Голоморфная функция

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки области в комплексном координатном пространстве $C. н$ . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: из него следует, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитична ). Голоморфные функции — центральные объекты изучения комплексного анализа .

Хотя термин «аналитическая функция » часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которую можно записать в виде сходящегося степенного ряда . в окрестности каждой точки своей области . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа . ^[1]

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . ^[2] Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфный в точке $z0 но$ не просто дифференцируемый в точке $, z0$ и дифференцируемый всюду в пределах некоторой окрестности точки $z0 » означает$ на комплексной плоскости.

Определение

Учитывая комплексную функцию $f$ одной комплексной переменной, производная f $0$ в точке $z в$ ее области определения определяется как предел ^[3]

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.

Это то же определение, что и для производной вещественной функции , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется при $комплексного числа z$ стремлении $, к z0$ а это означает, что одно и то же значение получается для любой последовательности комплексных значений $z$ стремящейся к $z0,$ . Если предел существует, $то f$ называется комплексно дифференцируемым в точке $z 0$ . Эта концепция комплексной дифференцируемости имеет несколько общих свойств с реальной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения , правилу фактора и правилу цепочки . ^[4]

Функция голоморфна на открытом множестве $U$ , если она комплексно дифференцируема в каждой точке $U$ . Функция $f$ голоморфна , точке $z0 если$ она голоморфна в некоторой окрестности точки $z0 .$ в ^[5] Функция голоморфна на некотором неоткрытом множестве $A$ если она голоморфна в каждой точке $A.$ ,

Функция может быть комплексно дифференцируемой в некоторой точке, но не голоморфной в этой точке. Например, функция $f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}$ комплексно дифференцируема в точке $0$ , но не комплексно дифференцируема в другом месте (см. уравнения Коши – Римана ниже). Итак, он не голоморфен в точке $0$ .

Связь между вещественной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ голоморфна, то $u$ и $v$ имеют первые частные производные относительно $x$ и $y$ и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана : ^[6]

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

или, что то же самое, производная Виртингера от $f$ по ${\bar {z}},$ комплексное сопряжение $z,$ равен нулю: ^[7]

{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,

то есть, грубо говоря, $f$ функционально не зависит от ${\bar {z}},$ комплексно-сопряженное значение $z$ .

Если непрерывность не задана, обратное не обязательно верно. Простое обратное состоит в том, что если $u$ и $v$ имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то $f$ голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана-Меншоффа : если $f$ непрерывна, $u$ и $v$ имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны) и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, $f$ то голоморфный. ^[8]

Терминология

Термин «голоморфный» был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жан-Клодом Буке , двумя учениками Огюстена-Луи Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), означающего «целое», и μορφή ( morphḗ ), означающего «форма» или «форма». «внешний вид» или «тип», в отличие от термина мероморфный, происходящего от μέρος ( méros ), означающего «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, тогда как мероморфная функция (определяемая как голоморфная, за исключением определенных изолированных полюсов ) напоминает рациональную дробь («часть») целых функций в области. сложной плоскости. ^[9] Вместо этого Коши использовал термин синектика . ^[10]

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитают термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, что не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Характеристики

Поскольку комплексное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, фактора и цепочки, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а фактор двух голоморфных функций голоморфен везде, где знаменатель не равен нулю. ^[11] То есть, если функции $f$ и $g$ голоморфны в области $U$ , то голоморфны и $f + g$ , $f - g$ , $f g$ и $f \circ g$ . Более того, $f / g$ голоморфна, если $g$ не имеет нулей в $U$ , или мероморфна в противном случае.

Если отождествить $C$ с реальной плоскостью $R 2$ , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши–Римана , совокупность двух уравнений в частных производных . ^[6]

Каждую голоморфную функцию можно разделить на действительную и мнимую части $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , и каждая из них является гармонической функцией на $R 2$ (каждый из них удовлетворяет уравнению Лапласа $\nabla 2 ты = \nabla 2 v = 0$ ), где $v$ гармоническое сопряжение u $—$ . ^[12] И наоборот, каждая гармоническая функция $u (x, y)$ в односвязной области $Ω \subset R 2$ является вещественной частью голоморфной функции: если $v$ является гармонически сопряженной функцией $u$ , уникальной с точностью до константы, то $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ голоморфна.

Интегральная теорема Коши подразумевает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: ^[13]

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.

