Формула ЭЛСВ

В математике формула ELSV , названная в честь четырех ее авторов Торстена Экедала [ sv ] , Сергея Ландо [ ru ] , Михаэля Шапиро , Алека Вайнштейна , представляет собой равенство между числом Гурвица (с учётом разветвленных покрытий сферы) и интегралом по пространство модулей устойчивых кривых .

Из формулы ELSV можно вывести несколько фундаментальных результатов в теории пересечения пространств модулей кривых, включая гипотезу Виттена , ограничения Вирасоро и $\lambda _{g}$ -предположение .

Она обобщается формулой Гопакумара–Мариньо–Вафы .

Формула

Определить число Гурвица

h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}

как число разветвленных накрытий комплексной проективной прямой ( сферы Римана , $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))$ которые представляют собой связные кривые рода g с n пронумерованными прообразами бесконечной точки, имеющими кратности $k_{1},\dots ,k_{n}$ и более простые точки ветвления . При этом если накрытие имеет нетривиальную группу автоморфизмов G, то ее следует учитывать с весом $1/|G|$ .

Тогда формула ELSV будет выглядеть так:

h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.

Здесь обозначения следующие:

$g\geq 0$ является неотрицательным целым числом;
$n\geq 1$ является положительным целым числом;
$k_{1},\dots ,k_{n}$ являются целыми положительными числами;
$\#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})$ - количество автоморфизмов n -кортежа $(k_{1},\ldots ,k_{n});$
$m=\sum k_{i}+n+2g-2;$
${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ – пространство модулей устойчивых кривых рода g с n отмеченными точками;
E — векторное расслоение Ходжа , а c(E*) — полный класс Чженя его двойственного векторного расслоения;
ψ _i — первый класс Чженя кокасательного расслоения к i -й отмеченной точке.

Числа

h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}

в левой части имеют комбинаторное определение и удовлетворяют свойствам, которые можно доказать комбинаторно. Каждое из этих свойств переводится в утверждение об интегралах в правой части формулы ELSV ( Казарян 2009 ).

Числа Гурвица

h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}

также имеют определение в чисто алгебраических терминах. При K = k ₁ + ... + k _n и m = K + n + 2 g − 2, пусть τ ₁ , ..., τ _m — транспозиции в симметричной группе S _K , а σ — перестановка с n пронумерованными циклами. длин k ₁ , ..., k _n . Затем

(\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )

является транзитивной факторизацией тождества типа ( k ₁ , ..., k _n ), если произведение

\tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma

равно тождественной перестановке и группе, созданной

\tau _{1},\dots ,\tau _{m}

является транзитивным .

Определение. $h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ — это число транзитивных факторизаций единицы типа ( k ₁ , ..., k _n ), деленное на K !.

Пример А. Число $h_{g;k}$ составляет 1/ к ! раз количество списков транспозиций $(\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})$ продуктом которого является k -цикл. Другими словами, $h_{g;k}$ в 1/ k раз больше числа факторизаций данного k -цикла в произведение k + 2 g − 1 транспозиций.

Эквивалентность двух определений чисел Гурвица (с учетом разветвленных накрытий сферы или с учетом транзитивных факторизаций) устанавливается путем описания разветвленного накрытия посредством его монодромии . Точнее: выбрать базовую точку на сфере, пронумеровать ее прообразы от 1 до К (это вводит множитель К !, объясняющий деление на нее), и рассмотреть монодромии накрытия относительно точки ветвления. Это приводит к транзитивной факторизации.

Интеграл по пространству модулей

Пространство модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ представляет собой гладкий стек Делиня–Мамфорда (комплексной) размерности 3 g − 3 + n . (Эвристически это ведет себя во многом как комплексное многообразие, за исключением того, что интегралы характеристических классов, которые являются целыми числами для многообразий, являются рациональными числами для стеков Делиня – Мамфорда.)

Расслоение Ходжа E — это векторное расслоение ранга g над пространством модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ слой которого над кривой ( C , x ₁ , ..., x _n ) с n отмеченными точками является пространством абелевых дифференциалов на C . Его классы Чженя обозначаются через

\lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).

У нас есть

c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.

ψ-классы. Внедрение групп строк ${\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}$ над ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ . Волокно ${\mathcal {L}}_{i}$ над кривой ( C , x ₁ , ..., x _n ) является коткасательной к C в xi _точке . Первый класс Черна ${\mathcal {L}}_{i}$ обозначается

\psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).

Интегральная функция. Фракция $1/(1-k_{i}\psi _{i})$ интерпретируется как $1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots$ , где сумму можно разрезать на степени 3 g − 3 + n (размерность пространства модулей). Таким образом, подынтегральная функция является произведением n + 1 множителей. Разложим это произведение, выделим из него часть степени 3 g − 3 + n и проинтегрируем по пространству модулей.

Интеграл как полином. Отсюда следует, что интеграл

\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}

— симметричный полином от переменных k ₁ , ..., k _n , мономы которого имеют степени между 3 g − 3 + n и 2 g − 3 + n . Коэффициент при мономе $k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}$ равно

\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},

где

j=3g-3+n-\sum d_{i}.

Замечание. Полиномиальность чисел

{\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}

Впервые было высказано предположение И. П. Гулденом и Д. М. Джексоном. Никаких доказательств, независимых от формулы ELSV, неизвестно.

Пример Б. Пусть g = n = 1. Тогда

\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].

Пример

Пусть n = g = 1. Для упрощения обозначений обозначим k ₁ через k . Имеем m = K + n + 2 g − 2 = k + 1.

