Гомотетический центр

В геометрии ( гомотетический центр также называемый центром подобия или центром подобия ) — это точка, из которой по крайней мере две геометрически подобные фигуры можно рассматривать как расширение или сжатие друг друга. Если центр внешний , то две фигуры прямо подобны друг другу; их углы имеют один и тот же вращательный смысл. Если центр внутренний , две фигуры представляют собой масштабированные зеркальные изображения друг друга; их углы имеют противоположный смысл.

Общие полигоны

Если две геометрические фигуры обладают гомотетическим центром, они подобны друг другу; другими словами, они должны иметь одинаковые углы в соответствующих точках и отличаться только относительным масштабом. Гомотетический центр и две фигуры не обязательно должны лежать в одной плоскости; они могут быть связаны проекцией гомотетического центра.

Гомотетические центры могут быть внешними и внутренними. Если центр внутренний, две геометрические фигуры представляют собой масштабированные зеркальные изображения друг друга; говоря техническим языком, они имеют противоположную хиральность . Угол по часовой стрелке на одном рисунке будет соответствовать углу против часовой стрелки на другом. И наоборот, если центр внешний, две фигуры прямо подобны друг другу; их углы имеют одинаковый смысл.

Круги

Круги геометрически похожи друг на друга и зеркально симметричны. Следовательно, пара окружностей имеет оба типа гомотетических центров, внутренние и внешние, если только центры или радиусы не равны; эти исключительные случаи рассматриваются после общего положения . Эти два гомотетических центра лежат на линии, соединяющей центры двух данных окружностей, называемой линией центров (рис. 3). Также можно включать круги с нулевым радиусом (см. исключительные случаи), а также можно использовать отрицательный радиус, переключая внешние и внутренние.

Вычислительные гомотетические центры

Для данной пары окружностей внутренние и внешние центры гомотетики можно найти различными способами. В аналитической геометрии внутренний гомотетический центр представляет собой средневзвешенное значение центров кругов, взвешенных по радиусу противоположного круга - расстояние от центра круга до внутреннего центра пропорционально этому радиусу, поэтому взвешивание пропорционально противоположному радиусу . Обозначая центры окружностей $C 1, C 2$ через $(x 1, y 1), (x 2, y 2)$ и их радиусы через $r 1, r 2$ и обозначая центр через $(x 0, y 0)$ , это является: $(x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).$ Внешний центр можно вычислить по тому же уравнению, но считая один из радиусов отрицательным; любой из них дает одно и то же уравнение, а именно: $(x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).$ В более общем смысле, если взять оба радиуса с одним и тем же знаком (положительные или оба отрицательные), то получится внутренний центр, а взятие радиусов с противоположными знаками (один положительный, а другой отрицательный) даст внешний центр. Обратите внимание, что уравнение для внутреннего центра справедливо для любых значений (если только оба радиуса не равны нулю или один не является отрицательным по отношению к другому), но уравнение для внешнего центра требует, чтобы радиусы были разными, в противном случае оно включает деление на ноль.

В синтетической геометрии рисуются два параллельных диаметра, по одному на каждую окружность; они составляют один и тот же угол $α$ с линией центров. Линии $A 1 A 2, B 1 B 2 ,$ проведенные через соответствующие концы этих радиусов, которые являются гомологичными точками, пересекают друг друга и линию центров во внешнем гомотетическом центре. И наоборот, линии $A 1 B 2, B 1 A 2 ,$ проведенные через одну конечную точку и противоположную конечную точку ее аналога, пересекают друг друга и линию центров во внутреннем гомотетическом центре.

В качестве предельного случая этой конструкции линия, касающаяся обеих окружностей (двукасательная линия), проходит через один из центров подобия, поскольку она образует прямые углы с обоими соответствующими диаметрами, которые, таким образом, параллельны; см . в касательных к двум окружностям Подробности . Если окружности попадают на противоположные стороны линии, она проходит через внутренний гомотетический центр, как в $A 2 B 1$ на рисунке выше. И наоборот, если круги попадают на одну и ту же сторону линии, она проходит через внешний гомотетический центр (не показан).

