Силовой центр (геометрия)

В геометрии силовой центр трёх окружностей , также называемый радикальным центром , является точкой пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трех кругов, то это центр единственного круга ( радикального круга ), который пересекает три заданных круга ортогонально ; построение этой ортогональной окружности соответствует задаче Монжа . Это частный случай теоремы о трёх кониках .

Три радикальные оси встречаются в одной точке, радикальном центре, по следующей причине. Радикальная ось пары окружностей определяется как множество точек, имеющих одинаковую мощность $h$ по отношению к обеим окружностям. Например, для каждой точки $P$ на радикальной оси окружностей 1 и 2 степени каждой окружности равны: $h 1 = h 2$ . Аналогично, для каждой точки радикальной оси окружностей 2 и 3 степени должны быть равны, $h 2 = h 3$ . Следовательно, в точке пересечения этих двух линий все три степени должны быть равны, $h 1 = h 2 = h 3$ . Поскольку из этого следует, что $h 1 = h 3$ , эта точка также должна лежать на радикальной оси окружностей 1 и 3. Следовательно, все три радикальные оси проходят через одну и ту же точку — радикальный центр.

Радикальный центр имеет несколько приложений в геометрии. Он играет важную роль в решении проблемы Аполлония, опубликованном Жозефом Диасом Жергонном в 1814 году. На степенной диаграмме системы кругов все вершины диаграммы расположены в радикальных центрах троек кругов. Шпикеровский центр треугольника — это радикальный центр его вписанных окружностей . ^[1] Также было определено несколько типов радикальных кругов, таких как радикальный круг кругов Лукаса .

Примечания

^ Оденхал, Борис (2010). «Некоторые центры треугольников связаны с окружностями, касающимися вписанных окружностей» (PDF) . Форум Геометрикорум . 10 :35–40.

Дальнейшее чтение

Огилви CS (1990). Экскурсии по геометрии . Дувр. стр. 23 . ISBN 0-486-26530-7 .
Коксетер Х.С.М. , Грейтцер С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Вашингтон : МАА . стр. 35 , 38. ISBN 978-0-88385-619-2 .
Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 32–34. ISBN 978-0-486-46237-0 .
Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 35 . ISBN 0-14-011813-6 .
Дорри Х (1965). «Проблема Монжа». 100 великих задач элементарной математики: их история и решения . Нью-Йорк: Дувр. стр. 151–154 (§31).
Лахлан Р. (1893). Элементарный трактат по современной чистой геометрии . Лондон: Макмиллан. п. 185. АСИН B0008CQ720 .

Внешние ссылки

[1] Оденхал, Борис (2010). «Некоторые центры треугольников связаны с окружностями, касающимися вписанных окружностей» (PDF) . Форум Геометрикорум . 10 :35–40.

[1]