Фундаментальный многоугольник

В математике можно фундаментальный многоугольник определить для каждой компактной римановой поверхности рода больше 0. Он кодирует не только топологию поверхности через ее фундаментальную группу , но также определяет риманову поверхность с точностью до конформной эквивалентности. По теореме об униформизации каждая компактная риманова поверхность имеет односвязную универсальную накрывающую поверхность, заданную ровно одним из следующих:

• сфера Римана ,
• плоскость сложная ,
• единичный диск D верхняя полуплоскость H. или, что то же самое ,

В первом случае нулевого рода поверхность конформно эквивалентна сфере Римана.

Во втором случае рода один поверхность конформно эквивалентна тору C /Λ для некоторой решетки Λ в C . Фундаментальный многоугольник Λ, если предположить, что он выпуклый, может быть либо параллелограммом периода, либо центрально-симметричным шестиугольником - результат, впервые доказанный Федоровым в 1891 году.

В последнем случае рода g > 1 риманова поверхность конформно эквивалентна H /Γ, где Γ — фуксова группа преобразований Мёбиуса . Фундаментальная область для Γ задается выпуклым многоугольником для гиперболической метрики на H . Они могут быть определены многоугольниками Дирихле и иметь четное количество сторон. По такому многоугольнику можно прочитать структуру фундаментальной группы Γ. Используя теорию квазиконформных отображений и уравнение Бельтрами , можно показать, что существует канонический выпуклый фундаментальный многоугольник с 4 g сторонами, впервые определенный Фрике , который соответствует стандартному представлению Γ как группы с 2 g образующими a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , ..., a _g , b _g и единственное соотношение [ a ₁ , b ₁ ][ a ₂ , b ₂ ] ⋅⋅⋅ [ a _g , b _g ] = 1, где [ а , б ] знак равно а б а ⁻¹ б ⁻¹ .

Любая риманова метрика на ориентированном замкнутом 2-многообразии M определяет комплексную структуру на M , что делает M компактной римановой поверхностью. Из использования фундаментальных многоугольников следует, что два ориентированных замкнутых 2-многообразия классифицируются по их роду, то есть половине ранга абелевой группы Γ/[Γ, Γ], где Γ = π ₁ ( M ). Более того, из теории квазиконформных отображений следует также, что две компактные римановы поверхности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они гомеоморфны. Следовательно, два замкнутых ориентированных 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны. Такой результат можно доказать и методами дифференциальной топологии .

первого

Параллелограммы и центрально

В случае рода один фундаментальный выпуклый многоугольник ищется для действия переносом Λ = Z a ⊕ Z b на R ² = C где a и b линейно независимы над R. , (После выполнения реального линейного преобразования на R ² , при необходимости можно считать, что Λ = Z ² знак равно Z + Z я ; для римановой поверхности рода один ее можно принять в виде Λ = Z ² = Z + Z ω, причем Im ω > 0.) Фундаментальная область задается параллелограммом s x + t y для 0 < s , t < 1 , где x и y — образующие Λ.

Если C — внутренняя часть фундаментального выпуклого многоугольника, то сдвиги C + x покрывают R ² поскольку x пробегает Λ. Отсюда следует, что граничные точки C образуются пересечениями C ∩ ( C + x ). Это выпуклые компакты в ∂ C и, следовательно, либо вершины C , либо стороны C . Отсюда следует, что каждую замкнутую сторону C можно записать таким образом. Если перевести на − x , то C ∩ ( C − x ) также является стороной C . Таким образом, стороны C встречаются в параллельных парах одинаковой длины. Конечные точки двух таких параллельных отрезков одинаковой длины можно соединить так, что они пересекаются и пересечение происходит в середине отрезков, соединяющих конечные точки. Отсюда следует, что пересечения всех таких отрезков происходят в одной и той же точке. Переведя эту точку в начало координат, следует, что многоугольник центрально симметричен; то есть, если точка z находится в многоугольнике, то и − z тоже .

Легко увидеть, как центрально-симметричный выпуклый шестиугольник замощает плоскость. Если A — точка шестиугольника, то решетка порождается векторами смещения AB и AC где B и C — две вершины, которые не являются соседями A и не противолежат A. , Действительно, на второй картинке показано, насколько шестиугольник эквивалентен параллелограмму, полученному смещением двух отрубленных треугольников отрезками AB и AC . Столь же хорошо на первой картинке показан другой способ сопоставления мозаики параллелограммами с шестиугольной мозаикой. Если центр шестиугольника равен 0, а вершины по порядку — a , b , c , − a , — b и — c , то Λ — абелева группа с образующими a + b и b + c .

