Двойной многогранник
В геометрии каждому многограннику сопоставлена вторая двойственная структура, где вершины одного соответствуют граням другого , а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. [1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также могут быть построены как геометрические многогранники. [2] Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.
Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные элементы принадлежат соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники – (выпуклые) Платоновы тела и (звездные) многогранники Кеплера – Пуансо – образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр является самодвойственным . Двойственный изогональному многограннику (тот, в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрии многогранника) является изоэдральным многогранником (тот, в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Двойственный изотоксальному многограннику (тот, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.
Дуальность тесно связана с полярной взаимностью — геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как еще один выпуклый многогранник.
Виды двойственности
[ редактировать ]Существует много видов двойственности. Виды, наиболее относящиеся к элементарным многогранникам, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.
Полярное взаимное движение
[ редактировать ]В евклидовом пространстве двойственный многограннику часто определяется как полярное возвратно-поступательное движение вокруг сферы. Здесь каждой вершине (полюсу) сопоставлена плоскость грани (полярной плоскости или просто полярной) так, что луч из центра в вершину перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. [3]
Когда сфера имеет радиус и центрирован в начале координат (так что он определяется уравнением ), то полярный двойник выпуклого многогранника определяется как
где обозначает стандартное скалярное произведение и .
Обычно, когда при построении дуала сфера не указана, используется единичная сфера, т.е. в приведенных выше определениях. [4]
Для каждой грани описывается линейным уравнением соответствующая вершина двойственного многогранника будут координаты . Аналогично каждая вершина соответствует плоскости грани , и каждая краевая линия соответствует линии края . Соответствие между вершинами, ребрами и гранями и меняет включение. Например, если край содержит вершину, соответствующее ребро будет содержаться в соответствующей грани.
Для многогранника с центром симметрии принято использовать сферу с центром в этой точке, как в конструкции Дормана-Люка (упомянутой ниже). В противном случае это можно использовать для многогранника с описанной сферой, вписанной сферой или средней сферой (у которой все ребра являются касательными). Однако многогранник может совершать возвратно-поступательные движения вокруг любой сферы, и результирующая форма двойственного элемента будет зависеть от размера и положения сферы; Как разнообразна сфера, так же разнообразна и двойственная форма. Выбора центра сферы достаточно, чтобы определить двойственное с точностью до подобия.
Если у многогранника в евклидовом пространстве грань, линия ребра или вершина лежат в центре сферы, соответствующий элемент его двойственного элемента будет стремиться к бесконечности. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления необходимой «плоскости в бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного пространства не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные числа способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части).
Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездчатые многогранники, когда мы пытаемся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. [5] Из-за проблем с определениями геометрической двойственности невыпуклых многогранников Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.
Канонические двойники
[ редактировать ]Любой выпуклый многогранник может быть искажен до канонической формы , в которой существует единичная средняя сфера (или интерсфера), касающаяся каждого ребра, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма единственна с точностью до сравнений.
Если мы совершим возвратно-поступательное движение такого канонического многогранника вокруг его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также будет каноническим. Это каноническое двойственное соединение, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение. [6]
Строительство Дормана Люка
[ редактировать ]Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана-Люка . [7]
Топологическая двойственность
[ редактировать ]Даже если пара многогранников не может быть получена взаимным поступательным движением друг друга, их можно называть двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , сохраняя заболеваемость. Такие пары многогранников топологически или абстрактно двойственны.
Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-остов многогранника), вложенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроектировать в виде диаграммы Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный вершинами и ребрами двойственного многогранника, является двойственным графом исходному графу.
В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, встроенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют двойственный граф исходного графа.
Абстрактный многогранник — это определенный вид частично упорядоченного набора (ЧУМ) элементов, в котором инцидентности или связи между элементами набора соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. У каждого такого ЧУМ есть двойственный ЧУМ, образованный изменением всех отношений порядка. Если ЧУ-множество визуализируется как диаграмма Хассе , то двойственное ЧУ-множество можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе.
Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственные многогранники могут быть нереализуемы геометрически.
Самодвойственные многогранники
[ редактировать ]Топологически многогранник называется самодвойственным, если его двойственный многогранник имеет точно такую же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе . Геометрически он не только топологически самодвойственен, но и его полярная обратная точка относительно определенной точки, обычно ее центроида, представляет собой аналогичную фигуру. Например, двойником правильного тетраэдра является другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .
Каждый многоугольник топологически самодвойственен, поскольку у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются по принципу двойственности. Но оно не обязательно самодвойственно (с точностью до твердого движения, например). Каждый многоугольник имеет правильную форму , которая геометрически самодвойственна относительно своей интерсферы: все углы равны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти сравнения меняются местами. Аналогично, каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником , обратным относительно центра средней сферы .
Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды . [8] Другое бесконечное семейство — вытянутые пирамиды — состоит из многогранников, которые грубо можно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы ( с одинаковым числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды со срезанной вершиной) под призмой создает еще одно бесконечное семейство и так далее. Существует много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных по 7 вершин и 16 по 8 вершин. [9]
Самодуальный невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был обнаружен Брюкнером в 1900 году. [10] [11] [12] Другие невыпуклые самодвойственные многогранники были найдены при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственных многогранников.
Двойные многогранники и тесселяции
[ редактировать ]Дуальность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двухмерном виде они называются двойными многоугольниками .
Вершины одного многогранника соответствуют ( n − 1)-мерным элементам или граням другого, а j точек, определяющих ( j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, образуя ( n − j )-мерный элемент. двойник n -мерной мозаики или сот Аналогично можно определить .
В общем, грани двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных обратных величин правильных и однородных многогранников двойственные фасеты будут полярными обратными вершинной фигуре оригинала. Например, в четырех измерениях вершиной 600-ячеечной фигуры является икосаэдр ; двойником 600-ячеечного является 120-ячеечный , чьи грани представляют собой додекаэдры , двойственные икосаэдру.
Самодвойственные многогранники и замощения
[ редактировать ]Основной класс самодвойственных многогранников — это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственны, многогранники вида {a,a}, 4-многогранники вида {a,b,a}, 5-многогранники вида {a,b,b,a }, и т. д.
Самодвойственные правильные многогранники:
- Все правильные многоугольники , {a}.
- Правильный тетраэдр : {3,3}
- Вообще говоря, все правильные n - симплексы , {3,3,...,3}
- Обычная 24-ячейка в 4-х измерениях, {3,4,3}.
- Большой 120-ячеечный {5,5/2,5} и великий звездчатый 120-ячеечный {5/2,5,5/2}
Самодуальными (бесконечными) правильными евклидовыми сотами являются:
- Апейрогон : {∞}
- Квадратная мозаика : {4,4}
- Кубические соты : {4,3,4}
- В общем, все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3,...,3,4}.
Самодуальными (бесконечными) правильными гиперболическими сотами являются:
- Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p,p}.
- Паракомпактное гиперболическое замощение: {∞,∞}
- Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}
- Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Веннингер (1983) , «Основные представления о звездчатости и двойственности», с. 1.
- ^ Грюнбаум (2003)
- ^ Канди и Роллетт (1961) , 3.2 Двойственность, стр. 78–79; Веннингер (1983) , страницы 3–5. (Обратите внимание: обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)
- ^ Barvinok (2002) , Page 143.
- ^ См., например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к получению своих бесконечных двойников.
- ^ Грюнбаум (2007) , Теорема 3.1, с. 449.
- ^ Канди и Роллетт (1961) , с. 117; Веннингер (1983) , с. 30.
- ^ Воллебен, Ева (2019), «Дуальность в неполиэдральных телах, часть I: Полилайнер», в Коккьярелле, Луиджи (редактор), ICGG 2018 - Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-летие - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. , Спрингер, с. 485–486, номер домена : 10.1007/978-3-319-95588-9 , ISBN. 978-3-319-95588-9
- ^ 3D- Java модели в симметриях канонических самодвойственных многогранников , на основе статьи Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрое создание плоских графов PDF [1]
- ^ Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometry / Вклад в алгебру и геометрию , апрель 2011 г., том 52, выпуск 1, стр. 133–161.
- ^ Мост Нью-Джерси; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , Vol. A 30, часть 4, июль 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.
- ^ Брюкнер, М.; Многоугольники и многогранники: теория и история , Тойбнер, Лейпциг, 1900.
Библиография
[ редактировать ]- Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167 .
- Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID 120818796 .
- Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Фестиваль Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, том. 25, Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , номер doi : 10.1007/978-3-642-55566-4_21 , ISBN. 978-3-642-62442-1 , МР 2038487 .
- Грюнбаум, Бранко (2007), «Графики многогранников; многогранники как графы», Discrete Mathematics , 307 (3–5): 445–463, doi : 10.1016/j.disc.2005.09.037 , hdl : 1773/2276 , MR 2287486 .
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Сенечале, Марджори (ред.), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении , Нью-Йорк: Springer, стр. 211–216, doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8 , МР 3077226 .
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-54325-8 , МР 0730208 .
- Барвинок, Александр (2002), Курс выпуклости , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0821829688 .