Род (математика)

В математике род ) ( мн.: род имеет несколько разных, но тесно связанных значений. Интуитивно, род — это количество «дырок» на поверхности . ^[1] Сфера — имеет род 0, а тор род 1.

Топология [ править ]

Регулируемые поверхности [ править ]

Род не связной ориентируемой поверхности — это целое число , представляющее максимальное количество разрезов по непересекающимся замкнутым простым кривым, делая результирующее многообразие несвязным. ^[2]Оно равно количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить через эйлерову характеристику χ через соотношение χ = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род. Для поверхностей с b граничными компонентами уравнение имеет вид χ = 2 - 2 g - b . С точки зрения непрофессионала, это количество «дырок», которые имеет объект («дырки» интерпретируются в смысле дырок от бублика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей отверстий). есть У тора 1 такое отверстие, а у сферы — 0. На зеленой поверхности, изображенной выше, есть 2 отверстия соответствующего типа.

Например:

Сфера С ² и диск имеют нулевой род.
есть У тора род один, как и у поверхности кофейной кружки с ручкой. Отсюда и пошла шутка: «Топологи — это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».

Явное построение поверхностей рода g приведено в статье о фундаментальном многоугольнике .

Род ориентируемых поверхностей
Планарный граф : род 0
Тороидальный граф : род 1
Чайник : Двойной тороидальный график: род 2
Граф кренделя: род 3

Проще говоря, значение рода ориентируемой поверхности равно количеству имеющихся на ней «дырок». ^[3]

Неориентируемые поверхности [ править ]

Неориентируемый , род , полурод или род Эйлера связной, неориентируемой замкнутой поверхности — это положительное целое число, представляющее количество перекрестных шапочек прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 − k , где k — неориентируемый род.

Например:

Вещественная проективная плоскость имеет неориентируемый род 1.
Бутылка Клейна имеет неориентируемый род 2.

Узел [ править ]

Род поверхностей узла K . определяется как минимальный род Зейферта для K всех ^[4]Поверхность Зейферта узла, однако, представляет собой многообразие с краем , причем краем является узел, т. е. гомеоморфен единичному кругу. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, который получается склейкой единичного диска вдоль границы.

Корпус ручки [ править ]

Род представляет собой целое число , трехмерного тела ручки представляющее максимальное количество разрезов вдоль встроенных дисков без отсоединения результирующего многообразия. Оно равно количеству ручек на нем.

Например:

Шар имеет род 0.
Полнотелый тор D ² × С ¹ имеет род 1.

Теория графов [ править ]

Род маркерами графа n — это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с ( т. е. на ориентированной поверхности рода n ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, поскольку его можно нарисовать на сфере без самопересечений.

Неориентируемый род графа n — это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с перекрестными шапочками (т. е. неориентируемая поверхность (неориентируемого) рода n ). (Это число еще называют полуродом .)

— Род Эйлера это минимальное целое число n , такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n вершинами или на сфере с n/2 ручками. ^[5]

В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт представил следующую концепцию. Род группы G — это минимальный род (связного, неориентированного) графа Кэли для G .

является Проблема рода графов NP -полной . ^[6]

Алгебраическая геометрия [ править ]

Есть два родственных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . ^[7]Когда X — алгебраическая кривая с полем определения комплексных чисел и если X не имеет особых точек , то эти определения согласуются и совпадают с топологическим определением, применяемым к поверхности X римановой (его многообразию комплексных точек). Например, определение эллиптической кривой из алгебраической геометрии связывает неособую проективную кривую рода 1 с заданной рациональной точкой на ней .

По теореме Римана–Роха неприводимая плоская кривая степени $d$ заданный исчезающим местом сечения $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))$ имеет геометрический род

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

где $s$ — число особенностей при правильном подсчете.

Дифференциальная геометрия [ править ]

В дифференциальной геометрии — род ориентированного многообразия. $M$ можно определить как комплексное число $\Phi (M)$ при соблюдении условий

$\Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})$
$\Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})$
$\Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})$ если $M_{1}$ и $M_{2}$ являются кобордантными .

