Микстилинейные окружности, вписанные в треугольник

В плоской геометрии микстилинейная вписанная окружность треугольника представляет собой окружность , которая касается двух его сторон и внутренне касается описанной окружности . Микстилинейная вписанная окружность треугольника, касающаяся двух сторон, содержащих вершину. $A$ называется $A$ -миксилинейная вписанная окружность. В каждом треугольнике есть три уникальные микстилинейные вписанные окружности, по одной соответствующей каждой вершине.

Доказательство существования и уникальности

The $A$ - вписанная окружность треугольника $ABC$ является уникальным. Позволять $\Phi$ быть преобразованием, определяемым композицией с центром инверсии в $A$ с радиусом ${\sqrt {AB\cdot AC}}$ и отражение относительно биссектрисы угла на $A$ . Поскольку инверсия и отражение биективны и сохраняют точки соприкосновения, то $\Phi$ делает то же самое. Затем изображение $A$ - обвести под $\Phi$ представляет собой окружность, внутренне касающуюся сторон $AB,AC$ и окружность $ABC$ , то есть $A$ -миксилинейная вписанная окружность. Таким образом, $A$ -миксилинейная вписанная окружность существует и уникальна, и аналогичный аргумент может доказать то же самое для микстилинейной вписанной окружности, соответствующей $B$ и $C$ . ^{[ 1 ]}

Строительство

The $A$ -миксилинейную вписанную окружность можно построить с помощью следующей последовательности шагов. ^{[ 2 ]}

Нарисуйте центр $I$ через пересекающиеся биссектрисы.
Проведите линию через $I$ перпендикулярно линии $AI$ , трогательные линии $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Это точки касания микстилинейной окружности.
Проведите перпендикуляры к $AB$ и $AC$ через точки $D$ и $E$ соответственно и пересекают их в $O_{A}$ . $O_{A}$ является центром круга, поэтому круг с центром $O_{A}$ и радиус $O_{A}E$ это микстилинейная вписанная окружность

Такая конструкция возможна благодаря следующему факту:

Лемма

Центр - это середина точек соприкосновения микстилинейной вписанной окружности с двумя сторонами.

Доказательство

Позволять $\Gamma$ быть описанной окружностью треугольника $ABC$ и $T_{A}$ быть точкой касания $A$ -миксилинейная вписанная окружность $\Omega _{A}$ и $\Gamma$ . Позволять $X\neq T_{A}$ быть пересечением линии $T_{A}D$ с $\Gamma$ и $Y\neq T_{A}$ быть пересечением линии $T_{A}E$ с $\Gamma$ . Гомотетия с центром $T_{A}$ между $\Omega _{A}$ и $\Gamma$ подразумевает, что $X,Y$ являются серединами $\Gamma$ дуги $AB$ и $AC$ соответственно. Из теоремы о вписанном угле следует, что $X,I,C$ и $Y,I,B$ являются тройками коллинеарных точек. Теорема Паскаля о шестиугольнике $XCABYT_{A}$ вписано в $\Gamma$ подразумевает, что $D,I,E$ коллинеарны. Поскольку углы $\angle {DAI}$ и $\angle {IAE}$ равны, то отсюда следует, что $I$ это середина отрезка $DE$ . ^{[ 1 ]}

Другие объекты недвижимости

Радиус

Следующая формула связывает радиус $r$ вписанной окружности и радиуса $\rho _{A}$ принадлежащий $A$ -миксилинейная вписанная окружность треугольника $ABC$ : $r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$

где $\alpha$ это величина угла при $A$ . ^{[ 3 ]}

Связь с точками описанной окружности

Средняя точка дуги $BC$ который содержит точку $A$ находится на линии $T_{A}I$ . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}
Четырехугольник $T_{A}XAY$ является гармоническим , а это означает, что $T_{A}A$ является симмедианой треугольника $XT_{A}Y$ . ^{[ 1 ]}

Окружности, относящиеся к точке касания с описанной окружностью

$T_{A}BDI$ и $T_{A}CEI$ являются вписанными четырёхугольниками . ^{[ 4 ]}

Сходства спирали

$T_{A}$ является центром спирального подобия, которое отображает $B,I$ к $I,C$ соответственно. ^{[ 1 ]}

Связь между тремя микстилинейными окружностями

Линии, соединяющие вершины и микстилинейные точки касания

Три линии, соединяющие вершину с точкой контакта описанной окружности с соответствующей микстилинейной вписанной окружностью, встречаются во внешнем центре подобия вписанной и описанной окружности. ^{[ 3 ]} В Интернет-энциклопедии центров треугольников эта точка указана как X (56). ^{[ 6 ]} Он определяется трехлинейными координатами : ${\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}},$ и барицентрические координаты : ${\frac {a^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}.$

Радикальный центр

Радикальным центром трех микстилинеарных вписанных окружностей является точка $J$ который делит $OI$ в соотношении: $OJ:JI=2R:-r$ где $I,r,O,R$ - это инцентр, внутренний радиус, центр описанной окружности и радиус описанной окружности соответственно. ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бака, Джафет. «О микстилинейных вписанных окружностях» (PDF) . Проверено 27 октября 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Микстилинейные окружности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 октября 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Юи, Пол (23 апреля 2018 г.). «Микстилинейные окружности» . Американский математический ежемесячник . 106 (10): 952–955. дои : 10.1080/00029890.1999.12005146 . Проверено 27 октября 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Соединенные Штаты Америки: МАА. п. 68. ИСБН 978-1-61444-411-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Нгуен, Хоа Лу (2006). «О микстилинейных вписанных и вписанных окружностях» (PDF) . Проверено 27 ноября 2021 г.
^ «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЦЕНТРОВ ТРЕУГОЛЬНИКА» . факультет.evansville.edu . Проверено 31 октября 2021 г.

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бака, Джафет. «О микстилинейных вписанных окружностях» (PDF) . Проверено 27 октября 2021 г.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Микстилинейные окружности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 октября 2021 г.

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б Юи, Пол (23 апреля 2018 г.). «Микстилинейные окружности» . Американский математический ежемесячник . 106 (10): 952–955. дои : 10.1080/00029890.1999.12005146 . Проверено 27 октября 2021 г.

[:2-4] Перейти обратно: ^а ^б Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Соединенные Штаты Америки: МАА. п. 68. ИСБН 978-1-61444-411-4 .

[:3-5] Перейти обратно: ^а ^б Нгуен, Хоа Лу (2006). «О микстилинейных вписанных и вписанных окружностях» (PDF) . Проверено 27 ноября 2021 г.

[6] «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЦЕНТРОВ ТРЕУГОЛЬНИКА» . факультет.evansville.edu . Проверено 31 октября 2021 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]