Дуга (проективная геометрия)

(Простая) дуга в конечной проективной геометрии — это набор точек, который интуитивно удовлетворяет свойству кривых фигур в непрерывной геометрии . Грубо говоря, это наборы точек, которые далеки от «линейных» на плоскости или далеки от «плоских» в трехмерном пространстве. В этой конечной ситуации обычно количество точек в наборе включается в имя, поэтому эти простые дуги называются $k$ - дугами . Важным обобщением $k$ -дуг, также называемых в литературе дугами, являются ( $k, d$ )-дуги.

$k$ -дуги в проективной плоскости

В конечной проективной плоскости $π$ (не обязательно дезарговой ) множество $A$ из $k (k \geq 3)$ точек такое, что никакие три точки $A$ не лежат на одной прямой (на прямой), называется $k -дугой$ . Если плоскость $π$ имеет порядок $q,$ то $k \leq q + 2$ , однако максимальное значение $k$ может быть достигнуто только в том случае, если $q$ четно. ^[1] На плоскости порядка $q$ -дуга $(q +1)$ называется овалом , а если $q$ четное, $(q +2)$ -дуга называется гиперовалом .

Всякая коника дезарговой проективной плоскости PG(2, $q$ ), т. е. множества нулей неприводимого однородного квадратного уравнения, является овалом. Знаменитый результат Бениамино Сегре гласит, что когда $q$ нечетно, каждая $(q + 1)$ -дуга в PG(2, $q$ ) является коникой ( теорема Сегре ). Это один из новаторских результатов в области конечной геометрии .

Если $q$ четно и $A$ является $(q + 1)$ -дугой в $π$ , то с помощью комбинаторных аргументов можно показать, что должна существовать единственная точка в $π$ (называемая ядром A $) ,$ такая что объединение $A$ и этого точка является ( $q$ + 2)-дугой. Таким образом, каждый овал однозначно продолжается до гиперовала в конечной проективной плоскости четного порядка.

- дуга $k$ , которую нельзя продолжить до большей дуги, называется полной дугой . В дезарговых проективных плоскостях PG(2, $q$ ) ни одна $q$ -дуга не является полной, поэтому все они могут быть продолжены до овалов. ^[2]

$k$ -дуги в проективном пространстве

В конечном проективном пространстве PG( $n, q$ ) с $n \geq 3$ множество $A$ из $k \geq n + 1$ точки такое, что никакие $n + 1$ точки не лежат в общей гиперплоскости, называется (пространственной) $k$ - дугой . Это определение обобщает определение $k$ -дуги на плоскости (где $n = 2$ ).

( $k, d$ )-дуги в проективной плоскости

A( $k, d$ ) -дуга ( $k, d > 1$ ) в конечной проективной плоскости $π$ (не обязательно дезарговой ) — это множество $A$ из $k$ точек $π$ такое, что каждая прямая пересекает $A$ не более чем в $d$ точках, и при этом есть хотя бы одна прямая, которая пересекает $A$ в $d$ точках. A ( $k, 2$ )-дуга является $k$ -дугой и может называться просто дугой, если размер не имеет значения.

Число точек $k$ ( $k, d$ )-дуги $A$ в проективной плоскости порядка $q$ не превосходит $qd + d - q$ . называют $Когда происходит равенство, A$ максимальной дугой .

Гиперовалы — это максимальные дуги. Полные дуги не обязательно должны быть максимальными.

См. также

Нормальная рациональная кривая

Примечания

^ Хиршфельд 1979 , с. 164, Теорема 8.1.3.
^ Дембовский 1968 , с. 150, результат 28

Ссылки

Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , МР 0233275
Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0

Внешние ссылки

CM О'Киф (2001) [1994], «Дуга» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Хиршфельд 1979 , с. 164, Теорема 8.1.3.

[2] Дембовский 1968 , с. 150, результат 28

[1]

[2]

k -дуги в проективной плоскости

k -дуги в проективном пространстве

( k , d )-дуги в проективной плоскости