фундаментальных многоугольников, созданных с

Существует ровно четыре топологии, которые можно создать, определив стороны ромба разными способами. Они приведены ниже в виде направленных ребер A и B на квадрате в виде последовательностей AABB или ABAB.

Имя	Сфера	Тор	Проекционная плоскость	бутылка Клейна
Регулируемый	Да		Нет
Полная кривизна	4р	0	2 р	0
Топология АБАБ (квадрат)		$ABA^{-1}B^{-1}$	$ABAB$	$ABAB^{-1}$ (или $ABA^{-1}B$)
Топология ААББ (квадрат)	$ABB^{-1}A^{-1}$		$ABB^{-1}A$ (или $ABBA^{-1}$)	$ABBA$
Геометрия	Сфера	Тор	полушарие	Полутор

Теорема Федорова

Теорема Федорова , установленная русским кристаллографом Евграфом Федоровым в 1891 году, утверждает, что параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники — единственные выпуклые многоугольники, которые являются фундаментальными областями. Есть несколько доказательств этого, некоторые из самых последних связаны с результатами в теории выпуклости , геометрии чисел и упаковке кругов , такими как неравенство Брунна-Минковского . два элементарных доказательства, принадлежащих Х.С.М. Кокстеру и Вороному . Здесь будут представлены

Доказательство Коксетера продолжается в предположении, что существует центрально-симметричный выпуклый многоугольник C с 2 m сторонами. Тогда большой замкнутый параллелограмм образовался из N ² Фундаментальный параллелограмм состоит из сдвигов буквы C , выходящих за края большого параллелограмма. Это индуцирует замощение на торе C / N Λ. Пусть v , e и f — количество вершин, ребер и граней в этом разбиении (с учетом отождествлений в факторпространстве). Тогда, поскольку характеристика Эйлера–Пуанкаре тора равна нулю,

$v-e+f=0.$

С другой стороны, поскольку каждая вершина находится как минимум на трех разных ребрах и каждое ребро находится между двумя вершинами,

$3v\leq 2e.$

Более того, поскольку каждое ребро принадлежит ровно двум граням,

$2e=2mf.$

Следовательно

$mf=e\leq 3(e-v)=3f.$

так что

$m\leq 3,$

по мере необходимости.

Доказательство Вороного начинается с наблюдения, что каждое ребро C соответствует элементу x из Λ. Фактически ребро — это ортогональная биссектриса радиуса от 0 до x . Следовательно, основание перпендикуляра, проведенного из точки 0 к каждому ребру, лежит внутри каждого ребра. Если y — любая точка решетки, то 1/2 y не может лежать в C ; в этом случае –1/2 y также будет лежать в C , что противоречит тому, что C является фундаментальной областью для Λ. Пусть ± x ₁ , ..., ± x _m — 2 m различных точек Λ, соответствующих сторонам C . Зафиксируем образующие a и b группы Λ. Таким образом, x _i = α _i a + β _i b , где α _i и β _i — целые числа. Невозможно, чтобы оба α _i и β _i были четными, поскольку в противном случае ± 1/2 x _i была бы точкой Λ на стороне, что противоречит тому, что C является фундаментальной областью. Таким образом, существует три возможности для пары целых чисел (α _i , β _i ) по модулю 2: (0,1), (1,0) и (1,1). Следовательно, если m > 3, будут x _i и x _j с i ≠ j , причем обе координаты x _i − x _j четны, т.е. 1/2 ( x _i + x _j ) лежит в Λ. Но это середина отрезка, соединяющего две внутренние точки ребер, и, следовательно, лежит в C — внутренняя часть многоугольника. Это снова противоречит тому факту, что C является фундаментальной областью. Итак, доведение до абсурда m ≤ 3, как утверждается.

