Высота (треугольник)

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для остроугольного треугольника находится внутри треугольника.

В геометрии высота отрезок треугольника вершине — это , проходящий через вершину и перпендикулярный прямой, содержащей сторону, противоположную . Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенным основанием высоты. Пересечение расширенного основания и высоты называется подножием высоты . Длина высоты, часто называемая просто «высотой», представляет собой расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины до подножия известен как понижение высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .

Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника : половина произведения длины высоты на длину ее основания равна площади треугольника. Таким образом, наибольшая высота перпендикулярна наименьшей стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .

В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя конгруэнтными сторонами) высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве основания. Также высота, имеющая в качестве основания несовпадающую сторону, будет биссектрисой угла при вершине.

Высоту принято обозначать буквой $h$ (как и высота ), к которой часто добавляется название стороны, к которой относится высота.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе $c,$ делит гипотенузу на два отрезка длиной $p$ и $q$ . Если мы обозначим длину высоты через $h c$ , мы получим соотношение

h_{c}={\sqrt {pq}}

( Теорема о среднем геометрическом ; см. Особые случаи , обратная теорема Пифагора )

В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону (основание находится в) вершине прямоугольного угла, которая является ортоцентром.

В остроугольных треугольниках все основания высот лежат на сторонах треугольника (не вытянуты). В тупоугольном треугольнике (с тупым углом ) основание высоты, ведущей к тупоугольной вершине, попадает во внутреннюю часть противоположной стороны, а основания высот, ведущих к остроугольным вершинам, приходятся на противоположную протяженную сторону. , вне треугольника. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, опущенная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает вытянутую горизонтальную сторону снаружи треугольника.

Ортоцентр

Три (возможно, расширенные) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника, обычно $H.$ обозначаемой ^[1]^[2] Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный. Если один угол прямой, то ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. ^[2]

Пусть $A, B, C$ обозначают вершины, а также углы треугольника, и пусть $a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|$ быть длинами сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты. ^[3]

${\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}$

и барицентрические координаты

${\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}$

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки снаружи, а две из барицентрических координат равны нулю для точки вершины, барицентрические координаты, заданные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри остроугольного треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и снаружи тупоугольного треугольника .

Пусть на комплексной плоскости точки $A, B, C$ обозначают числа $z A, z B, z C$ и предположим, что центр описанной окружности треугольника $△ ABC$ расположен в начале координат плоскости. Тогда комплексное число

z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}

представлена точкой $H$ , а именно высотой треугольника $△ ABC$ . ^[4] следующие характеристики ортоцентра $H$ посредством свободных векторов Отсюда непосредственно можно установить :

{\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[5]

Характеристики

Пусть $D, E, F$ обозначают основания высот из $A, B, C$ соответственно. Затем:

Произведение длин отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот: ^[6]^[7]

{\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.

Круг с центром в точке

H

треугольника и радиусом, равным квадратному корню из этой константы, является полярным кругом . ^[8]

Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1: ^[9] (Это свойство и следующее являются применением более общего свойства любой внутренней точки и трех проходящих через нее цевианов .)

{\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.

Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2: ^[9]

{\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.

Изогонально -сопряженная ортоцентру является центром описанной окружности треугольника. ^[10]
Изотомно -сопряженная ортоцентра является симмедианной точкой антикомплементарного треугольника . ^[11]
Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими, называется ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.

Связь с окружностями и кониками

Обозначим окружности треугольника через $R.$ радиус описанной Затем ^[12]^[13]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.

Кроме того, обозначая $r$ треугольника как радиус вписанной окружности , $ra снова, r b, rc$ как радиусы его окружностей , а $R$ как радиус описанной окружности, справедливы следующие соотношения относительно расстояний ортоцентра от вершины: ^[14]

{\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}

Если какая-либо высота, например $AD$ , продлена до пересечения описанной окружности в точке $P$ , так что $AD$ является хордой описанной окружности, то основание $D$ делит отрезок $HP$ пополам : ^[7]

{\overline {HD}}={\overline {DP}}.

