Изгиб

Парабола линий , одна из самых простых кривых, после (прямых)

В математике кривая линию (также называемая изогнутой линией в более старых текстах) является объектом, похожим на , но это не должно быть прямым .

Интуитивно можно рассматривать как след, оставленная перемещением . Это определение, которое появилось более 2000 лет назад в Евклида элементах : «Изогнутая] линия ^{[ А ]} […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой -либо ширины или глубины, и является ничем иным, как потоком или пробежкой точки, которая […] останется от его воображаемого движения в длину некоторого пережителя, освобождая от любой ширины ». ^{[ 1 ]}

Это определение кривой было формализовано в современной математике как: кривая - это изображение интервала в топологическое пространство с непрерывной функцией . В некоторых контекстах функция, которая определяет кривую, называется параметризацией , а кривая - параметрическая кривая . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми , чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, которые изучаются по математике; Примечательными исключениями являются кривые уровня (которые являются союзами кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. Ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее, класс топологических кривых очень широкий и содержит некоторые кривые, которые не выглядят так, как можно ожидать от кривой, или даже не может быть нарисовано. Это случай, когда космические кривые и фрактальные кривые . Для обеспечения большей регулярности функция, которая определяет кривую, часто должна быть дифференцируемой , и затем считается, что кривая является дифференцируемой кривой .

Плана алгебраической кривой является нулевым набором полинома в двух неопределенных . В целом, алгебраическая кривая представляет собой нулевой набор конечного набора полиномов, который удовлетворяет дальнейшему условию алгебраического измерений разнообразия . Если коэффициенты полиномов принадлежат к поле $k$ , говорят, что кривая определяется над $k$ . В общем случае реальной алгебраической кривой , где $k$ - это область реальных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечный союз топологических кривых. Когда сложные рассматриваются нули, один имеет сложную алгебраическую кривую , которая с топологической точки зрения не является кривой, а поверхностью и часто называется поверхностью римана . Хотя это не было кривым в здравом смысле, алгебраические кривые, определенные в других областях, широко изучались. В частности, алгебраические кривые по конечному полю широко используются в современной криптографии .

История

Интерес к кривым начался задолго до того, как они стали предметом математического исследования. Это можно увидеть в многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на повседневных объектах, начиная с доисторической раз. ^{[ 2 ]} Кривые, или, по крайней мере, их графические представления, просты в создании, например, с палкой на песке на пляже.

Исторически термин использовалась вместо более современной кривой термина . Следовательно, термины прямой линии и правой линии были использованы для различения того, что сегодня называют линии от изогнутых линий. Например, в Книге I элементов Евклида линия определяется как «длина без ширины» (def. 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, которая равномерно лежит с точками на себя» (Def. 4). Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением «конечности линии - это точки» (def. 3). ^{[ 3 ]} Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки в соответствии с различными схемами. Например: ^{[ 4 ]}

Композитные линии (линии образуют угол)
Некомпозитные линии
- Определить (линии, которые не протягиваются на неопределенный срок, например, круг)
- Неопределенные (линии, которые простираются на неопределенный срок, такие как прямая линия и парабола)

Греческие геометры изучили много других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических проблем, которые не могли быть решены с использованием стандартной конструкции компаса и линейных конструкций. Эти кривые включают:

Конические секции, подробно изученные Аполлонием Перга
Циссоид еоклоотровых , изученных с помощью Diocles и используется в качестве метода для удвоения куба . ^{[ 5 ]}
Конхоид Никомедеса , изученный в Nekomedes как метод как удвоить куб, так и для угла . ^{[ 6 ]}
Архимедическая спираль , изученная Архимедами как метод для того, чтобы тримея угла и квадрат круг . ^{[ 7 ]}
Спирические секции , разделы Тори, изученные Персеем в качестве секций конусов, были изучены Аполлонием.

Основным прогрессом в теории кривых стало введение аналитической геометрии Рене Декартом в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с использованием уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с использованием полиномиальных уравнений , и трансцендентальные кривые , которые не могут. Ранее кривые были описаны как «геометрические» или «механические» в соответствии с тем, как они были или предположительно могут быть сгенерированы. ^{[ 2 ]}

Конические секции были применены астрономии Кеплер . в Ньютон также работал над ранним примером в исчислении вариаций . Решения вариационных проблем, таких как вопросы брахистохрона и таутохрон , внедрили свойства кривых по -новому (в данном случае циклоид ). Контранспортная контейнера получает свое название в качестве решения проблемы висящей цепи, своего рода вопроса, который обычно стал доступным с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке начались начало теории плана алгебраических кривых, в целом. Ньютон изучал кубические кривые , в общем описании реальных точек в «овале». В заявлении теоремы Bézout показано ряд аспектов, которые не были непосредственно доступны для геометрии того времени, связанного с единственными точками и сложными решениями.