Здесь $γ$ — спрямляемый путь в односвязной комплексной области $U \subset C$ , начальная точка которого равна его конечной точке, а $f : U \to C$ — голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая голоморфная внутри диска функция полностью определяется своими значениями на границе диска. ^[13] Более того: предположим, что $U \subset C$ — комплексная область, $f : U \to C$ — голоморфная функция и замкнутый диск $D = {z : | z - z 0 | \leq r}$ содержится полностью в $U$ . Пусть $γ$ — круг, границу D $образующий$ . для $a$ внутри Тогда D $:$ каждого

f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производную $f' (a)$ можно записать как контурный интеграл ^[13] используя формулу дифференцирования Коши :

f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,

для любого простого цикла, положительно обвивающегося один раз вокруг $a$ , и

f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},

для бесконечно малых положительных петель $γ$ вокруг $a$ .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур. ^[14]

Любая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция $f$ имеет производные любого порядка в каждой точке $a$ в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в точке $a$ в окрестности $a$ . Фактически, $f$ совпадает со своим рядом Тейлора в точке $a$ в любом круге с центром в этой точке и лежащем в пределах области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, множество голоморфных функций в открытом множестве $U$ является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество $U$ связно. ^[7] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , полунормы которого являются супремумами на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения функция $f$ голоморфна в точке $z 0$ тогда и только тогда, когда ее внешняя производная $df$ в окрестности $U$ точки $z 0$ равна $f' (z) dz$ для некоторой непрерывной функции $f'$ . Это следует из

\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz

что $df'$ также пропорциональна $dz$ , а это означает, что производная $f'$ сама голоморфна и, следовательно, $f$ бесконечно дифференцируема. Аналогично, $d (f dz) = f' dz \land dz = 0$ означает, что любая функция $f$ , голоморфная в односвязной области $U$ также интегрируема на $U.$ ,

(Для пути $γ$ от $z0,$ до $z$ полностью лежащего в $U$ , определим ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ в свете жордановой кривой и обобщенной теоремы Стокса , $Fγ F (z)$ не зависит от конкретного выбора пути $γ$ , и, таким образом, $(z) является$ четко определенной функцией на $U,$ имеющей $F (z0 теоремы о) = F 0$ и $dF = f dz$ .)

Примеры

Все полиномиальные функции от $z$ с комплексными коэффициентами являются целыми функциями (голоморфными во всей комплексной плоскости $C$ ), как и экспоненциальная функция $exp z$ и тригонометрические функции ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ и ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (ср. формулу Эйлера ). Главная ветвь комплексного логарифма z $log}$ голоморфна в области $C ∖ {z \in R : z \leq 0$ . Функцию квадратного корня можно определить как ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ и поэтому голоморфен везде, где есть логарифм $log z$ . 1 Обратная функция $/ z$ голоморфна на $C ∖ {0}$ . (Обратная функция, как и любая другая рациональная функция , мероморфна на $C.$ )

Как следствие уравнений Коши-Римана , любая голоморфная функция с действительным знаком должна быть постоянной . Следовательно, абсолютное значение $| г |$ , аргумент $arg(z)$ , действительная часть $Re(z)$ и мнимая часть $Im(z)$ не голоморфны. Другим типичным примером непрерывной функции, не являющейся голоморфной, является комплексно-сопряженная функция. ${\bar {z}}.$ (Комплексное сопряжение антиголоморфно .)

Несколько переменных

Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Функция $f:(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ в $n$ комплексных переменных является аналитическим в точке $p,$ если существует окрестность точки $p$ , в которой $f$ равно сходящемуся степенному ряду от $n$ комплексных переменных; ^[15] функция $f$ голоморфна в открытом подмножестве $U$ C $в н$ если оно аналитично в каждой точке $U$ . Лемма Осгуда показывает (с использованием многомерной интегральной формулы Коши), что для непрерывной функции $f$ это эквивалентно тому, $что f$ голоморфна по каждой переменной отдельно (это означает, что если любые $n - 1$ координат фиксированы, то ограничение $f$ является голоморфным функция оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что предположение о непрерывности не является необходимым: $f$ голоморфен тогда и только тогда, когда он голоморфен по каждой переменной в отдельности.

В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких комплексных переменных в некоторых основных отношениях более сложны, чем функции одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно представляет собой открытый шар; эти области представляют собой логарифмически-выпуклые области Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых существуют голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .

Комплексная дифференциальная $(p, 0)$ -форма $α$ голоморфна тогда и только тогда, когда ее антиголоморфная производная Дольбо равна нулю: $\partial α = 0$ .

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции можно распространить на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