Через ортоцентр проходят директрисы касающихся всех парабол, снаружи одной стороны треугольника и касательных продолжений других сторон. ^[15]

Окружная коническая , проходящая через ортоцентр треугольника, представляет собой прямоугольную гиперболу . ^[16]

Отношение к другим центрам, девятиконечный круг

Ортоцентр $H$ , центроид $G$ , центр описанной окружности $O$ и центр $N$ девятиточечного круга лежат на одной линии, известной как линия Эйлера . ^[17] Центр девятиточечного круга находится в середине линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром: ^[18]

{\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}

Ортоцентр находится ближе к центру $I,$ чем к центроиду, а ортоцентр находится дальше, чем центр тяжести от центроида:

{\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}

С точки зрения сторон $a$ , $b$ , $c$ , внутреннего радиуса $r$ и описанного радиуса $R$ , ^[19]^[20]^{: с. 449}

{\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}

Ортогональный треугольник

Если треугольник $△ ABC$ косоугольный ортическим (не содержит прямого угла), педальный треугольник ортоцентра исходного треугольника называется треугольником или треугольником высот . То есть основания высот косоугольного треугольника образуют ортогональный треугольник $△ DEF$ . Кроме того, инцентр (центр вписанной окружности) прямоугольного треугольника $△ DEF$ является ортоцентром исходного треугольника $△ ABC$ . ^[21]

Трилинейные координаты вершин прямоугольного треугольника имеют вид ${\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}$

Расширенные стороны ортического треугольника встречаются с противоположными расширенными сторонами его опорного треугольника в трех коллинеарных точках . ^[22]^[23]^[21]

В любом остроугольном треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром является ортогональным треугольником. ^[24] Это решение проблемы Фаньяно , поставленной в 1775 году. ^[25] Стороны прямоугольного треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника. ^[26]

Ортический треугольник остроугольного треугольника дает треугольный путь света. ^[27]

Касательные линии девятиточечной окружности в серединах сторон $△ ABC$ параллельны сторонам прямоугольного треугольника, образуя треугольник, аналогичный прямоугольному треугольнику. ^[28]

Ортогональный треугольник тесно связан с касательным треугольником , построенным следующим образом: пусть $L A$ — прямая, касающаяся описанной окружности треугольника $△ ABC$ в вершине $A$ , и определим $L B, L C$ аналогично. Позволять $A''=L_{B}\cap L_{C},$ $B''=L_{C}\cap L_{A},$ $C''=L_{C}\cap L_{A}.$ Тангенциальный треугольник — это $△ A"B"C"$ , стороны которого являются касательными к треугольнику $△ ABC$ , описанному в его вершинах; он гомотетичен прямоугольному треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия треугольника Ортогональный и касательный треугольники лежат на прямой Эйлера . ^[20]^{: с. 447}

Трилинейные координаты вершин касательного треугольника имеют вид ${\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}$ Опорный треугольник и его ортогональный треугольник являются ортологическими треугольниками .

Подробнее об ортогональном треугольнике смотрите здесь .

Некоторые дополнительные теоремы о высоте

Высота по сторонам

Для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),$ высота со стороны $a$ (основания) определяется выражением

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.

Это следует из объединения формулы Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади ${\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},$ где за основание принимается сторона $а,$ а за высоту — высота от вершины $А$ (противоположной стороне $а$ ).

Заменяя $a$ на $b$ или $c$ высот $hb и$ можно использовать для определения $hc, это уравнение также$ соответственно.

Теоремы об радиусе

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$ и соответствующимивысоты $h a, h b, h c$ . Высоты и вписанной окружности радиус $r$ связаны соотношением ^[29]^{: Лемма 1}

\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.

