точка Нагеля

В геометрии точка Нагеля (названная в честь Кристиана Генриха фон Нагеля ) — это центр треугольника , одна из точек, связанных с данным треугольником , определение которой не зависит от местоположения или масштаба треугольника. Это точка совпадения треугольника всех трех разветвителей .

Строительство

Для треугольника $△ ABC$ пусть $TA вписанная окружность, TB, TC$ — точки соприкосновения , в которых $A$ - вписанная окружность пересекается с линией $BC$ , $B-$ вписанная окружность пересекается с линией $CA$ , а $C-$ пересекается с линией $AB$ соответственно. Прямые $AT A, BT B, CT C$ совпадают в точке Нагеля $N$ треугольника $△ ABC$ .

построение точки $TA и$ состоит в том, чтобы начать с $точки A$ провести вокруг треугольника $△ ABC$ его периметра , и аналогично для $TB половину$ и $TC Другое$ . Из-за такой конструкции точку Нагеля иногда еще называют точкой разделенного пополам периметра , а отрезки $AT A, BT B, CT C$ треугольника — разветвителями .

Существует простая конструкция точки Нагеля. Начиная с каждой вершины треугольника, достаточно провести двойную длину противоположного ребра. Получаем три прямые, совпадающие в точке Нагеля. ^[1]

Связь с другими центрами треугольника

Точка Нагеля является изотомно-сопряженной Жергонна точкой . Точка Нагеля, центр тяжести и центр тяжести лежат на прямой , называемой линией Нагеля . Инцентр — это точка Нагеля медиального треугольника ; ^[2]^[3] эквивалентно, точка Нагеля является центром антидополнительного треугольника . Изогональное сопряжение точки Нагеля — это точка совпадения линий, соединяющих микстилинейную точку касания и противоположную вершину.

Барицентрические координаты

Ненормированные барицентрические координаты точки Нагеля: $(s-a:s-b:s-c)$ где $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ — полупериметр опорного треугольника $△ ABC$ .

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Нагеля: ^[4] как

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)

или, что то же самое, через длины сторон $a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|,$

{\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.

История

Точка Нагеля названа в честь Кристиана Генриха фон Нагеля , немецкого математика девятнадцатого века, написавшего о ней в 1836 году.Ранний вклад в изучение этого вопроса внесли также Август Леопольд Крелль и Карл Густав Якоб Якоби . ^[5]

См. также

Ссылки

^ Дуссау, Ксавье. «Элементарное построение точки Нагеля» . ХЭЛ .
^ Аноним (1896). «Задача 73». Задачи на решение: Геометрия. Американский математический ежемесячник . 3 (12): 329. дои : 10.2307/2970994 . JSTOR 2970994 .
^ «Почему инцентр является точкой Нагеля медиального треугольника?» . Полиматематика .
^ Галлатли, Уильям (1913). Современная геометрия треугольника (2-е изд.). Лондон: Ходжсон. п. 20.
^ Баптист, Питер (1987). «Исторические заметки о Жергонне и Нагель-Пойнте». Архив Зудгофа по истории медицины и естественных наук . 71 (2): 230–233. МР 0936136 .

Внешние ссылки

Нагель Пойнт из сериала «Разрезать узел»
Нагель Пойнт , Кларк Кимберлинг
Вайсштейн, Эрик В. «Нагель-Пойнт» . Математический мир .
Коника Шпикера и обобщение линии Нагеля в эскизах динамической геометрии. Обобщает круг Шпикера и связанную с ним линию Нагеля.

[1] Дуссау, Ксавье. «Элементарное построение точки Нагеля» . ХЭЛ .

[Anonymous-2] Аноним (1896). «Задача 73». Задачи на решение: Геометрия. Американский математический ежемесячник . 3 (12): 329. дои : 10.2307/2970994 . JSTOR 2970994 .

[3] «Почему инцентр является точкой Нагеля медиального треугольника?» . Полиматематика .

[Gallatly-4] Галлатли, Уильям (1913). Современная геометрия треугольника (2-е изд.). Лондон: Ходжсон. п. 20.

[5] Баптист, Питер (1987). «Исторические заметки о Жергонне и Нагель-Пойнте». Архив Зудгофа по истории медицины и естественных наук . 71 (2): 230–233. МР 0936136 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]