Изолированная сингулярность

В комплексном анализе , разделе математики , изолированная особенность — это такая особенность, у которой нет других особенностей близких к ней . Другими словами, комплексное число z ₀ является изолированной особенностью функции f, если существует открытый диск D с центром в точке z ₀ такой, что f голоморфно полученном на D \ {z ₀ }, т. е. на множестве, из D вынимая z ₀ .

Формально и в рамках общей топологии изолированная особенность голоморфной функции $f:\Omega \to \mathbb {C}$ любая изолированная точка границы $\partial \Omega$ домена $\Omega$ . Другими словами, если $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {C}$ , $a\in U$ и $f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ — голоморфная функция, то $a$ представляет собой изолированную особенность $f$ .

Любая особенность мероморфной функции на открытом подмножестве $U\subset \mathbb {C}$ изолирована, но изоляции особенностей недостаточно, чтобы гарантировать мероморфность функции. Многие важные инструменты комплексного анализа, такие как ряды Лорана и теорема о вычетах, требуют, чтобы все соответствующие особенности функции были изолированы.Различают три типа изолированных особенностей: устранимые особенности , полюса и существенные особенности .

Примеры [ править ]

Функция ${\frac {1}{z}}$ имеет 0 как изолированную особенность.
Косекансная функция $\csc \left(\pi z\right)$ имеет каждое целое число как изолированную особенность.

Неизолированные особенности [ править ]

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. А именно, существуют два типа неизолированных особенностей:

Точки кластера , т.е. предельные точки изолированных особенностей: если все они являются полюсами, несмотря на допущение разложения в ряд Лорана на каждом из них, такое разложение на его пределе невозможно.
Естественные границы , т.е. любое неизолированное множество (например, кривая), вокруг которого функции не могут быть аналитически продолжены (или вне их, если они являются замкнутыми кривыми в сфере Римана ).

Примеры [ править ]

Функция ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ мероморфен по $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , с простыми полюсами в ${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$ , для каждого $n\in \mathbb {N} _{0}$ . С $z_{n}\rightarrow 0$ , каждый проколотый диск с центром в $0$ имеет внутри бесконечное число особенностей, поэтому разложение Лорана для него невозможно. ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ вокруг $0$ , которая на самом деле является точкой скопления ее полюсов.
Функция ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ имеет особенность в точке 0, которая не , имеются дополнительные особенности, является изолированной, так как в точке, обратной каждому целому числу расположенные сколь угодно близко к 0 (хотя особенности в этих точках, обратных, сами по себе изолированы).
Функция, определенная через ряд Маклорена ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ сходится внутри открытого единичного диска с центром в $0$ и имеет единичный круг в качестве естественной границы.