Начиная с девятнадцатого века теория кривой рассматривается как особый случай измерения одной из теории многообразий и алгебраических сортов . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, таких как кривые, заполняющие пространство , теорему Иордан Кривой и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая

Топологическая кривая может быть указана непрерывной функцией $\gamma \colon I\rightarrow X$ Из интервала $I$ реальных чисел в топологическое пространство $x$ . Правильно говоря, кривая это изображение - $\gamma .$ Однако в некоторых контекстах, $\gamma$ Сам сама называется кривой, особенно когда изображение не выглядит так, как обычно называют кривой, и недостаточно характеризуется $\gamma .$

Например, изображение кривой Peano или, в более общем плане, кривая заполнения пространства полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как $\gamma$ определено.

Кривая $\gamma$ закрыт ^{[ B ]} или это петля, если $I=[a,b]$ и $\gamma (a)=\gamma (b)$ Полем Таким образом, закрытая кривая - это изображение непрерывного отображения круга . Незащитная кривая также может быть названа открытой кривой .

Если домен топологической кривой является закрытым и ограниченным интервалом $I=[a,b]$ , кривая называется пути , также известной как топологическая дуга (или просто дуга ).

Кривая проста, если это изображение интервала или круга с помощью инъективной непрерывной функции. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией $\gamma$ С интервалом в качестве домена кривая проста, если и только если какие -либо две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, если точки являются конечными точками интервала. Интуитивно, простая кривая-это кривая, которая «не пересекает себя и не имеет недостающих точек» (непрерывная кривая, не поднимающаяся,). ^{[ 8 ]}

Плоскостная кривая - это кривая, для которой $X$ является евклидовой плоскостью - это примеры, впервые встречающиеся - или в некоторых случаях проективная плоскость . Космическая кривая - это кривая, для которой $X$ как минимум трехмерный; Кривая перекоса - это пространственная кривая, которая лежит в без плоскости. Эти определения кривых плоскости, пространства и перекоса применяются также к реальным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применяется (реальная алгебраическая кривая может быть отключена ).

Самолет простой закрытой кривой также называется кривой Иордан . Это также определяется как непрерывная непрерывная петля в плоскости. ^{[ 9 ]} Теорема Кривой Иордана утверждает, что комплемент комплемента в плоскости кривой Иордан состоит из двух подключенных компонентов (то есть кривая делит плоскость в двух неинтересованных областях , которые оба подключены). Ограниченная область внутри Иорданской кривой известна как домен Джордан .

Определение кривой включает в себя цифры, которые вряд ли можно назвать кривыми в общем использовании. Например, изображение кривой может покрывать квадрат в плоскости ( кривая заполнения пространства ), а простая кривая может иметь положительную область. ^{[ 10 ]} Фрактальные кривые могут иметь свойства, которые являются странными для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь измерение хаусдорфа, больше одного (см. Снежинка Кох ) и даже положительную область. Примером является кривая дракона , которая обладает многими другими необычными свойствами.

Дифференцируемая кривая

Грубо говоря, дифференцируемая кривая - это кривая, которая определяется как локально изображение функции дифференцируемой инъекции $\gamma \colon I\rightarrow X$ Из интервала $I$ реальных чисел в дифференцируемое многообразие $x$ часто $\mathbb {R} ^{n}.$

Точнее, дифференцируемая кривая представляет собой подмножество $C$ x $,$ где каждая точка $C$ имеет окрестности $U,$ такой, что $C\cap U$ является диффеоморфным в интервал реальных чисел. ^{[ нужно разъяснения ]} Другими словами, дифференцируемая кривая представляет собой дифференцируемое многообразие измерения.

Дифференцируемая дуга

В евклидовой геометрии дуга подключенную (символ: ⌒ ) представляет собой подмножество дифференцируемой кривой .

Дуги линий называются сегментами , лучами или линиями , в зависимости от того, как они ограничены.

Общим изогнутым примером является дуга круга , называемая круговой дугой .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или великого эллипса ) называется великой дугой .

Длина кривой

Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ является $n$ -смерное евклидовое пространство, и если $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ является инъективной и непрерывно дифференцируемой функцией, тогда длина $\gamma$ определяется как количество

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

Длина кривой не зависит от параметризации $\gamma$ .

В частности, длина $s$ графика функции постоянно дифференцируемой $y=f(x)$ определяется на закрытом интервале $[a,b]$ является

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},

который можно рассматривать интуитивно как использование пифагорской теоремы в бесконечно массивном масштабе непрерывно по всей длине кривой. ^{[ 11 ]}

В целом, если $X$ это метрическое пространство с метрическим $d$ , тогда мы можем определить длину кривой $\gamma :[a,b]\to X$ к

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},

где превосходная версия всех $n\in \mathbb {N}$ и все разделы $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ из $[a,b]$ .