Домены Дирихле – Вороного

Для решетки Λ в C = R ² фундаментальная область может быть определена канонически с использованием конформной структуры C . Обратите внимание, что группа конформных преобразований C задается комплексными аффинными преобразованиями g ( z ) = az + b с a ≠ 0 . Эти преобразования сохраняют евклидову метрику d ( z , w ) = | г - ш | с точностью до множителя, а также сохраняя ориентацию . Это подгруппа группы Мёбиуса, фиксирующая точку ∞. Метрическую структуру можно использовать для определения канонической фундаментальной области по формуле C = { z : d ( z , 0) < d ( z , λ ) для всех λ ≠ 0 в Λ}. (Из определения очевидно, что это фундаментальная область.) Это пример области Дирихле или диаграммы Вороного : поскольку комплексные сдвиги образуют абелеву группу, поэтому коммутируют с действием Λ, эти понятия совпадают. Каноническая фундаментальная область для Λ = Z + Z ω с Im ω > 0 представляет собой либо симметричный выпуклый параллелограмм, либо шестиугольник с центром 0. По конформной эквивалентности период ω может быть дополнительно ограничен для удовлетворения | Ре ω | ≤ 1/2 и | ω | ≥ 1 . Как показал Дирихле («Теорема Дирихле о шестиугольнике», 1850), почти для всех ω фундаментальная область представляет собой шестиугольник. При Re ω > 0 середины сторон определяются как ±1/2, ± ω /2 и ±( ω – 1)/2 ; стороны делят пополам соответствующие радиусы от 0 ортогонально, что полностью определяет вершины. Фактически первая вершина должна иметь вид (1 + ix )/2 и ω (1 + iy )/2 с действительными x и y ; поэтому, если ω = a + ib , то a – by = 1 и x = b + ay . Следовательно, y = ( a – 1)/ b и x = ( a ² + б ² – а )/ б . Таким образом, шесть вершин — это ± ω (1 – iy )/2 и ±(1 ± ix )/2 .

высшего

Обзор

Каждая компактная риманова поверхность X имеет универсальную накрывающую поверхность которая является односвязной римановой поверхностью X. , Фундаментальная группа X может быть отождествлена ​​с подгруппой Γ как преобразования колоды и X группы биголоморфизмов X действует . Таким образом, группа Γ действует свободно на X с компактным фактор-пространством X /Γ, которое можно отождествить с X . Таким образом, классификацию компактных римановых поверхностей можно свести к изучению возможных групп Γ. По теореме об униформизации X представляет собой либо сферу Римана, комплексную плоскость, либо единичный диск/верхнюю полуплоскость. Первым важным инвариантом компактной римановой поверхности является ее род , топологический инвариант, заданный половиной ранга абелевой группы Γ/[Γ, Γ] (которая может быть отождествлена ​​с группой гомологий H ₁ ( X , Z ) ). Род равен нулю, если накрывающим пространством является сфера Римана; один, если это комплексная плоскость; и больше единицы, если это единичный диск или верхняя полуплоскость.

Бигомоломорфизмы сферы Римана представляют собой просто комплексные преобразования Мёбиуса, и каждое нетождественное преобразование имеет хотя бы одну неподвижную точку, поскольку соответствующая комплексная матрица всегда имеет хотя бы один ненулевой собственный вектор. Таким образом, если X — сфера Римана, то X должно быть односвязным и биголоморфным сфере Римана — римановой поверхности нулевого рода . Когда X — комплексная плоскость, группа биголоморфизмов — это аффинная группа, комплексные преобразования Мёбиуса фиксируют ∞, поэтому преобразования g ( z ) = az + b с a ≠ 0 . Нетождественные преобразования без неподвижных точек — это преобразования с a = 1 и b ≠ 0 , то есть ненулевые сдвиги. Таким образом, группу Γ можно отождествить с решеткой Λ в C и X с фактором C /Λ, как описано в разделе о фундаментальных многоугольниках первого рода. В третьем случае, когда X — единичный круг или верхняя полуплоскость, группа биголоморфизмов состоит из комплексных преобразований Мёбиуса, фиксирующих единичную окружность или вещественную ось. В первом случае преобразования соответствуют элементам группы SU(1, 1)/{± I }; в последнем случае они соответствуют вещественным преобразованиям Мёбиуса, то есть элементам SL(2, R )/{± I }.