Согласно примеру Б, формула ELSV в этом случае имеет вид

h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.

С другой стороны, согласно примеру А, число Гурвица h _{1, k} равно 1/ k раз количеству способов разложить k -цикл в симметрической группе S _k в произведение k + 1 транспозиций. В частности, h _{1, 1} нет транспозиций = 0 (поскольку в S ₁ ), а h _{1, 2} = 1/2 (поскольку существует единственная факторизация транспозиции (1 2) в S ₂ в произведение три транспозиции).

Подставив эти два значения в формулу ELSV, мы находим

\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.

Из чего мы делаем вывод

h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.

История

Формула ELSV была анонсирована Ekedahl et al. (1999) , но с ошибочным знаком. Fantechi & Pandharipande (2002) доказали это для k ₁ = ... = k _n = 1 (с исправленным знаком). Грабер и Вакиль (2003) доказали формулу в полной общности, используя методы локализации. Затем последовало доказательство, объявленное четырьмя первоначальными авторами ( Ekedahl et al. 2001 ). построило пространство устойчивых отображений проективной прямой относительно точки Теперь, когда Ли (2001) , доказательство можно получить немедленно, применив виртуальную локализацию к этому пространству.

Казарян (2009) , опираясь на предыдущие работы нескольких человек, предложил единый способ вывода наиболее известных результатов теории пересечения ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ по формуле ЭЛСВ.

Идея доказательства

Позволять ${\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ — пространство устойчивых отображений f кривой рода g в P ¹( C ) такой, что f имеет ровно n полюсов порядков $k_{1},\dots ,k_{n}$ .

Морфизм ветвления br или отображение Ляшко–Лойенги сопоставляется $f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ неупорядоченное множество его m точек ветвления в C с учетом кратностей. На самом деле это определение работает только в том случае, если f — гладкое отображение. Но оно имеет естественное расширение на пространство устойчивых отображений. Например, значение f в узле считается двойной точкой ветвления, в чем можно убедиться, посмотрев на семейство кривых C _t, заданное уравнением xy = t, и семейство отображений f _t ( x , y ) = х + у . При t → 0 две точки ветвления f _t стремятся к значению f ₀ в узле C ₀ .

Морфизм ветвления имеет конечную степень, но имеет бесконечные слои. Наша цель теперь состоит в том, чтобы вычислить его степень двумя разными способами.

Первый способ — подсчитать прообразы общей точки изображения. Другими словами, мы считаем разветвленные накрытия P ¹( C ) с точкой ветвления типа ( k ₁ , ..., k _n ) в ∞ и m более фиксированными простыми точками ветвления. Это и есть число Гурвица $h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ .

Второй способ найти степень br — посмотреть на прообраз самой вырожденной точки, а именно соединить все точек ветвления вместе в точке 0 в C. m

Прообраз этой точки в ${\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ — бесконечный слой br , изоморфный пространству модулей ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ . Действительно, если дана устойчивая кривая с n отмеченными точками, мы переводим эту кривую в 0 в P ¹( C ) и прикрепим к его отмеченным точкам n рациональных компонент, на которых устойчивое отображение имеет вид $z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}$ . Таким образом, мы получаем все устойчивые отображения в ${\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}$ неразветвлен вне 0 и ∞. Стандартные методы алгебраической геометрии позволяют найти степень отображения, рассматривая бесконечный слой и его нормальное расслоение. Результат выражается в виде интеграла некоторых характеристических классов по бесконечному слою. В нашем случае этот интеграл оказывается равным правой части формулы ELSV.

Таким образом, формула ELSV выражает равенство между двумя способами вычисления степени морфизма ветвления.

Ссылки

Экедаль, Т.; Ландо, С.; Шапиро, М.; Вайнштейн, А. (1999). «О числах Гурвица и интегралах Ходжа». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 328 (12): 1175–1180. arXiv : математика/9902104 . Бибкод : 1999CRASM.328.1175E . дои : 10.1016/S0764-4442(99)80435-2 . S2CID 15218497 .
Экедаль, Т.; Ландо, С.; Шапиро, М.; Вайнштейн, А. (2001). «Числа Гурвица и пересечения в пространствах модулей кривых». Математические изобретения . 146 (2): 297–327. arXiv : math/0004096 . Бибкод : 2001InMat.146..297E . дои : 10.1007/s002220100164 . S2CID 10881259 .
Фантечи, Б.; Пандхарипанде, Р. (2002). «Стабильные отображения и делители ветвей». Математическая композиция . 130 (3): 345–364. arXiv : математика/9905104 . Бибкод : 1999math......5104F . дои : 10.1023/А:1014347115536 . S2CID 1124032 .
Грабер, Т.; Вакиль Р. (2003). «Интегралы Ходжа и числа Гурвица посредством виртуальной локализации». Математическая композиция . 135 (1): 25–36. arXiv : math/0003028 . Бибкод : 2000math......3028G . дои : 10.1023/A:1021791611677 . S2CID 15706096 .
Казарян, Максим (2009). «Иерархия КП для интегралов Ходжа» . Достижения в математике . 221 (1): 1–21. arXiv : 0809.3263 . дои : 10.1016/j.aim.2008.10.017 .
Ли, июнь (2001). «Стабильные морфизмы сингулярных схем и относительно стабильные морфизмы» . Журнал дифференциальной геометрии . 57 (3): 509–578. arXiv : math/0009097 . дои : 10.4310/jdg/1090348132 .