Теорема о радиусе

Обозначая высоту одной стороны треугольника как $h a$ , двух других сторон как $b$ и $c$ треугольника , а радиус описанной окружности (радиус описанной окружности треугольника) как $R$ , высота определяется выражением ^[30]

h_{a}={\frac {bc}{2R}}.

Внутренняя точка

Если $p 1, p 2, p 3$ – расстояния по перпендикуляру от любой точки $P$ до сторон, а $h 1, h 2, h 3$ – высоты до соответствующих сторон, то ^[31]

{\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.

Теорема о площади

Обозначая высоты любого треугольника со сторон $a, b, c$ соответственно как $ha, hb и, hc$ обозначая полусумму обратных высот как $H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}$ у нас есть ^[32]

\mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

Общая точка на высоте

Если $E$ — любая точка на высоте $AD$ любого треугольника $△ ABC$ , то ^[33]^: 77–78

{\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.

Неравенство треугольника

Поскольку площадь треугольника равна ${\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}$ , неравенство треугольника $a<b+c$ подразумевает ^[34]

{\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}

.

Особые случаи

Равносторонний треугольник

Из любой точки $P$ внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ каждый катет также является высотой: ⁠ $h_{a}=b$ ⁠ и ⁠ $h_{b}=a$ ⁠ . Третью высоту можно найти по соотношению ^[35]^[36]

{\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Это также известно как обратная теорема Пифагора .

Обратите внимание, в частности:

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}

История

Теорема о том, что три высоты треугольника совпадают (в ортоцентре), прямо не сформулирована в сохранившихся греческих математических текстах, но используется в Книге лемм (предложение 5), приписываемой Архимеду (3 век до н. э.), со ссылкой на « комментарий к трактату о прямоугольных треугольниках», произведение не сохранилось. О нем упоминал и Папп ( Математический сборник , VII, 62; ок. 340). ^[37] Теорема была сформулирована и явно доказана ан-Насави в его (11 веке) комментарии к Книге лемм и приписана аль-Кухи ( 10 век ). ^[38]

Это доказательство на арабский язык было переведено как часть латинского издания Книги лемм (начало 17 века) , но не было широко известно в Европе, поэтому теорема была доказана еще несколько раз в 17–19 веках. Самуэль Маруа доказал это в своей «Геометрии» (1619 г.), а Исаак Ньютон доказал это в неоконченном трактате «Геометрия кривых линий» ( ок. 1680 г.). ^[37] Позже Уильям Чаппл доказал это в 1749 году. ^[39]

Особенно элегантное доказательство принадлежит Франсуа-Жозефу Сервуа (1804 г.) и независимо Карлу Фридриху Гауссу (1810 г.): проведите линию, параллельную каждой стороне треугольника, через противоположную точку и сформируйте новый треугольник из пересечений этих трех линий. . Тогда исходный треугольник является медиальным треугольником нового треугольника, а высоты исходного треугольника являются серединными перпендикулярами нового треугольника и, следовательно, совпадают (в центре описанной окружности нового треугольника). ^[40]

