Теорема Торелли

В математике теорема Торелли , названная в честь Руджеро Торелли , является классическим результатом алгебраической геометрии над полем комплексных чисел , утверждающим, что неособая проективная алгебраическая кривая ( компактная риманова поверхность ) C определяется своим якобианом многообразием J ( C ) , когда последнее задано в виде принципиально поляризованного абелева многообразия . Другими словами, комплексного тора J ( C некоторыми «разметками» достаточно, чтобы восстановить C. ) с То же утверждение справедливо и для любого алгебраически замкнутого поля . Из более точных сведений о построенном изоморфизме кривых следует, что если канонически принципиально поляризованные якобианы кривых рода $\geq 2$ -изоморфны k для k любого совершенного поля , так же как и кривые.

Этот результат имел множество важных расширений. Его можно переформулировать так, что некоторый естественный морфизм , отображение периодов , из пространства модулей кривых фиксированного рода в пространство модулей абелевых многообразий , является инъективным (в геометрических точках ). Обобщения идут в двух направлениях. Во-первых, к геометрическим вопросам об этом морфизме, например к локальной теореме Торелли . Во-вторых, к другим отображениям периодов. Глубоко исследован случай поверхностей K3 ( Виктор С. Куликов , Илья Пятецкий-Шапиро , Игорь Шафаревич и Федор Богомолов ). и гиперкэлеровы многообразия ( Миша Вербицкий , Эяль Маркман и Дэниел Хайбрехтс ).

Ссылки

• Руджеро Торелли (1913). «О сортах Якоби». Отчеты Королевской национальной академии Линчеи . 22 (5): 98–103.
• Андре Вейль (1957). «О доказательстве теоремы Торелла». Новости академической науки Геттинген, Матем.-Физ. кл . IIа : 32–53.
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф , ред. (1986), Арифметическая геометрия , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-96311-0 , МР   0861969