Изучение и классификация возможных групп Γ, свободно действующих на единичном круге или верхней полуплоскости с компактным фактором, — фуксовых групп первого рода — может быть осуществлена ​​путем изучения их фундаментальных многоугольников, как описано ниже. Как заметил Пуанкаре , каждый такой многоугольник обладает особыми свойствами, а именно: он выпуклый и имеет естественное спаривание между сторонами. Они не только позволяют восстановить группу, но и обеспечивают явное представление группы с помощью генераторов и отношений. И наоборот, Пуанкаре доказал, что любой такой многоугольник порождает компактную риманову поверхность; Фактически, теорема Пуанкаре о многоугольниках применялась к более общим многоугольникам, где многоугольнику разрешалось иметь идеальные вершины, но его доказательство было полным только в компактном случае, без таких вершин. Без предположений о выпуклости многоугольника полные доказательства были даны Маскитом и де Рамом , основанные на идее Сигела , и их можно найти в Beardon (1983) , Iversen (1992) и Stillwell (1992) . Каратеодори дал элементарную трактовку существования мозаик треугольниками Шварца , т.е. мозаик геодезическими треугольниками с углами π / a , π / b , π / c с суммой меньше π , где a , b , c — целые числа. Когда все углы равны π /2 g , это устанавливает замощение правильными 4g- сторонними гиперболическими многоугольниками и, следовательно, существование конкретной компактной римановой поверхности рода g как фактор-пространства. Этот специальный пример, имеющий циклическую группу Z _{2 g} бигомоломорфных симметрий, используется в дальнейшем развитии.

Классификация с точностью до гомеоморфизма и диффеоморфизма компактных римановых поверхностей влечет за собой классификацию замкнутых ориентируемых 2-многообразий с точностью до гомеоморфизма и диффеоморфизма: любые два 2-многообразия одного и того же рода диффеоморфны. Фактически, используя разбиение единицы, каждое замкнутое ориентируемое 2-многообразие допускает риманову метрику . Для компактной римановой поверхности можно ввести также конформную метрику, которая является конформной, так что в голоморфных координатах метрика принимает вид ρ ( z ) | дз | ² . После выбора этой метрики локально биголоморфные отображения представляют собой в точности сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы, которые являются конформными, т. е. масштабируют метрику с помощью гладкой функции. Существование изотермических координат , которое можно доказать с помощью либо локальных теорем существования для лапласиана , либо уравнения Бельтрами , показывает, что каждому замкнутому ориентированному риманову 2-многообразию может быть придана комплексная структура, совместимая с его метрикой, и, следовательно, оно имеет структуру компактная риманова поверхность. Эта конструкция показывает, что классификацию замкнутых ориентируемых 2-многообразий с точностью до диффеоморфизма или гомеоморфизма можно свести к случаю компактных римановых поверхностей.

Классификацию компактных римановых поверхностей с точностью до гомеоморфизма и диффеоморфизма можно осуществить с помощью фундаментального многоугольника. Действительно, как заметил Пуанкаре, выпуклые фундаментальные многоугольники для компактных римановых поверхностей H /Γ могут быть построены путем адаптации метода Дирихле из евклидова пространства к гиперболическому пространству. Затем, следуя Неванлинне и Йосту, фундаментальную область можно поэтапно изменить, чтобы получить невыпуклый многоугольник с вершинами, лежащими на одной орбите Γ, и кусочно-геодезическими сторонами. На каждом из этих шагов также модифицируется соотношение пар на сторонах. Каждый шаг включает разрезание многоугольника диагональным геодезическим сегментом внутри многоугольника и повторную сборку многоугольника с использованием одного из преобразований Мёбиуса, участвующих в спаривании. Никакие две парные стороны не могут иметь общую вершину в конечном парном отношении, которое удовлетворяет свойствам, аналогичным свойствам исходного отношения. Этот многоугольник, в свою очередь, можно последовательно модифицировать, собирая его заново после разрезания его диагональным кусочно-геодезическим сегментом внутри него. Последний многоугольник имеет 4 g эквивалентных вершин со сторонами, кусочно геодезическими. Стороны помечены элементами группы, которые дают преобразование Мёбиуса парной стороне. Чтобы маркировка была

$a_{1},b_{1},a_{1}^{-1},b_{1}^{-1},\dots ,a_{g},b_{g},a_{g}^{-1},b_{g}^{-1},$

так что Γ порождается a _i и b _i, подчиняющимися единственному соотношению

$a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\cdots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1.$