См. также

Примечания

^ Смарт 1998 , с. 156
^ Jump up to: ^а ^б Berele & Goldman 2001 , p. 118
^ Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга «Энциклопедия центров треугольников» . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 19 апреля 2012 г.
^ Андрееску, Титу; Андрика, Дорин , «Комплексные числа от А до...Я». Биркхойзер, Бостон, 2006 г., ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, предложение 3
^ Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142
^ Джонсон 2007 , с. 163, статья 255
^ Jump up to: ^а ^б " "Ортоцентр треугольника" " . Архивировано из оригинала 5 июля 2012 г. Проверено 4 мая 2012 г.
^ Джонсон 2007 , с. 176, статья 278
^ Jump up to: ^а ^б Панапои, Ронначай, «Некоторые свойства ортоцентра треугольника» , Университет Джорджии .
^ Смарт 1998 , с. 182
^ Вайсштейн, Эрик В. «Изотомное сопряжение» Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Альтшиллер-Суд 2007 , с. 102
^ Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Парабола Киперта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
^ Berele & Goldman 2001 , p. 123
^ Berele & Goldman 2001 , pp. 124-126
^ Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
^ Jump up to: ^а ^б Смит, Джефф, и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.
^ Jump up to: ^а ^б Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения» . Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ИСБН 978-0-8218-3900-3 . См. также: Следствие 5.5, с. 318.
^ Джонсон 2007 , с. 199, статья 315
^ Альтшиллер-Суд 2007 , с. 165
^ Джонсон 2007 , с. 168, статья 264
^ Berele & Goldman 2001 , pp. 120-122
^ Джонсон 2007 , с. 172, раздел 270с
^ Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые маршруты», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298–299.
^ Кей, Дэвид К. (1993), Геометрия колледжа / Подход к открытиям , HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4
^ Дорин Андрика и Дэн Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства для Эйлера R ≥ 2r». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
^ Джонсон 2007 , с. 71, статья 101а
^ Джонсон 2007 , с. 74, раздел 103в
^ Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
^ Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.
^ Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89 (ноябрь 2005 г.), 494.
^ Воулс, Роджер, "Целочисленные решения $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ », « Математический вестник» 83, июль 1999 г., стр. 269–271.
^ Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
^ Jump up to: ^а ^б Ньютон, Исаак (1971). «3.1 «Геометрия кривых линий» » . В Уайтсайде, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4. Издательство Кембриджского университета. стр. 454–455. Обратите внимание на сноски Уайтсайда 90–92, стр. 454–456.
^ Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2013). «Совпадение высот треугольника» (PDF) . Математический семестр . 60 (2): 249–260. дои : 10.1007/s00591-013-0123-z .
Хогендейк, Ян П. (2008). «Две красивые геометрические теоремы Абу Сала Кухи в голландском переводе 17 века» . Тарикх-е Эльм: Иранский журнал истории науки . 6 :1–36.
^ Дэвис, Томас Стивенс (1850). «XXIV. Геометрия и геометры» (PDF) . Философский журнал . 3. 37 (249): 198–212. дои : 10.1080/14786445008646583 . Сноска на стр. 207–208 . Цитата: Богомольный, Александр (2010). «Возможно, первое доказательство совпадения высот» . Разрезать узел . Проверено 17 ноября 2019 г.
^ Сервуа, Франсуа-Жозеф (1804 г.). решения различных практических задач по геометрии ( Малоизвестные на французском языке). Дьяволи, Мец и Курсье. п. 15.
Гаусс, Карл Фридрих (1810). «Дополнения». Геометрия позиции . Карно, Лазар (на немецком языке). Перевод Шумахера. переиздано в Гаусс, Карл Фридрих (1873). «Дополнения» . Фабрики . Том 4. Геттингенская академия наук. п. 396.
Видеть Маккей, Джон Стерджен (1883). «Треугольник и шесть вписанных в него окружностей §5. Ортоцентр» . Труды Эдинбургского математического общества . 1 :60–96. дои : 10.1017/S0013091500036762 .

Ссылки

Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Колледж геометрии , Дувр
Береле, Аллан; Гольдман, Джерри (2001), Геометрия: теоремы и конструкции , Прентис Холл, ISBN 0-13-087121-4
Богомольный, Александр . «Существование Ортоцентра» . Разрежьте узел . Проверено 17 декабря 2022 г.
Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Расширенная евклидова геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-46237-0
Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-35188-3

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Высота» . Математический мир .
Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
Анимированная демонстрация построения ортоцентра Циркуль и линейка.
«Проблема Фаньяно» , Джей Варендорф, Демонстрационный проект Вольфрама .

[1] Смарт 1998 , с. 156

[BG118-2] Jump up to: ^а ^б Berele & Goldman 2001 , p. 118

[ck-3] Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга «Энциклопедия центров треугольников» . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 19 апреля 2012 г.