Исправляемая кривая представляет собой кривую с конечной длиной. Кривая $\gamma :[a,b]\to X$ называется натуральным (или установленным или параметризованным по длине дуги), если для любого $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ так что $t_{1}\leq t_{2}$ , у нас есть

\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

Если $\gamma :[a,b]\to X$ это функция Lipschitz, непрерывная , тогда она автоматически исправляется. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) $\gamma$ в $t\in [a,b]$ как

{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}

а потом покажи, что

\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

Дифференциальная геометрия

В то время как первые примеры сознания кривых представляют собой в основном плоские кривые (то есть в повседневных словах, изогнутые линии в двухмерном пространстве ), существуют очевидные примеры, такие как спираль , которые существуют естественным образом в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классическая механика, должны иметь представление о кривой в пространстве любого количества измерений. В целом относительность мировая линия - это кривая в пространстве -времени .

Если $X$ является дифференцируемым коллектором , тогда мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в $X$ Полем Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие применения кривых в математике. С местной точки зрения можно взять $X$ быть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно быть более общим, в том смысле, что (например) можно определить касательные векторы на $X$ с помощью этого понятия кривой.

Если $X$ это гладкий коллектор , гладкая кривая в $X$ это гладкая карта

\gamma \colon I\rightarrow X

.

Это основное понятие. Есть тоже все больше и больше ограниченных идей. Если $X$ является а $C^{k}$ многообразие (т.е. многообразие, диаграммы чьи $k$ время непрерывно дифференцируется ), тогда $C^{k}$ кривая в $X$ такая кривая, которая предполагается, что $C^{k}$ (Т.е. $k$ время непрерывно дифференцируется). Если $X$ является аналитическим коллектором (т.е. бесконечно дифференцируемый и диаграммы выражаются как серия Power ), и $\gamma$ аналитическая карта, тогда $\gamma$ Говорят, что является аналитической кривой .

Считается, что дифференцируемая кривая Регулярно , если его производная никогда не исчезает. (Словами, обычная кривая никогда не замедляется до остановки или возврата на себя.) Два $C^{k}$ дифференцируемые кривые

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

и

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

Говорят, что это эквивалентны , если есть бикции $C^{k}$ карта

p\colon J\rightarrow I

так что обратная карта

p^{-1}\colon I\rightarrow J

также $C^{k}$ , и

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

для всех $t$ Полем Карта $\gamma _{2}$ называется репараметризацией $\gamma _{1}$ ; и это делает эквивалентность на множестве всех $C^{k}$ дифференцируемые кривые в $X$ Полем А $C^{k}$ дуга - это эквивалентности класс $C^{k}$ Кривые под соотношением репараметризации.

Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые - это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плана алгебраической кривой является набором точек координат $x, y,$ так что $f (x, y) = 0$ , где $F$ является полиномом в двух переменных, определенных в некотором полете $f$ . Один говорит, что кривая определяется на $f$ . Алгебраическая геометрия обычно учитывает не только точки с координатами в $F,$ но и все точки с координатами в алгебраически закрытом поле $k$ .

Если C - кривая, определенная полиномом F с коэффициентами в F кривая определяется по F. , считается, что

В случае кривой, определенной в реальных числах , обычно рассматривает точки со сложными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , и набор всех реальных моментов является реальной частью кривой. Поэтому именно реальная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку реальная часть алгебраической кривой может быть отключена и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть набор его сложной точки, с топологической точки зрения поверхности. В частности, нестентные сложные проективные алгебраические кривые называются поверхностями Riemann .

Точки кривой $C$ с координатами в поле $G$ , как говорят, рациональны по сравнению $с G$ и могут быть обозначены $C (G)$ . Когда $G$ - область рациональных чисел , можно просто говорить о рациональных точках . Например, последняя теорема Ферма может быть пересмотрена как: для $n > 2$ , каждая рациональная точка кривой Fermat степени $N$ имеет нулевую координату .

Алгебраические кривые также могут быть космическими кривыми или кривыми в пространстве более высокого измерения, скажем, $n$ . Они определены как алгебраические измерения . сорта Они могут быть получены как общие решения, по крайней мере, $n -1$ полиномиальных уравнений в $n$ переменных. Если $полиномы N -1$ достаточно для определения кривой в пространстве $n$ , кривая, как говорят, является полным пересечением . Удаляя переменные (любым инструментом теории устранения ), алгебраическая кривая может быть проецирована на плоскую алгебраическую кривую , которая, однако, может вводить новые особенности, такие как сливки или двойные точки .