• 
  Род нулевая поверхность (сфера)
• 
  Род первая поверхность (тор)
• 
  Род второй поверхность
• 
  Род третий поверхность

Используя теорию чисел пересечений , следует, что форма, полученная путем соединения вершин геодезическими, также является правильным многоугольником, не обязательно выпуклым, а также является фундаментальной областью с теми же элементами группы, дающими спаривание. В результате получается фундаментальный многоугольник с краями, заданными геодезическими сегментами, и со стандартной маркировкой. Абелианизация Γ, факторгруппа Γ/[Γ, Γ] , является свободной абелевой группой с 2 ​​g образующими. Таким образом, род g является топологическим инвариантом. Легко видеть, что две римановы поверхности одного и того же рода гомеоморфны, поскольку являются топологическим пространством, поскольку они получаются отождествлением сторон 4 g -стороннего многоугольника — евклидова многоугольника в модели Клейна — посредством диффеоморфизмов между парными сторонами. Применение этой конструкции к правильному 4 - стороннему многоугольнику позволяет топологически рассматривать риманову поверхность как пончик с g- дырками - стандартное описание ориентированных поверхностей во вводных текстах по топологии.

Есть еще несколько результатов:

• Две гомеоморфные римановы поверхности диффеоморфны.
• Любой выпуклый фундаментальный многоугольник рода g имеет N вершин, где 4 g ≤ N ≤ 12 g – 6.
• Многоугольник Дирихле рода g имеет ровно 12 g – 6 вершин для плотного открытого множества центров.
• Каждая риманова поверхность рода g имеет фундаментальный многоугольник Фрике, т. е. выпуклый многоугольник с каноническим спариванием сторон. (Многоугольник не обязательно должен быть многоугольником Дирихле.)
• После подходящей нормализации и маркировки генераторов фундаментальной группы многоугольник Фрике определяется однозначно, и 6 g – 6 действительных параметров, описывающих его, могут использоваться в качестве глобальных вещественных аналитических параметров для пространства Тейхмюллера в роде g .

Эти результаты связаны с взаимосвязью гомеоморфизмов и фундаментальной группы: это отражает тот факт, что группа классов отображений римановой поверхности — группа квазиконформных самомоморфизмов римановой поверхности H /Γ по модулю гомотопных тождеству — можно отождествить с внешней группой автоморфизмов группы Γ ( теорема Дена–Нильсена–Бэра ). Чтобы увидеть эту связь, заметим, что если f — квазиконформный гомеоморфизм X ₁ = H /Γ ₁ на X ₂ = H / ₂ , то f поднимается до квазиконформного гомеоморфизма f группы H на себя. Этот подъем уникален с точностью до прекомпозиции с элементами Γ ₁ и посткомпозиции с элементами Γ ₂ . Если π _i — проекция H на X _i , то f ∘ π ₁ = π ₂ ∘ f и Γ _i — это просто группа гомеоморфизмов g группы H таких, что π _i ∘ g = π _i . Отсюда следует, что f g = θ ( g ) f для g в Γ ₁ , где θ — групповой изоморфизм Γ ₁ на Γ ₂ . Другой выбор f меняет θ путем композиции с внутренним автоморфизмом: такие изоморфизмы называются эквивалентными .