Особые случаи

Если окружности имеют одинаковый радиус (но разные центры), они не имеют внешнего гомотетического центра в аффинной плоскости : в аналитической геометрии это приводит к делению на ноль, тогда как в синтетической геометрии прямые $A 1 A 2, B 1 B 2$ имеют вид параллельны линии центров (как для секущих, так и для двухкасательных линий) и, следовательно, не имеют пересечений. Внешний центр на проективной плоскости можно определить как точку на бесконечности, соответствующую наклону этой линии. Это также предел внешнего центра, если центры окружностей фиксированы, а радиусы изменяются до тех пор, пока не станут равными.

Если круги имеют один и тот же центр, но разные радиусы, то и внешний, и внутренний совпадают с общим центром кругов. Это видно из аналитической формулы, а также это предел двух гомотетических центров, поскольку центры двух кругов изменяются до тех пор, пока они не совпадут, сохраняя радиусы равными. Однако линии центров нет, и синтетическая конструкция терпит неудачу, поскольку две параллельные линии совпадают.

Если один радиус равен нулю, а другой ненулевой (точка и окружность), то как внешний, так и внутренний центр совпадают с точкой (центром окружности нулевого радиуса).

Если два круга идентичны (один и тот же центр, одинаковый радиус), внутренний центр является их общим центром, но нет четко определенного внешнего центра - собственно, функция из пространства параметров двух кругов на плоскости к внешнему центру. имеет неустранимый разрыв на месте одинаковых окружностей. В пределе двух кругов с одинаковым радиусом, но разными центрами, движущихся к одному и тому же центру, внешний центр - это точка на бесконечности, соответствующая наклону линии центров, которая может быть чем угодно, поэтому предела для всех возможных не существует. пары таких кругов.

И наоборот, если оба радиуса равны нулю (две точки), но точки различны, внешний центр можно определить как точку на бесконечности, соответствующую наклону линии центров, но четко определенного внутреннего центра нет.

Гомологичные и антигомологичные точки

В общем случае прямая, проходящая через гомотетический центр, пересекает каждую из его окружностей в двух местах. Из этих четырех точек две называются гомологичными, если проведенные к ним радиусы составляют одинаковый угол с линией, соединяющей центры; например, точки $Q, Q'$ на рисунке 4. Точки, которые лежат на одной прямой относительно гомотетического центра, но не являются гомологичными, называются антигомологичными ; ^[1] например, точки $Q, P'$ на рисунке 4.

Пары антигомологичных точек лежат на окружности.

Когда два луча из одного гомотетического центра пересекают окружности, каждый набор антигомологичных точек лежит на окружности.

Рассмотрим треугольники $△ EQS, △ EQ'S'$ (рис. 4).
Они похожи, потому что $\angle QES=\angle Q'\!ES',\quad {\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}}={\frac {\overline {ES}}{\overline {ES'}}},$ так как $E$ — центр гомотетики.Из этого сходства следует, что $\angle ESQ=\angle ES'\!Q'=\alpha .$ По теореме о вписанном угле , $\angle EP'\!R'=\angle ES'\!Q'.$ Поскольку $∠ QSR'$ является дополнительным к $∠ ESQ$ , $\angle QSR'=180^{\circ }-\alpha .$ В четырехугольнике $QSR'P'$ , $\angle QSR'+\angle QP'\!R'=180^{\circ }-\alpha +\alpha =180^{\circ },$ а это значит, что его можно вписать в круг .Из теоремы секущего следует, что ${\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}={\overline {ES}}\cdot {\overline {ER'}}.$ Точно так же можно показать, что $PRS'Q'$ можно вписать в окружность и ${\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {ER}}\cdot {\overline {ES'}}.$

