Шпикер центр

В геометрии Шпикер -центр — это особая точка, связанная с плоским треугольником . Он определяется как масс периметра центр треугольника. Шпикеровский центр треугольника $△ ABC$ — это центр тяжести однородного проволочного каркаса формы $△ ABC$ . ^[1]^[2] XIX века Точка названа в честь немецкого геометра Теодора Шпикера . ^[3] Центр Шпикера представляет собой центр треугольника и указан как точка X (10) в Кларка Кимберлинга Энциклопедии центров треугольников .

Расположение

**Строительство Шпикер-центра.**
Треугольник $△ ABC$

  Медиальный треугольник $△ DEF$ из $△ ABC$

   угла Биссектрисы $△ DEF$ ( совпадающие в **центре Шпикера** $S$ )

  Вписанный круг △ $DEF ($ круг Шпикера △ $ABC;$ с центром в $S$ )

Следующий результат можно использовать для определения местоположения Шпикеровского центра любого треугольника. ^[1]

треугольника

△ ABC

является центром медиального треугольника △

Центр Шпикера ABC

.

То есть центр Шпикера треугольника $△ ABC$ является центром круга, вписанного в средний треугольник треугольника $△ ABC$ . Этот круг известен как круг Шпикера .

Центр Шпикера также расположен на пересечении трех скалывателей треугольника $△ ABC$ . Кливер треугольника — это отрезок, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Каждый скалыватель содержит центр масс границы $△ ABC$ , поэтому три скалывателя встречаются в центре Шпикера.

Чтобы убедиться, что центр медиального треугольника совпадает с точкой пересечения скалывателей, рассмотрим однородный каркас в форме треугольника $△ ABC,$ состоящий из трех проволок в виде отрезков длиной $a, b, c$ . Проволочный каркас имеет тот же центр масс, что и система трех частиц масс $a, b, c,$ помещенных в середины $D, E, F$ сторон $BC, CA, AB$ . Центром масс частиц в точках $E$ и $F$ является точка $P$ , которая делит отрезок $EF$ в отношении $c : b$ . Линия $DP$ является внутренней биссектрисой $∠ D$ . Таким образом, центр масс трехчастичной системы лежит на внутренней биссектрисе $∠ D$ . Подобные аргументы показывают, что центр массы трехчастичной системы $лежит на внутренних биссектрисах ∠ E$ и $∠ F.$ также Отсюда следует, что центром масс проволочного каркаса является точка совпадения внутренних биссектрис углов треугольника $△ DEF$ , которая является центром медиального треугольника $△ DEF$ .

Характеристики

Шпикеровский центр треугольника — это центр расщепления треугольника.
Треугольник $△ ABC$

Биссектрисы угла $△ ABC$ (совпадающие в центре $I$ )

Кливеры ABC $△ ($ одновременно в **Шпикер-центре** $S$ )

Медиальный треугольник $△ DEF$ из $△ ABC$

Вписанный круг $△ DEF$ (круг Шпикера $△ ABC$ ; с центром в $S$ )

Пусть $S$ — шпикеровский центр треугольника $△ ABC$ .

Трилинейные координаты S $$ :

bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).

^[4]

Барицентрические координаты S $$ :

b+c:c+a:a+b.

^[4]

$S$ — радикальный центр трех вписанных кругов . ^[5]
$S$ — центр расщепления треугольника $△ ABC.$ ^[1]
$S$ коллинеарна ( центру ) ( $I$ , центроиду ) $G$ ) и точке Нагеля ( $N$ треугольника $△ ABC$ . Более того, ^[6]

IS=SM,\quad IG=2\cdot GS,\quad MG=2\cdot IG.

Таким образом, на числовой прямой, масштабированной и расположенной подходящим образом,

I = 0

,

G = 2

,

S = 3

и

M = 6

.

$S$ лежит на гиперболе Киперта . $S$ — точка совпадения прямых $AX, BY, CZ$ , где $△ XBC, △ YCA, △ ZAB$ подобные, равнобедренные и одинаково расположенные треугольники, построенные на сторонах треугольника $△ ABC$ как основания, имеющие общий угол при основании. ^[7]

\theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хонсбергер, Росс (1995). Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков . Математическая ассоциация Америки. стр. 3–4.
^ Кимберлинг, Кларк. «Шпикер-центр» . Проверено 5 мая 2012 г.
^ Шпикер, Теодор (1888). Учебник плоской геометрии . Потсдам, Германия. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» . Проверено 5 мая 2012 г.
^ Оденхал, Борис (2010), «Некоторые центры треугольников, связанные с окружностями, касающимися вписанных окружностей» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 35–40
^ Богомольный, А. «Линия Нагеля из интерактивных математических сборников и головоломок» . Проверено 5 мая 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола Киперта» . Математический мир .

[Ross-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хонсбергер, Росс (1995). Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков . Математическая ассоциация Америки. стр. 3–4.

[2] Кимберлинг, Кларк. «Шпикер-центр» . Проверено 5 мая 2012 г.

[3] Шпикер, Теодор (1888). Учебник плоской геометрии . Потсдам, Германия. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[Clark-4] Перейти обратно: ^а ^б Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» . Проверено 5 мая 2012 г.

[5] Оденхал, Борис (2010), «Некоторые центры треугольников, связанные с окружностями, касающимися вписанных окружностей» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 35–40

[6] Богомольный, А. «Линия Нагеля из интерактивных математических сборников и головоломок» . Проверено 5 мая 2012 г.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола Киперта» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]