Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия

В математике алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия — два тесно связанных предмета. В то время как алгебраическая геометрия изучает алгебраические многообразия , аналитическая геометрия имеет дело с комплексными многообразиями и более общими аналитическими пространствами, локально определяемыми обращением в нуль аналитических функций нескольких комплексных переменных . Глубокая связь между этими предметами имеет множество приложений, в которых алгебраические методы применяются к аналитическим пространствам, а аналитические методы — к алгебраическим многообразиям.

Основное заявление

Пусть X — проективное комплексное алгебраическое многообразие . Поскольку X — комплексное многообразие, его множеству комплексных точек X ( C ) можно придать структуру компактного комплексного аналитического пространства . Это аналитическое пространство обозначается X ^а . Аналогично, если ${\mathcal {F}}$ является пучком на X , то существует соответствующий пучок ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ на Х ^а . Это объединение аналитического объекта с алгебраическим есть функтор . Прототипическая теорема, связывающая X и X ^а говорит, что для любых двух когерентных пучков ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {G}}$ на X естественный гомоморфизм:

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})$

является изоморфизмом. Здесь ${\mathcal {O}}_{X}$ – структурный пучок алгебраического многообразия X и ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ – структурный пучок аналитического многообразия X ^а . Точнее, категория когерентных пучков на алгебраическом многообразии категории аналитических X эквивалентна когерентных пучков на аналитическом многообразии X ^а , а эквивалентность задается на объектах путем отображения ${\mathcal {F}}$ к ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$. (Особо отметим, что ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ сам по себе когерентен, и этот результат известен как теорема когерентности Оки . а также это было доказано в «Faisceaux Algebriques Coherents». что структурный пучок алгебраического многообразия ${\mathcal {O}}_{X}$ является последовательным.

Другое важное утверждение состоит в следующем: для любого когерентного пучка ${\mathcal {F}}$ на алгебраическом многообразии X гомоморфизмы

$\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})$

являются изоморфизмами для всех q's . Это означает, что q -я группа когомологий на X изоморфна группе когомологий на X ^а .

Теорема применима в гораздо более широком смысле, чем указано выше (см. формальное утверждение ниже). Оно и его доказательство имеют множество следствий, таких как теорема Чоу , принцип Лефшеца и теорема об исчезновении Кодаиры .

Фон

Алгебраические многообразия локально определяются как общие множества нулей многочленов, и поскольку многочлены над комплексными числами являются голоморфными функциями , алгебраические многообразия над C можно интерпретировать как аналитические пространства. Аналогично регулярные морфизмы между многообразиями интерпретируются как голоморфные отображения между аналитическими пространствами. Несколько удивительно, но часто можно пойти другим путем и интерпретировать аналитические объекты алгебраическим способом.

Например, легко доказать, что аналитические функции, переходящие из сферы Римана в себя, либо рациональные функции или тождественная функция бесконечности (расширение теоремы Лиувилля ). Ибо если такая функция f непостоянна, то, поскольку множество z , где f(z) равно бесконечности, изолировано, а сфера Римана компактна, существует конечное число z, для которых f(z) равно бесконечности. Рассмотрим разложение Лорана при всех таких z и вычтем сингулярную часть: у нас останется функция на сфере Римана со значениями в C , которая по теореме Лиувилля является постоянной. Таким образом, f — рациональная функция. Этот факт показывает, что нет существенной разницы между комплексной проективной прямой как алгебраическим многообразием и сферой Римана .

Важные результаты

Существует долгая история сравнения результатов между алгебраической геометрией и аналитической геометрией, начиная с девятнадцатого века. Некоторые из наиболее важных достижений перечислены здесь в хронологическом порядке.

Теорема существования Римана

Теория римановой поверхности показывает, что на компактной римановой поверхности имеется достаточно мероморфных функций , что делает ее (гладкой проективной) алгебраической кривой . Под названием теорема существования Римана был известен более глубокий результат о разветвленных покрытиях компактной римановой поверхности: такие конечные покрытия, как топологические пространства, классифицируются с помощью перестановочных представлений фундаментальной группы дополнения точек ветвления . Поскольку свойство римановой поверхности локально, такие накрытия довольно легко считать покрытиями в комплексно-аналитическом смысле. Тогда можно заключить, что они происходят из карт покрытия алгебраических кривых, то есть все такие покрытия происходят из конечных расширений функционального поля .