См. также

Ссылки

^ Аналитические функции одной комплексной переменной , Энциклопедия математики. (Европейское математическое общество при участии Спрингера, 2015 г.)
^ «Аналитическая функция» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
^ Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (МакГроу-Хилл, 1979).
^ Хенричи, П. , Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986 гг.]
^ Питер Эбенфельт, Норберт Хунгербюлер, Йозеф Дж. Кон, Нгайминг Мок, Эмиль Дж. Штраубе(2011) Комплексный анализ Springer Science & Business Media
^ Jump up to: ^а ^б Маркушевич А.И. Теория функций комплексного переменного (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
^ Jump up to: ^а ^б Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Серия Прентис-Холл в современном анализе. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл . стр. xiv+317. ISBN 9780821869536 . МР 0180696 . Збл 0141.08601 .
^ Грей, Джей Ди; Моррис, С.А. (1978), «Когда функция удовлетворяет аналитическим уравнениям Коши-Римана?», The American Mathematical Monthly , 85 (4) (опубликовано в апреле 1978 г.): 246–256, doi : 10.2307/2321164 , JSTOR 2321164 .
^ Оригинальные французские термины были голоморф и мероморф . Брио, Шарль Огюст ; Буке, Жан-Клод (1875). «§15 голоморфные функции» . Теория эллиптических функций (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15. Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости, мы будем говорить, что она голоморфна в этой части плоскости. Этим именем мы указываем, что она подобна целочисленным функциям, обладающим этими свойствами на всей протяженности плоскости. [...] ¶ Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни знаменателя; это голоморфная функция в любой части плоскости, не содержащей ни одного из ее полюсов. ¶ Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы будем говорить, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть подобна рациональным дробям. [Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости, мы говорим, что она голоморфна в этой части самолета. Под этим названием мы подразумеваем, что оно напоминает целые функции , обладающие этими свойствами во всем объеме плоскости. [...] ¶ Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни ; знаменателя это голоморфная функция во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов. ¶ Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она похожа на рациональные дроби.]
Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). «5. Интеграция» . Трактат по теории функций . Макмиллан. п. 161.
^ Коши Брио и Буке ранее также приняли термин синектика ( по-французски синектика ) в первом издании своей книги 1859 года. Брио, Шарль Огюст ; Буке, Жан-Клод (1859). «§10» . Теория двоякопериодических функций . Малле-Башелье. п. 11.
^ Хенричи, Питер (1993) [1986], Прикладной и вычислительный комплексный анализ, том 3 , Wiley Classics Library (переиздание), Нью-Йорк – Чичестер – Брисбен – Торонто – Сингапур: John Wiley & Sons , стр. X + 637, ISBN 0-471-58986-1 , МР 0822470 , Збл 1107.30300 .
^ Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157
^ Ганнинг и Росси, Аналитические функции нескольких комплексных переменных , с. 2.

Дальнейшее чтение

Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. ОСЛК 2370110 .

Внешние ссылки

«Аналитическая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Аналитические функции одной комплексной переменной , Энциклопедия математики. (Европейское математическое общество при участии Спрингера, 2015 г.)

[2] «Аналитическая функция» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.

[3] Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (МакГроу-Хилл, 1979).

[4] Хенричи, П. , Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986 гг.]

[5] Питер Эбенфельт, Норберт Хунгербюлер, Йозеф Дж. Кон, Нгайминг Мок, Эмиль Дж. Штраубе(2011) Комплексный анализ Springer Science & Business Media

[Mark-6] Jump up to: ^а ^б Маркушевич А.И. Теория функций комплексного переменного (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]

[Gunning-7] Jump up to: ^а ^б Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Серия Прентис-Холл в современном анализе. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл . стр. xiv+317. ISBN 9780821869536 . МР 0180696 . Збл 0141.08601 .

[8] Грей, Джей Ди; Моррис, С.А. (1978), «Когда функция удовлетворяет аналитическим уравнениям Коши-Римана?», The American Mathematical Monthly , 85 (4) (опубликовано в апреле 1978 г.): 246–256, doi : 10.2307/2321164 , JSTOR 2321164 .

[9] Оригинальные французские термины были голоморф и мероморф . Брио, Шарль Огюст ; Буке, Жан-Клод (1875). «§15 голоморфные функции» . Теория эллиптических функций (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15. Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости, мы будем говорить, что она голоморфна в этой части плоскости. Этим именем мы указываем, что она подобна целочисленным функциям, обладающим этими свойствами на всей протяженности плоскости. [...] ¶ Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни знаменателя; это голоморфная функция в любой части плоскости, не содержащей ни одного из ее полюсов. ¶ Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы будем говорить, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть подобна рациональным дробям. [Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости, мы говорим, что она голоморфна в этой части самолета. Под этим названием мы подразумеваем, что оно напоминает целые функции , обладающие этими свойствами во всем объеме плоскости. [...] ¶ Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни ; знаменателя это голоморфная функция во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов. ¶ Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она похожа на рациональные дроби.]
Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). «5. Интеграция» . Трактат по теории функций . Макмиллан. п. 161.

[10] Коши Брио и Буке ранее также приняли термин синектика ( по-французски синектика ) в первом издании своей книги 1859 года. Брио, Шарль Огюст ; Буке, Жан-Клод (1859). «§10» . Теория двоякопериодических функций . Малле-Башелье. п. 11.

[11] Хенричи, Питер (1993) [1986], Прикладной и вычислительный комплексный анализ, том 3 , Wiley Classics Library (переиздание), Нью-Йорк – Чичестер – Брисбен – Торонто – Сингапур: John Wiley & Sons , стр. X + 637, ISBN 0-471-58986-1 , МР 0822470 , Збл 1107.30300 .

[12] Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество .

[Lang-13] Jump up to: ^а ^б ^с Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag

[14] Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157

[15] Ганнинг и Росси, Аналитические функции нескольких комплексных переменных , с. 2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Франция Данные БнФ Германия Израиль Соединенные Штаты Япония Чешская Республика