Гипотеза Виттена

В алгебраической геометрии гипотеза Виттена — это гипотеза о числах пересечений стабильных классов в пространстве модулей кривых , введенная Эдвардом Виттеном в статье Виттена ( 1991 ) и обобщенная в Виттене (1993) . Оригинальная гипотеза Виттена была доказана Максимом Концевичем в статье Концевича (1992) .

Мотивацией гипотезы Виттена было то, что две разные модели двумерной квантовой гравитации должны иметь одну и ту же статистическую сумму. Статистическая сумма для одной из этих моделей может быть описана через числа пересечений на стеке модулей алгебраических кривых , а статистическая сумма для другой — это логарифм τ-функции иерархии КдФ . Идентификация этих статистических сумм дает гипотезу Виттена о том, что определенная производящая функция, сформированная из чисел пересечений, должна удовлетворять дифференциальным уравнениям иерархии КдФ.

Заявление [ править ]

Предположим, что M _{g , n} — стек модулей компактных римановых поверхностей рода g с n различными отмеченными точками x ₁ ,..., x _n , — M _{g , n} ее компактификация Делиня–Мамфорда. Имеется n линейных расслоений L _i на M _{g , n} в точке стека модулей задается кокасательным пространством римановой поверхности в отмеченной точке xi _{, слой которого} . Индекс пересечения 〈τ _{d ₁} , ..., τ _{d _n} 〉 — это индекс пересечения Π c ₁ ( L _i ) ^d_Из на Mg _{, , и 0 , n,} где Σ d _i = dim M _{g , n} = 3 g – 3 + n если такого g не существует, где c ₁ — первый класс Чженя линейного расслоения. Производящая функция Виттена

F(t_{0},t_{1},\ldots )=\sum \langle \tau _{0}^{k_{0}}\tau _{1}^{k_{1}}\cdots \rangle \prod _{i\geq 0}{\frac {t_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}={\frac {t_{0}^{3}}{6}}+{\frac {t_{1}}{24}}+{\frac {t_{0}t_{2}}{24}}+{\frac {t_{1}^{2}}{24}}+{\frac {t_{0}^{2}t_{3}}{48}}+\cdots

кодирует все индексы пересечений как свои коэффициенты.

Гипотеза Виттена утверждает, что статистическая сумма Z = exp F является τ-функцией для иерархии КдФ , другими словами, она удовлетворяет определенной серии уравнений в частных производных, соответствующих базису $\{L_{-1},L_{0},L_{1},\ldots \}$ алгебры Вирасоро .

Доказательство [ править ]

Концевич использовал комбинаторное описание пространств модулей в терминах ленточных графов, чтобы показать, что

\sum _{d_{1}+\cdots +d_{n}=3g-3+n}\langle \tau _{d_{1}},\ldots ,\tau _{d_{n}}\rangle \prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{\lambda _{i}^{2d_{i}+1}}}=\sum _{\Gamma \in G_{g,n}}{\frac {2^{-|X_{0}|}}{|{\text{Aut}}\Gamma |}}\prod _{e\in X_{1}}{\frac {2}{\lambda (e)}}

Здесь сумма справа относится к множеству G _{g , n} ленточных графов X компактных римановых поверхностей рода g с n отмеченными точками. Множество ребер e и точек X обозначаются X ₀ и X ₁ . Функция λ рассматривается как функция от отмеченных точек к действительным числам и распространяется на ребра ленточного графа, устанавливая λ ребра равным сумме λ в двух отмеченных точках, соответствующих каждой стороне ребра.

Согласно методам диаграмм Фейнмана это означает, что F ( t ₀ ,...) является асимптотическим разложением

\log \int \exp(i{\text{tr}}X^{3}/6)d\mu

поскольку Λ стремится к бесконечности, где Λ и Χ являются положительно определенными N с помощью N эрмитовых матриц, а t _i определяется выражением

t_{i}={\frac {-{\text{tr }}\Lambda ^{-1-2i}}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2i-1)}}

а вероятностная мера µ на положительно определенных эрмитовых матрицах определяется выражением

d\mu =c_{\Lambda }\exp(-{\text{tr}}X^{2}\Lambda /2)dX

где c _Λ — нормировочная константа. Эта мера обладает тем свойством, что

\int X_{ij}X_{kl}d\mu =\delta _{il}\delta _{jk}{\frac {2}{\Lambda _{i}+\Lambda _{j}}}

откуда следует, что его разложение в терминах диаграмм Фейнмана является выражением для F в терминах ленточных графов.

Отсюда он пришел к выводу, что exp F является τ-функцией иерархии КдФ, доказав тем самым гипотезу Виттена.

Обобщения [ править ]

Гипотеза Виттена представляет собой частный случай более общей связи между интегрируемыми системами гамильтоновых УЧП и геометрией некоторых семейств двумерных топологических теорий поля (аксиоматизированных в виде так называемых когомологических теорий поля Концевичем и Маниным), которая была исследовали и систематически изучали Б. Дубровин и Ю. Чжан, А. Гивенталь, К. Телеман и другие.

Гипотеза Вирасоро является обобщением гипотезы Виттена.

Ссылки [ править ]

Корнальба, Маурицио; Арбарелло, Энрико; Гриффитс, Филлип А. (2011), Геометрия алгебраических кривых. Том II , Фундаментальные принципы математических наук, том. 268, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-540-69392-5 , ISBN. 978-3-540-42688-2 , МР 2807457
Казарян, МЭ; Ландо, Сергей К. (2007), «Алгебро-геометрическое доказательство гипотезы Виттена», Журнал Американского математического общества , 20 (4): 1079–1089, arXiv : math/0601760 , Bibcode : 2007JAMS...20.1079K , doi : 10.1090/S0894-0347-07-00566-8 , ISSN 0894-0347 , MR 2328716
Концевич, Максим (1992), «Теория пересечений в пространстве модулей кривых и матричная функция Эйри» , Сообщения по математической физике , 147 (1): 1–23, Бибкод : 1992CMaPh.147....1K , doi : 10.1007/BF02099526 , ISSN 0010-3616 , MR 1171758
Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения (PDF) , Энциклопедия математических наук, том. 141, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1 , МР 2036721
Виттен, Эдвард (1991), «Двумерная гравитация и теория пересечений в пространстве модулей», Обзоры по дифференциальной геометрии (Кембридж, Массачусетс, 1990) , том. 1, Вифлеем, Пенсильвания: Университет Лихай, стр. 243–310, ISBN. 978-0-8218-0168-0 , МР 1144529
Виттен, Эдвард (1993), «Алгебраическая геометрия, связанная с матричными моделями двумерной гравитации», Голдберг, Лиза Р.; Филлипс, Энтони В. (ред.), Топологические методы в современной математике (Стоуни-Брук, штат Нью-Йорк, 1991) , Материалы симпозиума в честь шестидесятилетия Джона Милнора, состоявшегося в Государственном университете Нью-Йорка, Стоуни-Брук, Нью-Йорк, 14–21 июня 1991 г., Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, стр. 235–269, ISBN. 978-0-914098-26-3 , МР 1215968