Изотермические координаты

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , изотермические координаты на римановом многообразии — это локальные координаты, которых конформна метрика евклидовой метрике . Это означает, что в изотермических координатах риманова метрика локально имеет вид

$g=\varphi (dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}),$

где $\varphi$ — положительная гладкая функция . (Если риманово многообразие ориентировано, некоторые авторы настаивают на том, что система координат должна соответствовать этой ориентации, чтобы быть изотермической.)

Изотермические координаты на поверхностях были впервые введены Гауссом . Корн и Лихтенштейн доказали, что изотермические координаты существуют вокруг любой точки двумерного риманова многообразия.

Напротив, большинство многообразий более высокой размерности нигде не допускают изотермических координат; то есть они обычно не являются локально конформно плоскими . В размерности 3 риманова метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Коттона равен нулю. В размерностях > 3 метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Вейля обращается в нуль.

Изотермические координаты на поверхностях

В 1822 году Карл Фридрих Гаусс доказал существование изотермических координат на произвольной поверхности с вещественно-аналитической римановой метрикой, следуя более ранним результатам Жозеф Лагранж в частном случае поверхностей вращения . В конструкции, использованной Гауссом, использовалась теорема Коши-Ковалевского , так что его метод фундаментально ограничен реальным аналитическим контекстом. в теории двумерных уравнений в частных производных Следуя нововведениям Артура Корна , Леон Лихтенштейн в 1916 году обнаружил общее существование изотермических координат для римановых метрик более низкой регулярности, включая гладкие метрики и даже непрерывные по Гельдеру метрики.

Учитывая риманову метрику на двумерном многообразии, функция перехода между изотермическими координатными картами, которая представляет собой отображение между открытыми подмножествами R ² , обязательно сохраняет угол. Свойство сохранения угла вместе с сохранением ориентации является одной из характеристик (среди многих) голоморфных функций , и поэтому ориентированный координатный атлас, состоящий из изотермических координатных карт, можно рассматривать как голоморфный координатный атлас. Это показывает, что риманова метрика и ориентация на двумерном многообразии в совокупности индуцируют структуру римановой поверхности (т. е. одномерного комплексного многообразия ). Более того, для ориентированной поверхности две римановы метрики индуцируют один и тот же голоморфный атлас тогда и только тогда, когда они конформны друг другу. По этой причине изучение римановых поверхностей идентично изучению конформных классов римановых метрик на ориентированных поверхностях.

К 1950-м годам изложения идей Корна и Лихтенштейна были переведены на язык комплексных производных и уравнения Бельтрами Липманом Берсом и Шиинг-шеном Черном , среди других. В этом контексте естественно исследовать существование обобщенных решений, которые удовлетворяют соответствующим уравнениям в частных производных, но больше не могут быть интерпретированы как координатные карты обычным способом. Это было инициировано Чарльзом Морри в его плодотворной статье 1938 года по теории эллиптических уравнений в частных производных в двумерных областях, что позже привело к измеримой теореме Римана об отображении Ларса Альфорса и Берса.

Уравнение Бельтрами

Существование изотермических координат можно доказать путем применения известных теорем существования уравнения Бельтрами , которые опираются на L ^п оценки операторов Кальдерона . и Зигмунда сингулярных интегральных Более простой подход к уравнению Бельтрами был недавно предложен Адрианом Дуади .

Если риманова метрика локально задана как

$ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},$

тогда в комплексной координате $z=x+iy$, оно принимает вид

$ds^{2}=\lambda |\,dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},$

где $\lambda$ и $\mu$ гладкие с $\lambda >0$ и $\left\vert \mu \right\vert <1$. Фактически

$\lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}),\,\,\,{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}.$

В изотермических координатах $(u,v)$ метрика должна принять вид

$ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})$

с ρ гладким. Комплексная координата $w=u+iv$ удовлетворяет

$e^{\rho }\,|dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}|\,dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},$

так что координаты ( u , v ) будут изотермическими, если уравнение Бельтрами

${\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}$

имеет диффеоморфное решение. Доказано, что такое решение существует в любой окрестности, где $\lVert \mu \rVert _{\infty }<1$.

эллиптических уравнений в

Существование изотермических координат на гладком двумерном римановом многообразии является следствием стандартного результата о локальной разрешимости при анализе эллиптических уравнений в частных производных . В данном контексте соответствующее эллиптическое уравнение является условием гармоничности функции относительно римановой метрики. Тогда локальная разрешимость утверждает, что любая точка p имеет окрестность U , в которой существует гармоническая функция u с никуда не исчезающей производной.

Изотермические координаты строятся по такой функции следующим образом. Гармоничность u тождественна замкнутости дифференциальной 1-формы $\star du,$ определяется с помощью оператора звезды Ходжа $\star$ связанный с римановой метрикой. следует Таким образом, из леммы Пуанкаре существование функции v на U такой, что $dv=\star du.$ По определению звезды Ходжа, $du$ и $dv$ ортогональны друг другу и, следовательно, линейно независимы, и тогда из теоремы об обратной функции следует , что u и v образуют систему координат в некоторой окрестности p . Эта система координат автоматически является изотермической, поскольку ортогональность $du$ и $dv$ подразумевает диагональность метрики, а свойство звезды Ходжа сохранять норму подразумевает равенство двух диагональных компонент.