Доказательство аналогично для внутреннего гомотетического центра $I$ : ${\begin{aligned}&\triangle PIR\cong \triangle P'\!IR'\\&\implies \angle RPI=\angle IP'\!R'=\alpha \\&\implies \angle RS'\!Q'=\angle PP'\!R'=\alpha \quad {\text{(inscribed angle theorem)}}\end{aligned}}$ Отрезок $RQ'$ виден под одним и тем же углом от $P$ и $S'$ , что означает, что $R, P, S', Q'$ лежат на окружности.Тогда по о пересекающихся хордах теореме ${\overline {IP}}\cdot {\overline {IQ'}}={\overline {IR}}\cdot {\overline {IS'}}.$ Аналогично $QSP'R'$ можно вписать в круг и ${\overline {IQ}}\cdot {\overline {IP'}}={\overline {IS}}\cdot {\overline {IR'}}.$

Связь с радикальной осью

Две окружности имеют радикальную ось , которая представляет собой линию точек, касательные к обеим окружностям имеют одинаковую длину. В более общем смысле, каждая точка на радикальной оси обладает тем свойством, что ее степени относительно окружностей равны. Радикальная ось всегда перпендикулярна линии центров, и если две окружности пересекаются, их радикальной осью является линия, соединяющая их точки пересечения. окружностей можно определить три радикальные оси, по одной для каждой $C1 пары / C2;, C1 / Для C3 трех, C2 окружностей / C3 ($ ) Примечательно, что эти три радикальные оси пересекаются в одной точке — радикальном центре . Касательные, проведенные от радикального центра к трем окружностям, будут иметь одинаковую длину.

Любые две пары антигомологичных точек можно использовать для нахождения точки на радикальной оси. Рассмотрим два луча, исходящие из внешнего гомотетического центра $E$ на рис. 4. Эти лучи пересекают два заданных круга (зеленый и синий на рис. 4) в двух парах антигомологичных точек: $Q, P'$ для первого луча и $S, R. '$ для второго луча. Эти четыре точки лежат на одной окружности, пересекающей обе данные окружности. По определению, линия $QS$ является радикальной осью нового круга с заданным зеленым кругом, тогда как линия $P'R'$ является радикальной осью нового круга с заданным синим кругом. Эти две линии пересекаются в точке $G$ , которая является радикальным центром новой окружности и двух данных окружностей. Следовательно, точка $G$ также лежит на радикальной оси двух данных окружностей.

Касательные окружности и антигомологические точки

Для каждой пары антигомологичных точек двух окружностей существует третья окружность, касающаяся данных и касающаяся их в антигомологичных точках.
Верно и обратное: каждая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в паре антигомологичных точек.

Пусть наши две окружности имеют центры $O 1, O 2$ (рисунок 5). $E$ — их внешний гомотетический центр.Построим произвольный луч из $E$ , который пересекает две окружности в $P, Q, P'$ и $Q'$ .Продолжить $O 1 Q, O 2 P'$ до тех пор, пока они не пересекутся в $T 1$ .Легко доказывается, что треугольники $△ O 1 PQ, △ O 2 P'Q'$ подобны в силу гомотетии . Они также равнобедренные , потому что ${\overline {O_{1}P}}={\overline {O_{1}Q}}$ ( радиус ), следовательно $\angle O_{1}PQ=\angle O_{1}QP=\angle O_{2}P'\!Q'=\angle O_{2}Q'\!P'=\angle T_{1}QP'=\angle T_{1}P'\!Q.$ Таким образом, $△ T 1 P'Q$ также равнобедренный, и можно построить круг с центром $T 1$ и радиусом ${\overline {T_{1}P'}}={\overline {T_{1}Q}}.$ Эта окружность касается двух данных окружностей в точках $Q, P'$ .

Доказательство для другой пары антигомологичных точек ( $P, Q'$ ), а также в случае внутреннего гомотетического центра аналогично.

Если мы построим касательные окружности для каждой возможной пары антигомологичных точек, мы получим два семейства окружностей - по одной для каждого гомотетического центра. Семейство окружностей внешнего гомотетического центра таково, что каждая касательная окружность либо содержит обе заданные окружности, либо не содержит ни одной (рис. 6). С другой стороны, круги другого семейства всегда содержат только один из данных кругов (рис. 7).