Кривая плоскости также может быть завершена до кривой в проективной плоскости : если кривая определяется полиномом $F$ общей степени $D$ , то $W дюймовый f (u / w, v / w)$ упрощается до однородного полинома $G (u, v, w)$ степени $d$ . Значения $u, v, w,$ так что $g (u, v, w) = 0$ являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, и точки начальной кривой являются такими, что $W$ не равен нулю. Примером является кривая Fermat $U не + v не = W. не$ , который имеет аффинную форму $x не + и не = 1$ . Аналогичный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в более высоких пространствах.

За исключением линий , самые простые примеры алгебраических кривых - это коник , которые представляют собой несуществующие кривые второго степени и родовым Zero. Эллиптические кривые , которые представляют собой нестентные кривые первого рода, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения для криптографии .

Смотрите также

Примечания

^ В текущем математическом использовании линия прямая. Ранее линии могут быть либо изогнуты, либо прямыми.
^ Этот термин мой быть двусмысленным, как не сжимая кривая может быть закрытым набором , как и линия в плоскости.

Ссылки

^ В (довольно старый) французский: «Линия -это первый вид количества, который имеет единственное измерение, которое должно быть долгое время, без какой -либо широты или глубокости, и является ничем иным, как потоком или вспашкой пункта, который [...] останется из его воображаемого движения некоторого продолжительного, свободного от всей широты». Страницы 7 и 8 из пятнадцати фунтов геометрических элементов евклидного мегарского, переведенного от греческого на Франсуа и увеличиваются с несколькими фигурами и демонстрациями, с исправлениями ошибок, совершенных других переводов , Пьера Марделе, Лион, MDCXLV (1645).
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Локвуд с. IX
^ Хит р. 153
^ Хит р. 160
^ Локвуд р. 132
^ Локвуд р. 129
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда» , Архив математики Мактутора , Университет Святого Эндрюса, Университет Святого Эндрюса
^ «Иорданское определение дуги на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Рэндом Хаус, Inc» . Dictionary.Reference.com . Получено 2012-03-14 .
^ Sulovský, Marek (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Логос Verlag Berlin Gmbh. п. 7. ISBN 9783832531195 .
^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Иорданская кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
^ Дэвис, Эллери У.; Бренке, Уильям С. (1913). Исчисление . Macmillan Company. п. 108. ISBN 9781145891982 .

Как Пархоменко (2001) [1994], "Линия (кривая)" , Энциклопедия математики , Ems Press
Bi Golubov (2001) [1994], «Прямая кривая» , Энциклопедия математики , Ems Press
Евклид , комментарий и транс. TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Кембридж) Google Books
Эх Локвуд, книга кривых (1961 Кембридж)

Внешние ссылки

Знаменитый индекс кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент -Эндрюс, Шотландия
Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых
Галерея космических изгибов, сделанных из кругов, включает в себя анимацию Питера Моисея
Галерея кривых епископа и других сферических кривых включает анимацию Питера Моисея
Энциклопедия математической статьи о строках .
Страница Marifold Atlas на 1-й Manifolds .

[1] В текущем математическом использовании линия прямая. Ранее линии могут быть либо изогнуты, либо прямыми.

[9] Этот термин мой быть двусмысленным, как не сжимая кривая может быть закрытым набором , как и линия в плоскости.

[2] В (довольно старый) французский: «Линия -это первый вид количества, который имеет единственное измерение, которое должно быть долгое время, без какой -либо широты или глубокости, и является ничем иным, как потоком или вспашкой пункта, который [...] останется из его воображаемого движения некоторого продолжительного, свободного от всей широты». Страницы 7 и 8 из пятнадцати фунтов геометрических элементов евклидного мегарского, переведенного от греческого на Франсуа и увеличиваются с несколькими фигурами и демонстрациями, с исправлениями ошибок, совершенных других переводов , Пьера Марделе, Лион, MDCXLV (1645).

[Lockwood-3] Jump up to: ^а ^{беременный} Локвуд с. IX

[4] Хит р. 153

[5] Хит р. 160

[6] Локвуд р. 132

[7] Локвуд р. 129

[8] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда» , Архив математики Мактутора , Университет Святого Эндрюса, Университет Святого Эндрюса

[10] «Иорданское определение дуги на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Рэндом Хаус, Inc» . Dictionary.Reference.com . Получено 2012-03-14 .

[11] Sulovský, Marek (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Логос Verlag Berlin Gmbh. п. 7. ISBN 9783832531195 .

[12] Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Иорданская кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[13] Дэвис, Эллери У.; Бренке, Уильям С. (1913). Исчисление . Macmillan Company. п. 108. ISBN 9781145891982 .

[ А ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ B ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]