565145fe60df42dfa70a53cf.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dual polyhedron - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)