Другими словами, $\Phi$ является кольцевым гомоморфизмом $R\to \mathbb {C}$ , где $R$ — кольцо ориентированных кобордизмов Тома. ^[8]

Род $\Phi$ мультипликативна для всех расслоений на спинорных многообразиях со связной компактной структурой, если $\log _{\Phi }$ представляет собой эллиптический интеграл , такой как $\log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt$ для некоторых $\delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .$ Этот род называется эллиптическим родом.

Эйлерова характеристика $\chi (M)$ не является родом в этом смысле, поскольку он не инвариантен относительно кобордизмов.

Биология [ править ]

Род также можно рассчитать для графа, охватывающего сеть химических взаимодействий нуклеиновых кислот или белков. В частности, можно изучить рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул. ^[9]

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Попеску-Пампу 2016 , с. xiii, Введение.
^ Попеску-Пампу 2016 , с. xiv, Введение.
^ Вайсштейн, Э.В. «Род» . Математический мир . Проверено 4 июня 2021 г.
^ Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1
^ Графы на поверхностях .
^ Томассен, Карстен (1989). «Задача о роде графов NP-полна». Журнал алгоритмов . 10 (4): 568–576. дои : 10.1016/0196-6774(89)90006-0 . ISSN 0196-6774 . Збл 0689.68071 .
^ Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение №1 Р.Л.Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Отпечаток 2-го, корр. отпечатка 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0 . Збл 0843.14009 .
^ Чарльз Резк - Эллиптические когомологии и эллиптические кривые (лекции Феликса Кляйна, Бонн, 2015. Факультет математики, Университет Иллинойса, Урбана, Иллинойс)
^ Сулковский, Петр; Сулковска, Иоанна И.; Домбровский-Туманский, Павел; Андерсен, Эббе Ленивец; Гири, Коди; Зайоц, Себастьян (3 декабря 2018 г.). «Родовой след раскрывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул» . Научные отчеты . 8 (1): 17537. Бибкод : 2018NatSR...817537Z . дои : 10.1038/s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . ПМК 6277428 . ПМИД 30510290 .

Ссылки [ править ]

Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое Род? . Спрингер Верлаг . ISBN 978-3-319-42312-8 .

Эта статья включает список связанных элементов, имеющих одно и то же имя (или похожие имена).
Если внутренняя ссылка привела вас сюда по ошибке, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала непосредственно на нужную статью.

[FOOTNOTEPopescu-Pampu2016xiiiIntroduction-1] Попеску-Пампу 2016 , с. xiii, Введение.

[FOOTNOTEPopescu-Pampu2016xivIntroduction-2] Попеску-Пампу 2016 , с. xiv, Введение.

[3] Вайсштейн, Э.В. «Род» . Математический мир . Проверено 4 июня 2021 г.

[4] Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1

[5] Графы на поверхностях .

[6] Томассен, Карстен (1989). «Задача о роде графов NP-полна». Журнал алгоритмов . 10 (4): 568–576. дои : 10.1016/0196-6774(89)90006-0 . ISSN 0196-6774 . Збл 0689.68071 .

[7] Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение №1 Р.Л.Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Отпечаток 2-го, корр. отпечатка 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0 . Збл 0843.14009 .

[8] Чарльз Резк - Эллиптические когомологии и эллиптические кривые (лекции Феликса Кляйна, Бонн, 2015. Факультет математики, Университет Иллинойса, Урбана, Иллинойс)

[9] Сулковский, Петр; Сулковска, Иоанна И.; Домбровский-Туманский, Павел; Андерсен, Эббе Ленивец; Гири, Коди; Зайоц, Себастьян (3 декабря 2018 г.). «Родовой след раскрывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул» . Научные отчеты . 8 (1): 17537. Бибкод : 2018NatSR...817537Z . дои : 10.1038/s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . ПМК 6277428 . ПМИД 30510290 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]