Шпикер круг

В геометрии медиального вписанная окружность треугольника — это круг Шпикера , названный в честь немецкого геометра XIX века Теодора Шпикера . ^[1] Его центр, центр Шпикера , помимо того, что является центром медиального треугольника, является центром масс границы треугольника с однородной плотностью. ^[1] Центр Шпикера также является точкой, в которой все три скалывателя треугольника (биссектрисы периметра с конечной точкой в середине стороны) пересекают друг друга. ^[1]

История

Кружок Шпикера и центр Шпикера названы в честь Теодора Шпикера , математика и профессора из Потсдама , Германия. В 1862 году он издал учебник планарной геометрии с упражнениями для высших учебных заведений , посвященных планарной геометрии. Благодаря этой публикации, оказавшей влияние на жизнь многих известных ученых и математиков, включая Альберта Эйнштейна , Шпикер стал математиком, в честь которого были названы кружок и центр Шпикера. ^[1]

Строительство

Чтобы найти круг Шпикера треугольника, средний треугольник необходимо сначала построить из середин каждой стороны исходного треугольника. ^[1] Затем круг строится таким образом, что каждая сторона медиального треугольника касается круга внутри медиального треугольника, образуя вписанную окружность . ^[1] Этот центр круга называется центром Шпикера .

Точки и линии Нагеля

Круги Шпикера также имеют отношение к точкам Нагеля . Центр . треугольника и точка Нагеля образуют линию внутри круга Шпикера Середина этого отрезка является центром Шпикера. ^[1] Линия Нагеля образована центром треугольника, точкой Нагеля и центроидом треугольника. ^[1] Центр Шпикера всегда будет лежать на этой линии. ^[1]

Девятиточечная окружность и линия Эйлера

как очень похожие на девятиконечные круги Круги Шпикера впервые были обнаружены Джулианом Кулиджем . В то время он еще не был идентифицирован как круг Шпикера, но на протяжении всей книги упоминается как «круг П». ^[2] Окружность девяти точек с линией Эйлера и окружность Шпикера с линией Нагеля аналогичны друг другу, но не являются двойственными , а лишь имеют двойственное сходство. ^[1] Одно из сходств между кругом из девяти точек и кругом Шпикера касается их конструкции. Окружность девяти точек — это описанная окружность медиального треугольника, а окружность Шпикера — это вписанная окружность медиального треугольника. ^[2] Что касается связанных с ними линий, центр окружности линии Нагеля относится к центру описанной окружности линии Эйлера. ^[1] Другая аналогичная точка - это точка Нагеля и отоцентр , причем точка Нагеля связана с кругом Шпикера, а ортоцентр связан с кругом девяти точек. ^[1] Каждый круг пересекает стороны медиального треугольника там, где линии от ортоцентра или точки Нагеля до вершин исходного треугольника пересекаются со сторонами медиального треугольника. ^[2]

Шпикер конический

Девятиконечная окружность с линией Эйлера была обобщена в девятиконечную конику. ^[1] Посредством аналогичного процесса, благодаря аналогичным свойствам двух окружностей, круг Шпикера также удалось обобщить в конику Шпикера. ^[1] Коника Шпикера по-прежнему находится внутри медиального треугольника и касается каждой стороны медиального треугольника, однако она не пересекается с этими сторонами треугольника в одних и тех же точках. Если построить линии от каждой вершины медиального треугольника до точки Нагеля, то можно найти середину каждой из этих линий. ^[3] Также находят середины каждой стороны медиального треугольника и соединяют их с серединой противоположной линии через точку Нагеля. ^[3] Каждая из этих линий имеет общую среднюю точку S. ^[3] Если каждая из этих линий отражается через букву S, в результате получается 6 точек внутри медиального треугольника. Проведите конику через любые 5 из этих отраженных точек, и она коснется последней точки. ^[1] Это было доказано де Вильерсом в 2006 году. ^[1]

Радикальный круг Шпикера

Шпикера Радикальный круг — это круг с центром в центре Шпикера, который ортогонален трем вписанным окружностям медиального треугольника. ^[4]^[5]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п де Вильерс, Майкл (июнь 2006 г.). «Обобщение круга Шпикера и линии Нагеля». Пифагор . 63 : 30–37.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Кулидж, Джулиан Л. (1916). Трактат о круге и сфере . Издательство Оксфордского университета. стр. 53–57.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с де Вильерс, М. (2007). «Шпикер-коник и обобщение линии Нэгла» . Динамическое обучение математике .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Выходит из радикального круга» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Радикальный круг» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .

Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия . Бостон: Хоутон Миффлин. Переиздание Дувра, 1960 год.

Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс Нумерантиум . 129 : я – xxv, 1–295.

Внешние ссылки

Коника Шпикера и обобщение линии Нагеля в эскизах динамической геометрии. Обобщает круг Шпикера и связанную с ним линию Нагеля.

[:05-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п де Вильерс, Майкл (июнь 2006 г.). «Обобщение круга Шпикера и линии Нагеля». Пифагор . 63 : 30–37.

[:2-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Кулидж, Джулиан Л. (1916). Трактат о круге и сфере . Издательство Оксфордского университета. стр. 53–57.

[:3-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с де Вильерс, М. (2007). «Шпикер-коник и обобщение линии Нэгла» . Динамическое обучение математике .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Выходит из радикального круга» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Радикальный круг» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]