Все окружности касательного семейства имеют общий радикальный центр, совпадающий с гомотетическим центром.
Чтобы показать это, рассмотрим два луча из гомотетического центра, пересекающие данные окружности (рис. 8). Существуют две касательные окружности $T 1, T 2$ , которые касаются данных окружностей в антигомологичных точках. Как мы уже показали, эти точки лежат на окружности $C$ , и, следовательно, два луча являются радикальными осями для $C / T 1, C / T 2$ . Тогда точка пересечения двух радикальных осей также должна принадлежать радикальной оси $Т 1 / Т 2$ . точка пересечения является гомотетическим центром $E.$ Эта

Если две касательные окружности касаются коллинеарных пар антигомологичных точек — как на рисунке 5 — то из-за гомотетии ${\frac {\overline {EP}}{\overline {EP'}}}={\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}};\quad {\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}.$ Таким образом, степени $E$ относительно двух касательных окружностей равны, что означает, что $E$ принадлежит радикальной оси.

Гомотетические центры трех кругов

Любая пара кругов имеет два центра подобия, следовательно, три круга будут иметь шесть центров подобия, по два на каждую отдельную пару данных кругов. Примечательно, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, по три точки на каждой линии. Вот один из способов показать это.

Рассмотрим плоскость трех кругов (рис. 9). Сместите каждую центральную точку перпендикулярно плоскости на расстояние, равное соответствующему радиусу. Центры могут быть смещены в любую сторону плоскости. Три точки смещения определяют одну плоскость. В этой плоскости мы строим три линии через каждую пару точек. Прямые пронзают плоскость окружностей в $HAB точках, HBC, HAC$ . Поскольку геометрическим местом точек, общих для двух различных и непараллельных плоскостей, является прямая, то эти три точки обязательно лежат на этой прямой. Из подобия треугольников $△ H AB AA', △ H AB BB'$ видим, что ${\frac {\overline {H\!_{AB}B}}{\overline {H\!_{AB}A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}$ (где $r A, r B$ — радиусы окружностей), и, таким образом, $H AB$ фактически является гомотетическим центром соответствующих двух окружностей. Мы можем сделать то же самое для $H BC$ и $H AC$ .

Повторение описанной выше процедуры для разных комбинаций гомотетических центров (в нашем методе это определяется тем, в какую сторону мы смещаем центры окружностей) даст всего четыре линии — по три гомотетических центра на каждой линии (рис. 10).

Вот еще один способ доказать это.

Пусть $C 1, C 2$ — сопряженная пара окружностей, касающихся всех трех данных окружностей (рис. 11). Под сопряжением мы подразумеваем, что обе касательные окружности принадлежат одному и тому же семейству относительно любой из заданных пар окружностей. Как мы уже видели, радикальная ось любых двух касательных окружностей одного семейства проходит через гомотетический центр двух данных окружностей. как касательные окружности общие для всех трех пар данных окружностей, то все их центры гомотетики принадлежат радикальной оси $C1 Так, C2,$ например, они лежат на одной прямой.

Это свойство используется в Жозефом Диасом Жергонном общем решении проблемы Аполлония . Учитывая три круга, можно найти гомотетические центры и, следовательно, радикальную ось пары кругов решения. Конечно, существует бесконечно много кругов с одной и той же радикальной осью, поэтому проводится дополнительная работа, чтобы выяснить, какие именно два круга являются решением.

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В., Антигомологичные точки , MathWorld — веб-ресурс Wolfram

Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга . Нью-Йорк: Dover Publications.
Кункель, Пол (2007), «Проблема касания Аполлония: три взгляда» (PDF) , Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики , 22 (1): 34–46, doi : 10.1080/17498430601148911 , S2CID 122408307

[1] Вайсштейн, Эрик В., Антигомологичные точки , MathWorld — веб-ресурс Wolfram

[1]