[Andreescu-4] Андрееску, Титу; Андрика, Дорин , «Комплексные числа от А до...Я». Биркхойзер, Бостон, 2006 г., ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, предложение 3

[Dorrie-5] Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142

[6] Джонсон 2007 , с. 163, статья 255

[pballew-7] Jump up to: ^а ^б " "Ортоцентр треугольника" " . Архивировано из оригинала 5 июля 2012 г. Проверено 4 мая 2012 г.

[8] Джонсон 2007 , с. 176, статья 278

[Panapoi-9] Jump up to: ^а ^б Панапои, Ронначай, «Некоторые свойства ортоцентра треугольника» , Университет Джорджии .

[10] Смарт 1998 , с. 182

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Изотомное сопряжение» Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html

[12] Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[13] Альтшиллер-Суд 2007 , с. 102

[14] Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.

[15] Вайсштейн, Эрик В. «Парабола Киперта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html

[16] Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html

[17] Berele & Goldman 2001 , p. 123

[18] Berele & Goldman 2001 , pp. 124-126

[19] Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html

[SL-20] Jump up to: ^а ^б Смит, Джефф, и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.

[Barker-21] Jump up to: ^а ^б Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения» . Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ИСБН 978-0-8218-3900-3 . См. также: Следствие 5.5, с. 318.

[22] Джонсон 2007 , с. 199, статья 315

[23] Альтшиллер-Суд 2007 , с. 165

[Johnson-24] Джонсон 2007 , с. 168, статья 264

[25] Berele & Goldman 2001 , pp. 120-122

[26] Джонсон 2007 , с. 172, раздел 270с

[27] Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые маршруты», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298–299.

[28] Кей, Дэвид К. (1993), Геометрия колледжа / Подход к открытиям , HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4

[29] Дорин Андрика и Дэн Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства для Эйлера R ≥ 2r». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf

[30] Джонсон 2007 , с. 71, статья 101а

[31] Джонсон 2007 , с. 74, раздел 103в

[32] Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.

[Posamentier-33] Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.

[34] Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89 (ноябрь 2005 г.), 494.

[35] Воулс, Роджер, "Целочисленные решения $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ », « Математический вестник» 83, июль 1999 г., стр. 269–271.

[36] Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.

[newton-37] Jump up to: ^а ^б Ньютон, Исаак (1971). «3.1 «Геометрия кривых линий» » . В Уайтсайде, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4. Издательство Кембриджского университета. стр. 454–455. Обратите внимание на сноски Уайтсайда 90–92, стр. 454–456.

[38] Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2013). «Совпадение высот треугольника» (PDF) . Математический семестр . 60 (2): 249–260. дои : 10.1007/s00591-013-0123-z .
Хогендейк, Ян П. (2008). «Две красивые геометрические теоремы Абу Сала Кухи в голландском переводе 17 века» . Тарикх-е Эльм: Иранский журнал истории науки . 6 :1–36.

[39] Дэвис, Томас Стивенс (1850). «XXIV. Геометрия и геометры» (PDF) . Философский журнал . 3. 37 (249): 198–212. дои : 10.1080/14786445008646583 . Сноска на стр. 207–208 . Цитата: Богомольный, Александр (2010). «Возможно, первое доказательство совпадения высот» . Разрезать узел . Проверено 17 ноября 2019 г.

[40] Сервуа, Франсуа-Жозеф (1804 г.). решения различных практических задач по геометрии ( Малоизвестные на французском языке). Дьяволи, Мец и Курсье. п. 15.
Гаусс, Карл Фридрих (1810). «Дополнения». Геометрия позиции . Карно, Лазар (на немецком языке). Перевод Шумахера. переиздано в Гаусс, Карл Фридрих (1873). «Дополнения» . Фабрики . Том 4. Геттингенская академия наук. п. 396.
Видеть Маккей, Джон Стерджен (1883). «Треугольник и шесть вписанных в него окружностей §5. Ортоцентр» . Труды Эдинбургского математического общества . 1 :60–96. дои : 10.1017/S0013091500036762 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]