Два изоморфизма θ и θ ′ эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие гомеоморфизмы f и f ′ гомотопны. Фактически достаточно показать, что квазиконформный самогомеоморфизм f поверхности индуцирует внутренний автоморфизм фундаментальной группы тогда и только тогда, когда он гомотопен тождественному отображению: другими словами, гомоморфизм квазиконформной группы самогомеоморфизмов H /Γ в Out Γ переходит в группу классов отображений, на которой он инъективен. Действительно, предположим сначала, что F ( t ) — непрерывный путь самогомеоморфизмов с F (0) = id и F (1) = f . Тогда существует непрерывный лифт F ( t ) с F (0) = id. Более того, для каждого g в Γ F ( t ) ∘ g ∘ F ( t ) ⁻¹ — непрерывно меняющийся элемент Γ, равный g при t = 0 ; поэтому дискретность Γ заставляет этот элемент быть постоянным и, следовательно, равным g, так что F ( t ) коммутирует с Γ, поэтому F (1) индуцирует тривиальный автоморфизм. Если, с другой стороны, F — квазиконформный лифт f, индуцирующий внутренний автоморфизм Γ, то после композиции с элементом Γ, если необходимо, можно предположить, что F коммутирует с Γ. Поскольку F квазиконформен, он продолжается до квазисимметричного гомеоморфизма окружности, который также коммутирует с Γ. Каждый g ≠ id в Γ является гиперболическим, поэтому имеет две неподвижные точки на окружности a _± такие, что для всех остальных точек z , g ^{± n} ( z ) стремится к a _±, поскольку n стремится к бесконечности. Следовательно, F должен зафиксировать эти точки; поскольку эти точки плотны в круге при изменении g , отсюда следует, что F фиксирует единичный круг. Пусть µ = F _z / F _z , так что µ является Γ-инвариантным дифференциалом Бельтрами. Пусть F ( t ) — решение уравнения Бельтрами tμ, нормализованное для фиксации трех точек на единичной окружности. Тогда F ( t ) коммутирует с Γ и, следовательно, как и F = F (1) , является единицей на единичной окружности. По построению F ( t ) является изотопией единицы F. и Это доказывает инъективность.

Доказательство сюръективности основано на сравнении гиперболической метрики на D с метрикой длины слова на Γ. Если предположить, не ограничивая общности, что 0 лежит внутри выпуклого фундаментального многоугольника C , а g является элементом Γ, луч от 0 до g (0) — гиперболическая геодезическая — проходит через последовательность сдвигов C . Каждый из них получается из предыдущего применением генератора Γ или фиксированного произведения генераторов (если в вершине встречаются последовательные сдвиги). Отсюда следует, что гиперболическое расстояние между 0 и g (0) меньше, чем 4 g , умноженное на длину слова g плюс двойной диаметр основного многоугольника. Таким образом, метрика на Γ d ₁ ( g , h ) = L ( h ⁻¹ g ), определяемый длиной слова L ( g ), удовлетворяет

$d(g(0),h(0))\leq a\,d_{1}(g,h)+b$

для положительных констант a и b . Обратно, существуют положительные константы c и d такие, что

$d_{1}(g,h)\leq c\,d(g(0),h(0))+d.$

Многоугольники Дирихле

Учитывая точку $z_{0}$ в верхней полуплоскости H и дискретной подгруппе Γ группы PSL(2, R ) , действующей свободно разрывно в верхней полуплоскости, то можно определить многоугольник Дирихле как множество точек

$F=\{z\in \mathbf {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma ,g\neq 1\}$

Здесь d — гиперболическая метрика в верхней полуплоскости. Метрический фундаментальный многоугольник чаще называют многоугольником Дирихле .

• Этот фундаментальный многоугольник является фундаментальной областью .
• Этот фундаментальный многоугольник является выпуклым в том смысле, что геодезическая , соединяющая любые две точки многоугольника, полностью содержится внутри многоугольника.
• Диаметр меньше или F / Γ равен диаметру H . В частности, замыкание F компактно.
• Если Γ не имеет неподвижных точек в H и H /Γ компактно, то F будет иметь конечное число сторон.
• Каждая сторона многоугольника представляет собой геодезическую дугу.
• Для каждой стороны s многоугольника существует ровно еще одна сторона s ′ такая, что gs = s ′ для некоторого g из Γ. Таким образом, этот многоугольник будет иметь четное количество сторон.
• Множество элементов группы g , соединяющих стороны друг с другом, является образующими группы Γ (заметим, однако, что это множество образующих не обязательно минимально).
• Верхняя полуплоскость замощена замыканием F под действием Γ. То есть, $H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}$ где ${\overline {F}}$ это закрытие F .

Нормализованный многоугольник

В этом разделе, начиная с произвольного многоугольника Дирихле, будет дано описание метода Неванлинны (1953) , разработанного Йостом (2002) , для модификации многоугольника в невыпуклый многоугольник с 4 г эквивалентными вершинами и каноническим сопряжение по бокам. Эта трактовка является аналитическим аналогом классической топологической классификации ориентируемых двумерных многогранников, представленной Зейфертом и Трелфоллом (1934) .

