Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве

Неподвижная точка группы изометрий — это точка, которая является фиксированной точкой для каждой изометрии в группе. Для любой группы изометрий в евклидовом пространстве множество неподвижных точек либо пусто, либо является аффинным пространством .

Для объекта любой уникальный центр и, в более общем плане, любая точка с уникальными свойствами по отношению к объекту является фиксированной точкой его группы симметрии .

В частности, это относится к центру тяжести фигуры, если он существует. В случае физического тела, если для симметрии учитывается не только форма, но и плотность, то это относится и к центру масс .

Если набор неподвижных точек группы симметрии объекта является одноэлементным, то объект имеет определенный центр симметрии . Этой точкой являются центр тяжести и центр масс, если они определены. Другое значение слова «центр симметрии» — это точка, относительно которой применяется инверсионная симметрия. Такая точка не обязательно должна быть уникальной; если это не так, то существует трансляционная симметрия , следовательно, таких точек бесконечно много. С другой стороны, в случаях, например, симметрии C _3h и D ₂ имеется центр симметрии в первом смысле, но нет инверсии.

Если группа симметрии объекта не имеет фиксированных точек, то объект бесконечен, а его центр тяжести и центр масс не определены.

Если набор неподвижных точек группы симметрии объекта представляет собой линию или плоскость, то центр тяжести и центр масс объекта, если они определены, а также любая другая точка, обладающая уникальными свойствами по отношению к объекту, находятся на этой линии. или самолет.

1Д

Линия: Только тривиальная группа изометрий оставляет всю линию фиксированной.

Точка: Группы, созданные отражением, оставляют точку фиксированной.

2D

Самолет: Только тривиальная группа изометрий C ₁ оставляет неподвижной всю плоскость.

Линия: C _. по отношению к любой строке оставляет эту строку фиксированной

Точка: Группы точек в двух измерениях относительно любой точки оставляют эту точку фиксированной.

3D

Космос: Только тривиальная группа изометрий C ₁ оставляет все пространство неподвижным.

Самолет: C _s относительно плоскости оставляет эту плоскость неподвижной.

Линия

Группы изометрий, оставляющие линию фиксированной, — это изометрии, которые в каждой плоскости, перпендикулярной этой линии, имеют общие двумерные группы точек в двух измерениях относительно точки пересечения линии и плоскостей.

C _n ( n > 1 ) и C _nv ( n > 1 )
цилиндрическая симметрия без зеркальной симметрии в плоскости, перпендикулярной оси
случаи, в которых группа симметрии является бесконечным подмножеством группы цилиндрической симметрии

Точка: Все остальные группы точек в трех измерениях

Нет фиксированных точек: Группа изометрии содержит перемещения или винтовую операцию.

Произвольный размер

Точка: Одним из примеров группы изометрий, применяемой в каждом измерении, является группа, созданная путем инверсии в точке. n-мерный параллелепипед . Примером объекта, инвариантного относительно такой инверсии, является

Ссылки

Славик В. Джаблан, Симметрия, орнамент и модульность , том 30 серии K&E, посвященный узлам и всему остальному, World Scientific, 2002. ISBN 9812380809