Девятиочковый центр

В геометрии девятиточечный центр — это центр треугольника , точка, определенная из данного треугольника способом, который не зависит от расположения или масштаба треугольника.Он назван так потому, что является центром девятиточечного круга , круга, который проходит через девять значимых точек треугольника: середины трех ребер, основания трех высот и точки на полпути между ортоцентром и каждую из трех вершин. Центр из девяти точек указан как точка X(5) в Кларка Кимберлинга Энциклопедии центров треугольников . ^[1]^[2]

Характеристики

Центр девяти точек $N$ лежит на линии Эйлера треугольника, в средней точке этого треугольника между ортоцентром $H$ и центром описанной окружности $O$ . Центр тяжести $G$ также лежит на той же линии, на 2/3 расстояния от ортоцентра до центра описанной окружности, ^[2]^[3] так

|NO|=|NH|=3|NG|.

Таким образом, если известны любые два из этих четырех центров треугольников, по ним можно определить положения двух других.

Эндрю Гинан доказал в 1984 году в рамках того, что сейчас известно как проблема определения треугольника Эйлера , что если положения этих центров заданы для неизвестного треугольника, то центр треугольника лежит внутри ортоцентроидального круга (круг, имеющий сегмент от центроида до ортоцентра как его диаметр). Единственная точка внутри этого круга, которая не может быть центром, — это центр девяти точек, а все остальные внутренние точки круга — это центры уникального треугольника. ^[4]^[5]^[6]^[7]

Расстояние от центра девяти точек до центра $I$ удовлетворяет

{\begin{aligned}&|IN|<{\tfrac {1}{2}}|IO|,\\&|IN|={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}},\\&2R\cdot |IN|=|OI|^{2},\end{aligned}}

где $R, r$ — радиус описанной и внутренней окружности соответственно.

Центр девяти точек - это центр описанной окружности данного медиального треугольника треугольника, центр описанной окружности ортического треугольника данного треугольника и центр описанной окружности треугольника Эйлера. ^[3] В более общем смысле это центр описанной окружности любого треугольника, определяемый тремя из девяти точек, образующих окружность из девяти точек.

Центр девяти точек лежит в центре тяжести четырех точек: трех вершин треугольника и его ортоцентра . ^[8]

Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (набором из четырех точек, каждая из которых является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других точках), совпадают в центре из девяти точек, общем для всех треугольников. ^[9]^{: стр.111}

Из девяти точек, определяющих круг из девяти точек, три середины отрезков линий между вершинами и ортоцентром являются отражениями средних точек треугольника относительно его центра из девяти точек. Таким образом, центр из девяти точек образует центр точечного отражения , которое отображает средний треугольник в треугольник Эйлера, и наоборот. ^[3]

Согласно теореме Лестера , центр девяти точек лежит на общей окружности с тремя другими точками: двумя точками Ферма и центром описанной окружности. ^[10]

Точка Косниты треугольника, центр треугольника, связанный с теоремой Косниты , является изогонально сопряженным девятиточечному центру. ^[11]

Координаты

Трилинейные координаты девятиточечного центра: ^[1]^[2]

{\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)\\&=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B\\&=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B\\&=bc\left[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}\right]:ca\left[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}\right]:ab\left[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\right].\end{aligned}}

Барицентрические координаты девятиточечного центра: ^[2]

{\begin{aligned}&a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)\\&=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.\end{aligned}}

Таким образом, если и только если два угла при вершине отличаются друг от друга более чем на 90 °, одна из барицентрических координат отрицательна, и поэтому центр девяти точек находится вне треугольника.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.2307/2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Энциклопедия центров треугольников , по состоянию на 23 октября 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Деков, Деко (2007), «Девятиточечный центр» (PDF) , Журнал компьютерной евклидовой геометрии .
^ Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9 .
^ Эйлер, Леонард (1767), «Простое решение некоторых очень сложных геометрических задач» , Новые комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни), 11 : 103–123 .
^ Гуинанд, Эндрю П. (1984), «Линии Эйлера, трикасательные центры и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307/2322671 , JSTOR 2322671 .
^ Францсен, Уильям Н. «Расстояние от центра до линии Эйлера», Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
↑ Энциклопедия центров треугольников приписывает это наблюдение Рэнди Хатсону, 2011.
^ Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).
^ Ю, Пол (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения», Forum Geometricorum , 10 : 175–209, MR 2868943 .
^ Ригби, Джон (1997), «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах», Mathematics and Informatics Quarterly , 7 : 156–158 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Центр девяти точек» , MathWorld

[k94-1] Jump up to: ^а ^б Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.2307/2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 .

[etc-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Энциклопедия центров треугольников , по состоянию на 23 октября 2014 г.

[dekov-3] Jump up to: ^а ^б ^с Деков, Деко (2007), «Девятиточечный центр» (PDF) , Журнал компьютерной евклидовой геометрии .

[4] Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9 .

[5] Эйлер, Леонард (1767), «Простое решение некоторых очень сложных геометрических задач» , Новые комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни), 11 : 103–123 .

[6] Гуинанд, Эндрю П. (1984), «Линии Эйлера, трикасательные центры и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307/2322671 , JSTOR 2322671 .

[7] Францсен, Уильям Н. «Расстояние от центра до линии Эйлера», Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html

[8] Энциклопедия центров треугольников приписывает это наблюдение Рэнди Хатсону, 2011.

[ac-9] Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).

[10] Ю, Пол (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения», Forum Geometricorum , 10 : 175–209, MR 2868943 .

[11] Ригби, Джон (1997), «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах», Mathematics and Informatics Quarterly , 7 : 156–158 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]