Канонический многоугольник Фрике

Учитывая риманову поверхность рода g больше единицы, Фрике описал другой фундаментальный многоугольник, канонический многоугольник Фрике , который является особым примером многоугольника Дирихле. Многоугольник связан со стандартным представлением фундаментальной группы поверхности. Первоначальная конструкция Фрике сложна и описана у Фрике и Кляйна (1897) . Используя теорию квазиконформных отображений Альфорса дал новую, более короткую и и Берса , Кин (1965) точную версию конструкции Фрике. Канонический многоугольник Фрике обладает следующими свойствами:

• Вершины многоугольника Фрике имеют 4 g вершин, все из которых лежат на орбите Γ. Под вершиной понимается точка встречи двух сторон.
• Стороны соединяются в разные пары, так что существует уникальный элемент Γ, переносящий сторону в парную сторону, меняя ориентацию. Поскольку действие Γ сохраняет ориентацию, если одну сторону назвать $A$, то другой из пары можно пометить с противоположной ориентацией $A^{-1}$.
• Ребра стандартного многоугольника можно расположить так, чтобы список смежных сторон принял вид $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{g}B_{g}A_{g}^{-1}B_{g}^{-1}$. То есть пары сторон можно расположить так, чтобы они чередовались таким образом.
• Стороны представляют собой геодезические дуги.
• Каждый из внутренних углов многоугольника Фрике строго меньше π , так что многоугольник строго выпуклый, а сумма этих внутренних углов равна 2 π .

Приведенной выше конструкции достаточно, чтобы гарантировать, что каждая сторона многоугольника является замкнутой (нетривиальной) петлей на римановой поверхности H /Γ. Таким образом, каждая сторона может быть элементом фундаментальной группы. $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )\equiv \Gamma$. В частности, фундаментальная группа $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ имеет 2 g -генератора $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{g},B_{g}$, ровно с одним определяющим ограничением,

$A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{g}B_{g}A_{g}^{-1}B_{g}^{-1}=1$.

Род римановой поверхности H /Γ равен g .

Площадь

Площадь стандартного фундаментального многоугольника равна $4\pi (g-1)$ где g — род римановой поверхности (эквивалентно, где 4 g — число сторон многоугольника). Поскольку стандартный многоугольник является представителем H /Γ, общая площадь римановой поверхности равна площади стандартного многоугольника. Формула площади следует из теоремы Гаусса–Бонне и в определенном смысле обобщается через формулу Римана–Гурвица .

Явная форма для стандартных многоугольников

Явные выражения могут быть даны для правильного стандартного 4- угольного многоугольника с вращательной симметрией. В этом случае род $g$ Риманова поверхность с g -кратной вращательной симметрией, группа может быть задана формулой $2g$ генераторы $a_{k}$. Эти генераторы задаются следующими дробными линейными преобразованиями, действующими в верхней полуплоскости :

$a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)$

для $0\leq k<2g$. Параметры задаются

$\alpha ={\frac {\pi }{4g}}\left(2g-1\right)$

и

$\beta ={\frac {\pi }{4g}}$

и

$p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}$

Можно проверить, что эти генераторы подчиняются ограничению

$a_{0}a_{1}\cdots a_{2g-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2g-1}^{-1}=1$

что дает целостность групповой презентации .

См. также

• Граф Кэли
• Евклидова область
• Диаграмма Вороного

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (2006), Лекции по квазиконформным отображениям , Серия университетских лекций, том. 38 (второе изд.), Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3644-6
• Аппелл, П.; Гурса, Э.; Фату, П. (1930), Теория алгебраических функций переменной, Том II, Автоморфные функции , Готье-Вилар, стр. 102–154
• Бамба, РП; Давенпорт, Х. (1952), «Покрытие n-мерного пространства сферами», J. London Math. Соц. , 27 (2): 224–229, doi : 10.1112/jlms/s1-27.2.224
• Бердон, Алан Ф. (1983), Геометрия дискретных групп , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90788-8
• Бердон, Алан Ф. (1984), Учебник по римановым поверхностям , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 78, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-27104-2
• Бонк, Мариус; Шрамм, Одед (2000), "Вложения гиперболических пространств Громова", Геом. Функц. Анальный. , 10 (2): 266–306, CiteSeerX   10.1.1.47.7874 , doi : 10.1007/s000390050009
• Бёрёчки, Карой младший (2004), Конечная упаковка и покрытие , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 154, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-80157-7
• Бурдон, Марк; Пажо, Эрве (2002), «Квазиконформная геометрия и гиперболическая геометрия», у Марка Бургера; Алессандра Иоцци (ред.), Жесткость в динамике и геометрии , Springer, стр. 1–17, ISBN  978-3-540-43243-2
• Бузер, Питер (1992), Геометрия и спектры компактных римановых поверхностей , Progress in Mathematics, vol. 106, Биркхойзер, номер номера : 10.1007/978-0-8176-4992-0 , ISBN.  978-0-8176-3406-3
• Кассельс, JWS (1997), «IX. Упаковки», Введение в геометрию чисел , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-61788-4
• Коксетер, HS M (1962), «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм», J. Math. Приложение Pures. , 41 : 137–156
• Коксетер, HSM ; Мозер, WOJ (1980), Генераторы и соотношения для дискретных групп , вып. 14 (Четвертое издание. Результаты математики и ее пограничных областей под ред.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-09212-4
• Эгглстон, Х.Г. (1958), Выпуклость , Кембриджские трактаты по математике и математической физике, том. Издательство Кембриджского университета
• Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн (2012), Учебник по отображению групп классов , Princeton Mathematical Series, vol. 49, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-14794-9
• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980), Riemann Surfaces , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90465-8
• Фенхель, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003), Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости , Исследования де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-017526-4
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1897), Лекции по теории автоморфных функций, Том 1: Основы теории групп , Тойбнер, стр. 236–237, 295–320
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987), Плитки и узоры , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-1193-3
• Гуггенхаймер, Х. (1977), «Теорема о кривой Жордана и неопубликованная рукопись Макса Дена» (PDF) , Архив истории точных наук , 17 (2): 193–200, CiteSeerX   10.1.1.374.1893 , doi : 10.1007/БФ02464980 , ДЖСТОР   41133486 , МР   0532231
• Хирш, Моррис В. (1994), Дифференциальная топология , Тексты для аспирантов по математике, том. 33, Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-90148-0
• Имаёси, Ю.; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Тейхмюллера , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-70088-5
• Иверсен, Биргер (1992), Гиперболическая геометрия , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 25, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-43508-6
• Йост, Юрген (2002), Компактные римановы поверхности (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-43299-9
• Капович, Илья; Бенакли, Надя (2002), «Границы гиперболических групп», Комбинаторная и геометрическая теория групп , Contemp. Матем., вып. 296, Американское математическое общество , стр. 39–93.
• Кин, Линда (1965), «Канонические многоугольники для конечно порожденных фуксовых групп», Acta Math. , 115 : 1–16, doi : 10.1007/bf02392200
• Кин, Линда (1966), «Внутренние модули на римановых поверхностях», Ann. математики. , 84 (3): 404–420, номер документа : 10.2307/1970454 , JSTOR   1970454.
• Колмогоров А.Н.; Юкшкевич А.П., ред. (2001), Математика XIX века: математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей , Springer, ISBN  978-3-7643-6441-0
• Лехто, Олли (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера , Тексты для аспирантов по математике, том. 109, Спрингер Верлаг, ISBN  978-0-387-96310-5
• Люстерник, Луизиана (1966), Выпуклые фигуры и многогранники , перевод Дональда Л. Барнетта, Бостон: DC Heath and Co.
• Неванлинна, Рольф (1953), Униформизация , Основные положения математических наук в отдельных изложениях с особым рассмотрением областей применения (на немецком языке), vol. 64, Шпрингер Верлаг
• Зайферт, Герберт; Трелфолл, Уильям (1934), Учебник топологии , Чистая и прикладная математика, том. 89, перевод Майкла А. Голдмана, Academic Press, ISBN  978-0-12-634850-7
• Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии , CRC Press, ISBN  978-1-4398-3160-1
• Сигел, CL (1971), Темы теории комплексных функций, Vol. II. Автоморфные функции и абелевы интегралы в переводе А. Шеницера; М. Треткофф, Wiley-Interscience
• Стиллвелл, Джон (1992), Геометрия поверхностей , Universitext, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97743-0
• Цзун, Чуаньмин (2014), «Упаковка, покрытие и мозаика в двумерных пространствах», Expositiones Mathematicae , 32 (4): 297–364, doi : 10.1016/j.exmath.2013.12.002