Рациональная нормальная кривая

В математике рациональная нормальная кривая это гладкая рациональная кривая $C$ степени n $в$ — проективном n-пространстве $P. н$ . Это простой пример проективного разнообразия ; формально это многообразие Веронезе , когда областью определения является проективная прямая. При $n = 2$ это плоская коника $Z 0 Z 2 = Z 21,$ а при $n = 3$ — скрученная кубика . Термин «нормальный» относится к проективной нормальности , а не к нормальным схемам . Пересечение рациональной нормальной кривой с аффинным пространством называется моментной кривой .

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как изображение карты

\nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{n}

которое присваивает однородным координатам $[S : T]$ значение

\nu :[S:T]\mapsto \left[S^{n}:S^{n-1}T:S^{n-2}T^{2}:\cdots :T^{n}\right].

В аффинных координатах диаграммы $x 0 \neq 0$ карта просто

\nu :x\mapsto \left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).

То есть рациональная нормальная кривая — это замыкание единственной точкой на бесконечности аффинной кривой.

\left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).

Эквивалентно, рациональную нормальную кривую можно понимать как проективное многообразие , определяемое как общее нулевое локус однородных многочленов.

F_{i,j}\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)=X_{i}X_{j}-X_{i+1}X_{j-1}

где $[X_{0}:\cdots :X_{n}]$ — однородные координаты на $P н$ . Полный набор этих полиномов не требуется; достаточно выбрать $n$ из них, чтобы задать кривую.

Альтернативная параметризация

Позволять $[a_{i}:b_{i}]$ быть $n + 1$ различных точек в $P 1$ . Тогда полином

G(S,T)=\prod _{i=0}^{n}\left(a_{i}S-b_{i}T\right)

— однородный многочлен степени $n + 1$ с различными корнями. Полиномы

H_{i}(S,T)={\frac {G(S,T)}{(a_{i}S-b_{i}T)}}

тогда являются базисом пространства однородных многочленов степени $n$ . Карта

[S:T]\mapsto \left[H_{0}(S,T):H_{1}(S,T):\cdots :H_{n}(S,T)\right]

или, что то же самое, деление на $G (S, T)$

[S:T]\mapsto \left[{\frac {1}{(a_{0}S-b_{0}T)}}:\cdots :{\frac {1}{(a_{n}S-b_{n}T)}}\right]

является рациональной нормальной кривой. То, что это рациональная нормальная кривая, можно понять, заметив, что мономы

S^{n},S^{n-1}T,S^{n-2}T^{2},\cdots ,T^{n},

являются лишь одним из возможных базисов пространства однородных многочленов степени $n$ . На самом деле любая основа подойдет . Это всего лишь применение утверждения о том, что любые два проективных многообразия проективно эквивалентны, если они конгруэнтны по модулю проективной линейной группы $PGL n + 1 (K)$ (где $K —$ поле , над которым определено проективное пространство).

Эта рациональная кривая отправляет нули $G$ в каждую из точек координат $P н$ ; то есть все $H i,$ кроме одного, исчезают для нуля $G$ . И наоборот, любая рациональная нормальная кривая, проходящая через $n + 1$ координатную точку, может быть записана параметрически таким образом.

Характеристики

Рациональная нормальная кривая обладает рядом замечательных свойств:

Любые $n + 1$ точки на $C$ линейно независимы и охватывают $P н$ . Это свойство отличает рациональную нормальную кривую от всех других кривых.
Учитывая $n + 3$ точки в $P н$ в линейном общем положении (т. е. без $n + 1,$ лежащего в гиперплоскости ), через них проходит единственная рациональная нормальная кривая. Кривая может быть явно задана с использованием параметрического представления, расположив $n + 1$ точек на координатных осях, а затем сопоставив две другие точки с $[S : T] = [0 : 1]$ и $[S : T] = [1: 0]$ .
Касательная и секущая линии рациональной нормальной кривой попарно не пересекаются, за исключением точек самой кривой. Это свойство присуще достаточно положительным вложениям любого проективного многообразия.
Есть

{\binom {n+2}{2}}-2n-1

независимые квадрики , порождающие идеал кривой.

Кривая не является полным пересечением при $n > 2$ . То есть ее нельзя определить (как подсхему проективного пространства) только с помощью $n - 1$ уравнений, которые являются коразмерностью кривой в $\mathbf {P} ^{n}$ .
Каноническое отображение гиперэллиптической кривой имеет образ рациональной нормальной кривой и имеет отношение 2 к 1.
Любая неприводимая невырожденная кривая $C \subset P н$ степени $n$ является рациональной нормальной кривой.

См. также

Рациональная нормальная прокрутка

Ссылки

Джо Харрис, Алгебраическая геометрия, первый курс , (1992) Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97716-3