Принцип Лефшеца

В двадцатом веке принцип Лефшеца , названный в честь Соломона Лефшеца , был процитирован в алгебраической геометрии, чтобы оправдать использование топологических методов для алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем K характеристики 0 , рассматривая K, как если бы это было поле комплексных чисел. . Его элементарная форма утверждает, что истинные утверждения первого порядка теории полей относительно C верны для любого алгебраически замкнутого поля K нулевой характеристики. Точный принцип и его доказательство принадлежат Альфреду Тарскому и основаны на математической логике .

Этот принцип позволяет перенести некоторые результаты, полученные с помощью аналитических или топологических методов для алгебраических многообразий над C, на другие алгебраически замкнутые основные поля характеристики 0 (например, теорема об исчезновении типа Кодайры) . )

Теорема Чоу

Чоу (1949) , доказанное Вэй-Ляном Чоу , является примером наиболее полезного из имеющихся видов сравнения. аналитическое подпространство комплексного проективного пространства является алгебраическим подмногообразием. Он утверждает, что замкнутое (в обычном топологическом смысле) Это можно перефразировать так: «любое аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, замкнутое в сильной топологии, замкнуто в топологии Зарисского ». Это позволяет достаточно свободно использовать комплексно-аналитические методы в классических разделах алгебраической геометрии.

ГАГА

Основы многих связей между двумя теориями были заложены в начале 1950-х годов как часть работы по закладке основ алгебраической геометрии, включающей, например, методы теории Ходжа . Основной статьей, объединяющей эту теорию, была «Алгебричная и аналитическая геометрия» Жана -Пьера Серра . теперь обычно называют ГАГА . Доказываются общие результаты, связывающие классы алгебраических многообразий, регулярных морфизмов и пучков с классами аналитических пространств, голоморфных отображений и пучков. Все это сводится к сравнению категорий пучков.

В настоящее время фраза «результат в стиле GAGA» используется для любой теоремы сравнения, позволяющей перейти от категории объектов алгебраической геометрии и их морфизмов к четко определенной подкатегории объектов аналитической геометрии и голоморфных отображений.

Официальное заявление GAGA

1. Позволять $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ — схема конечного типа над C . Тогда существует топологическое пространство X ^а что множество состоит из замкнутых точек X с непрерывным отображением включения λ _X : X ^а → Х. ​Топология на X ^а называется «комплексной топологией» (и сильно отличается от топологии подпространства).
2. Предположим, что φ: X → Y — морфизм схем локально конечного типа над C . Тогда существует непрерывное отображение φ ^а : Х ^а → И ^а такой, что λ _Y ∘ φ ^а знак равно φ ∘ λ _Икс .
3. Есть сноп ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ на Х ^а такой, что $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ является кольцевым пространством и λ _X : X ^а → X становится картой кольцевых пространств. Пространство $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ называется «анализом» $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ и является аналитическим пространством. Для любого φ: X → Y отображение φ ^а определенное выше, является отображением аналитических пространств. Более того, отображение φ ↦ φ ^а отображает открытые погружения в открытые погружения. Если X = Spec( C [ x ₁ ,..., x _n ]), то X ^а = С ^н и ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)$ для каждого полидиска U является подходящим факторпространством голоморфных функций на U .
4. За каждый сноп ${\mathcal {F}}$ на X (называемом алгебраическим пучком) существует пучок ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ на Х ^а (называемый аналитическим пучком) и карту пучков ${\mathcal {O}}_{X}$-модули $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$. Сноп ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ определяется как $\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$. Переписка ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ определяет точный функтор из категории пучков над $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ к категории пучков $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$.
   Следующие два утверждения составляют суть теоремы Серра GAGA. (расширено Александром Гротендиком , Амноном Ниманом и другими).
5. Если f : X → Y — произвольный морфизм схем конечного типа над C и ${\mathcal {F}}$ когерентно, то естественное отображение $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ является инъективным. Если f собственное, то это отображение является изоморфизмом. Также имеются изоморфизмы всех пучков высших прямых образов. $(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ в этом случае.
6. Теперь предположим, что X ^а хаусдорфов и компактен. Если ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ представляют собой два когерентных алгебраических пучка на $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ и если $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }$ представляет собой карту пучков ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$-модулей, то существует единственное отображение пучков ${\mathcal {O}}_{X}$-модули $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ с $f=\varphi ^{\mathrm {an} }$. Если ${\mathcal {R}}$ представляет собой связный аналитический пучок ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$-модули над X ^а тогда существует когерентный алгебраический пучок ${\mathcal {F}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$-модули и изоморфизм ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}$.

