Касание треугольника

  Произвольный треугольник △ ABC

  Вписанная окружность , касающаяся сторон △ ABC в точках T _A , T _B , T _C

  Коснитесь треугольника △ T _A T _B T _C

  Разветвители периметра AT _A , BT _B , CT _C ; пересекаются в точке Нагеля N

В евклидовой геометрии треугольник касания треугольника вписанные образуется путем соединения точек, в которых три окружности касаются треугольника.

Вершины трехлинейных касательного треугольника задаются в координатах следующим образом:

$${\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{B}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{C}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}$$

или, что то же самое, где a, b, c — длины сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

$${\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{B}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&0&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{C}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&0\end{array}}$$

Связанные цифры

треугольника Разделители — это линии, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами касательного треугольника; они делят периметр треугольника пополам и встречаются в точке Нагеля . На схеме это показано синим цветом и обозначено буквой «N».

Эллипс Мандарта касается сторон опорного треугольника в трех вершинах касающегося треугольника.

Площадь

Площадь треугольника касания K _T определяется по формуле:

$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$

где K и r — площадь и радиус вписанной окружности , s — полупериметр исходного треугольника, а a, b, c — длины сторон исходного треугольника.

Это та же область, что и у треугольника касания .