Гауссова кривизна

В изотермических координатах $(u,v)$, гауссова кривизна принимает более простой вид

$K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right).$

См. также

• Конформная карта
• Уравнение Лиувилля
• Квазиконформная карта

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1952), «Конформность по отношению к римановой метрике», Ann. акад. наук. Фенн. Сер. АИ , 206 : 1–22
• Альфорс, Ларс В. (2006). Лекции по квазиконформным отображениям . Серия университетских лекций. Том. 38. С дополнительными главами С. Дж. Эрла , И. Кра , М. Шишикуры и Дж. Х. Хаббарда (второе издание оригинальной редакции 1966 г.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/улект/038 . ISBN  0-8218-3644-7 . МР   2241787 .
• Берс, Липман (1958). Римановы поверхности . Заметки, сделанные Родлицом, Эстер и Поллаком, Ричардом . Курантовский институт математических наук при Нью-Йоркском университете . стр. 15–35.
• Берс, Липман ; Джон, Фриц ; Шехтер, Мартин (1979). Уравнения в частных производных . Лекции по прикладной математике. Том. 3А. Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0049-3 .
• Черн, Шиинг-шэнь (1955). «Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности» . Труды Американского математического общества . 6 (5): 771–782. дои : 10.2307/2032933 . JSTOR   2032933 .
• ДеТурк, Деннис М .; Каздан, Джерри Л. (1981). «Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии» . Научные анналы Высшей нормальной школы . Серия 4. 14 (3): 249–260. дои : 10.24033/asens.1405 . ISSN   0012-9593 . МР   0644518 . .
• ду Карму, Манфредо П. (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (пересмотренное и обновленное второе издание оригинального издания 1976 г.). Минеола, штат Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-80699-0 . МР   3837152 . Збл   1352.53002 .
• Дуади, Адриан ; Буфф, X. (2000), Теорема интеграции прескальных комплексов. [Теорема об интегрируемости для почти сложных структур] , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 274, Издательство Кембриджского университета, стр. 307–324.

• Гаусс, К.Ф. (1825 г.). «Общее решение задачи об отображении частей данной поверхности на другую заданную поверхность таким образом, чтобы изображение стало подобным мельчайшим частям изображения» [Общее решение задачи об отображении частей данной поверхности на другую заданную поверхность другую заданную поверхность таким образом, чтобы отображение напоминало то, что изображено в мельчайших частях]. В Шумахере, Х.К. (ред.). Астрономические трактаты, третий выпуск . Альтона: Хаммерих и Хайнекинг. стр. 1–30. Перепечатано в:
  • Гаусс, Карл Фридрих (2011) [1873]. Верке: Том 4 . Коллекция Кембриджской библиотеки (на немецком языке). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9781139058254.005 . ISBN  978-1-108-03226-1 .
  Переведено на английский язык:
  • Гаусс (1929). «О конформном представлении» . В Смите, Дэвид Юджин (ред.). Справочник по математике . Справочники по истории наук. Перевод Эванса, Герберта П. Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., стр. 463–475. ЖФМ   55.0583.01 .

• Имаёси, Ю.; Танигучи, М. (1992). Знакомство с пространствами Тейхмюллера . Токио: Springer Verlag . дои : 10.1007/978-4-431-68174-8 . ISBN  0-387-70088-9 . МР   1215481 . Збл   0754.30001 .
• Корн, А. (1914). «Два применения метода последовательных приближений». В Каратеодори, К .; Хессенберг, Г .; Ландау, Э .; Лихтенштейн, Л. (ред.). Математические трактаты Германа Амандуса Шварца . Берлин, Гейдельберг: Springer . стр. 215–229. дои : 10.1007/978-3-642-50735-9_16 . ISBN  978-3-642-50426-6 .
• Лагранж, Ж. (1779). «О построении географических карт» . Новые мемуары Королевской академии наук и беллетристики Берлина : 161–210. Перепечатано в:
  • Серрет, Ж.-А , изд. (1867). Сочинения Лагранжа: том 4 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар.
• Лихтенштейн, Леон (1916). «К теории конформных отображений. Конформное отображение неаналитических, свободных от особенностей областей на плоские области» . Международный бюллетень Академии наук Краковии: Класс математических и естественных наук. Серия A: Математические науки : 192–217. ЯФМ   46.0547.01 .
• Морри, Чарльз Б. (1938). «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных» . Труды Американского математического общества . 43 (1): 126–166. дои : 10.2307/1989904 . JSTOR   1989904 .
• Спивак, Михаил (1999). Полное введение в дифференциальную геометрию. Том четвертый (Третье издание оригинальной редакции 1975 г.). Опубликуй или погибни, Inc. ISBN  0-914098-73-Х . МР   0532833 . Збл   1213.53001 .
• Тейлор, Майкл Э. (2000). Инструменты для PDE. Псевдодифференциальные операторы, парадифференциальные операторы и потенциалы слоев . Математические обзоры и монографии . Том. 81. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/surv/081 . ISBN  0-8218-2633-6 . МР   1766415 . Збл   0963.35211 .
• Тейлор, Майкл Э. (2011). Уравнения в частных производных I. Основная теория . Прикладные математические науки. Том. 115 (Второе издание оригинальной редакции 1996 г.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-7055-8 . ISBN  978-1-4419-7054-1 . МР   2744150 . Збл   1206.35002 .

Внешние ссылки

• «Изотермические координаты» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]