В несколько меньшей общности теорема ГАГА утверждает, что категория когерентных алгебраических пучков на комплексном проективном многообразии X и категория когерентных аналитических пучков на соответствующем аналитическом пространстве X ^а эквивалентны. Аналитическое пространство X ^а получается грубо путем возврата к X сложной структуры из C ^н через координатные карты. Действительно, такая формулировка теоремы ближе по духу к статье Серра, учитывая, что полный теоретико-схемный язык, который широко используется в приведенном выше формальном утверждении, еще не был изобретен ко времени публикации GAGA.

См. также

• Плоский модуль . Понятие плоскостности было введено Серром (1956) . Алгебраическое и аналитическое локальные кольца имеют одинаковое пополнение и тем самым становятся «плоской парой» (couple plat).

Ссылки

• Чоу, Вэй-Лян (1949). «О компактных комплексных аналитических многообразиях». Американский журнал математики . 71 (4): 893–914. дои : 10.2307/2372375 . JSTOR   2372375 .
• Фрей, Герхард; Рюк, Ханс-Георг (1986). «Сильный принцип Лефшеца в алгебраической геометрии». Манускрипта Математика . 55 (3–4): 385–401. дои : 10.1007/BF01186653 . S2CID   122967192 .
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1958). «Сложные пространства» . Математические летописи . 136 (3): 245–318. дои : 10.1007/BF01362011 . S2CID   121348794 .
• Гротендик А. «Об алгебраических пучках и когерентных аналитических пучках» . Семинар Анри Картана . 9 :1–16.
• Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2002). «Плоские накрытия и фундаментальная группа §XII. Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» . Плоские накрытия и фундаментальная группа (SGA 1) (на французском языке). arXiv : math/0206203 . дои : 10.1007/BFb0058656 . ISBN  978-2-85629-141-2 .
• Харбатер, Дэвид (21 июля 2003 г.). «Группы Галуа и фундаментальные группы §9. Исправления и теория Галуа (факультет математики Пенсильванского университета)» (PDF) . В Шнепсе, Лейла (ред.). Группы Галуа и фундаментальные группы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521808316 .
• Холл, Джек (2023). «Теоремы ГАГА». Журнал чистой и прикладной математики . 175 : 109–142. arXiv : 1804.01976 . дои : 10.1016/j.matpur.2023.05.004 . S2CID   119702436 .
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], «Принцип переноса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Ниман, Амнон (2007). Алгебраическая и аналитическая геометрия . дои : 10.1017/CBO9780511800443 . ISBN  9780511800443 .
• Зайденберг, А. (1958). «Комментарии к принципу Лефшеца». Американский математический ежемесячник . 65 (9): 685–690. дои : 10.1080/00029890.1958.11991979 . JSTOR   2308709 .
• Хартсхорн, Робин (1970). Обильные подмногообразия алгебраических многообразий . Конспект лекций по математике. Том. 156. дои : 10.1007/BFb0067839 . ISBN  978-3-540-05184-8 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 . S2CID   197660097 . Збл   0367.14001 .
• Хартшорн, Робин (2010). «Деформации первого порядка». Теория деформации . Тексты для аспирантов по математике. Том. 257. стр. 5–44. дои : 10.1007/978-1-4419-1596-2_2 . ISBN  978-1-4419-1595-5 .
• Кавамата, Юджиро; Мацуда, Кацуми; Мацуки, Кендзи (1987). «Введение в задачу минимальной модели». Алгебраическая геометрия, Сендай, 1985 . стр. 100-1 283–360. дои : 10.2969/aspm/01010283 . ISBN  978-4-86497-068-6 .
• Реммерт, Р. (1994). «Локальная теория комплексных пространств». Несколько комплексных переменных VII . Энциклопедия математических наук. Том. 74. стр. 7–96. дои : 10.1007/978-3-662-09873-8_2 . ISBN  978-3-642-08150-7 .
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR   1969915 , MR   0068874
• Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» . Анналы Института Фурье (на французском языке). 6 :1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN   0373-0956 . МР   0082175 .
• Тейлор, Джозеф Л. (2002). Несколько комплексных переменных, связанных с алгебраической геометрией и группами Ли . Американское математическое соц. ISBN  9780821831786 .

Внешние ссылки

• Киран Кедлайя. 18.726 Алгебраическая геометрия ( LEC № 30–33 GAGA ), весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .