Центр (геометрия)
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( сентябрь 2023 г. ) |
В геометрии центр — ( британский английский ) или центр ( американский английский ) (от древнегреческого κέντρον ( kéntron ) «заостренный объект») объекта это точка в некотором смысле в середине объекта. Согласно конкретному определению центра, принятому во внимание, объект может не иметь центра. Если геометрию рассматривать как исследование групп изометрий , то центр — это фиксированная точка всех изометрий, которые перемещают объект на самого себя.
Круги, сферы и сегменты
[ редактировать ]Центром круга является точка , равноудаленная от точек на ребре. Аналогично, центром сферы является точка, равноудаленная от точек на поверхности, а центром отрезка является середина двух концов.
Симметричные объекты
[ редактировать ]Для объектов с несколькими симметриями центром симметрии является точка, оставшаяся неизменной в результате симметричных действий. Таким образом, центр квадрата , прямоугольника , ромба или параллелограмма — это место пересечения диагоналей, это (помимо других свойств) фиксированная точка вращательной симметрии. Точно так же центр эллипса или гиперболы находится в месте пересечения осей.
Треугольники
[ редактировать ]Несколько особых точек треугольника часто называют центрами треугольника :
- , центр описанной окружности который является центром круга, проходящего через все три вершины ;
- центроид ; или центр масс , точка, в которой треугольник балансировал бы, если бы он имел однородную плотность
- инцентр , центр круга , который касается всех трех сторон треугольника;
- ортоцентр ; треугольника пересечение трех высот , и
- центр девяти точек , центр круга, проходящий через девять ключевых точек треугольника.
Для равностороннего треугольника это одна и та же точка, лежащая на пересечении трех осей симметрии треугольника, на одной трети расстояния от его основания до вершины.
Строгое определение центра треугольника — это точка, трилинейные координаты которой равны f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ), где f — функция длин треугольника. три стороны треугольника a , b , c такие, что:
- f однороден по a , b , c ; т. е. f ( ta , tb , tc ) = t час f ( a , b , c ) для некоторой действительной степени h ; таким образом, положение центра не зависит от масштаба.
- f симметричен по двум последним аргументам; т. е. ж ( а , б , с ) = ж ( а , с , б ); таким образом, положение центра в зеркальном треугольнике является зеркальным отражением его положения в исходном треугольнике. [1]
Это строгое определение исключает пары бицентрических точек, таких как точки Брокара (которые заменяются зеркальным отражением). По состоянию на 2020 год в Энциклопедии центров треугольников насчитывается более 39 000 различных центров треугольников. [2]
Касательные многоугольники и циклические многоугольники
[ редактировать ]Касательный многоугольник имеет каждую сторону, касающуюся определенной окружности, называемой вписанной окружностью или вписанной окружностью. Центр вписанной окружности, называемый вписанной, можно считать центром многоугольника.
описанной окружностью Каждая вершина циклического многоугольника находится на определенной окружности, называемой или описанной окружностью. Центр описанной окружности, называемый центром описанной окружности, можно считать центром многоугольника.
Если многоугольник одновременно является касательным и циклическим, его называют бицентрическим . (Например, все треугольники являются бицентрическими.) Центр и центр описанной окружности бицентрического многоугольника, как правило, не являются одной и той же точкой.
Общие полигоны
[ редактировать ]Центр общего многоугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» возникает из-за того, что многоугольник считается пустым, но имеет равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из-за того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из-за того, что поверхность многоугольника имеет постоянную плотность. Эти три пункта, как правило, не являются одним и тем же.
Проективные коники
[ редактировать ]В проективной геометрии каждая линия имеет точку на бесконечности или «фигуративную точку», где она пересекает все прямые, параллельные ей. Эллипс, парабола и гипербола евклидовой геометрии называются кониками в проективной геометрии и могут быть построены как коники Штейнера на основе проективности, которая не является перспективой. Симметрия проективной плоскости с данной коникой связывает каждую точку или полюс с линией, называемой ее полярой . Это соотношение используется в понятии центра в проективной геометрии. Следующие утверждения взяты из Г.Б. Холстеда . [3]
- Гармоническое сопряжение точки, находящейся на бесконечности, относительно конечных точек конечного сечения является «центром» этого сечения.
- Полюс прямой на бесконечности относительно некоторой коники является «центром» коники.
- Поляра любой фигуративной точки находится в центре коники и называется «диаметром».
- Центр любого эллипса находится внутри него, поскольку его поляра не пересекает кривую, и поэтому от нее нет касательных к кривой. Центр параболы является точкой контакта фигуративной прямой.
- Центр гиперболы лежит без кривой, так как фигуративная прямая пересекает кривую. Касательные от центра к гиперболе называются асимптотами. Их точки соприкосновения — это две точки на бесконечности кривой.
См. также
[ редактировать ]- Центральная точка
- Чебышев центр
- Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве
- Мгновенный центр вращения
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Алгебраические шоссе в треугольной геометрии. Архивировано 19 января 2008 г. в Wayback Machine.
- ^ Кимберлинг, Кларк . «Это ЧАСТЬ 20: Центры X(38001) — X(40000)» . Энциклопедия центров треугольников .
- ^ ГБ Холстед (1903) Синтетическая проективная геометрия , № 130, № 131, № 132, № 139