Теорема о вычетах

В комплексном анализе теорема о вычетах , иногда называемая теоремой Коши о вычетах , является мощным инструментом для вычисления линейных интегралов аналитических функций по замкнутым кривым; его часто можно использовать для вычисления действительных интегралов и бесконечных рядов . Он обобщает интегральную теорему Коши и интегральную формулу Коши . Теорему о вычетах не следует путать со специальными случаями обобщенной теоремы Стокса ; однако последнее можно использовать как составную часть доказательства.

Коши

См. также: Остаток (комплексный анализ)

Заявление заключается в следующем:

Иллюстрация обстановки

Позволять $U$ — односвязное открытое подмножество комплексной плоскости , содержащее конечный список точек $a_{1},\ldots ,a_{n},$ $U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},$ и функция $f$ голоморфный на $U_{0}.$ Сдача в аренду $\gamma$ быть замкнутой спрямляемой кривой в $U_{0},$ и остаток обозначая $f$ в каждой точке $a_{k}$ к $\operatorname {Res} (f,a_{k})$ и витков число $\gamma$ вокруг $a_{k}$ к $\operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),$ линейный интеграл от $f$ вокруг $\gamma$ равно $2\pi i$ умноженное на сумму остатков, каждый из которых учитывается столько раз, сколько $\gamma$ обходит соответствующую точку:

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$$

Если $\gamma$ — положительно ориентированная простая замкнутая кривая , $\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})$ является $1$ если $a_{k}$ находится внутри $\gamma$ и $0$ если нет, то поэтому

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$$

с суммой выше этих $a_{k}$ внутри $\gamma .$

Связь теоремы о вычетах с теоремой Стокса определяется теоремой Жордана о кривой . Общая плоская кривая γ должна быть сначала сведена к набору простых замкнутых кривых $\{\gamma _{i}\}$ общая сумма которых эквивалентна $\gamma$ в целях интеграции; это сводит задачу к нахождению интеграла от $f\,dz$ по жордановой кривой $\gamma _{i}$ с интерьером $V.$ Требование, чтобы $f$ быть голоморфным на $U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}$ эквивалентно утверждению, что внешняя производная $d(f\,dz)=0$ на $U_{0}.$ Таким образом, если две плоские области $V$ и $W$ из $U$ включить одно и то же подмножество $\{a_{j}\}$ из $\{a_{k}\},$ регионы $V\smallsetminus W$ и $W\smallsetminus V$ лежать целиком в $U_{0},$ следовательно

$$\int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)$$

корректно определен и равен нулю. Следовательно, контурный интеграл от $f\,dz$ вдоль $\gamma _{j}=\partial V$ равен сумме набора интегралов по путям $\gamma _{j},$ каждый из которых охватывает сколь угодно малую область вокруг одного $a_{j}$ — остатки $f$ (с точностью до условного коэффициента $2\pi i$ в $\{a_{j}\}.$ Подведение итогов $\{\gamma _{j}\},$ восстанавливаем окончательное выражение контурного интеграла через номера витков $\{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.$

Для вычисления действительных интегралов теорема о вычетах используется следующим образом: подынтегральное выражение расширяется на комплексную плоскость и вычисляются его вычеты (что обычно несложно), а часть вещественной оси расширяется до замкнутой кривой. путем прикрепления полукруга в верхней или нижней полуплоскости, образуя полукруг. Интеграл по этой кривой затем можно вычислить с помощью теоремы о вычетах. Часто часть интеграла в форме полукруга будет стремиться к нулю по мере увеличения радиуса полукруга, оставляя только часть интеграла по действительной оси, которая нас изначально интересовала.

Расчет остатков

Этот раздел представляет собой отрывок из книги Остаток (комплексный анализ) § Расчет остатков . [ редактировать ]

Предположим, проколотый диск D = { z : 0 < | г - с | < R } в комплексной плоскости задано, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Остаток Res( f , c ) от f в точке c является коэффициентом a ₋₁ числа ( z − c ) ⁻¹ в в ряд Лорана разложении f вокруг c . Существуют различные методы вычисления этой величины, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и природы особенности.

По теореме о вычетах имеем:

$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

где γ очерчивает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через нее и не содержит в себе других особенностей. Мы можем выбрать путь γ как круг радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть настолько малым, насколько мы хотим, его можно заставить содержать только особенность c из-за природы изолированных особенностей. Это можно использовать для расчета в тех случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно остатки используются для упрощения расчета интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем диске $|y-c|<R$, то Res( f , c ) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно.

Простые столбы

В простом полюсе c остаток f определяется выражением:

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

Если этого предела не существует, то здесь имеется существенная сингулярность. Если он равен 0, то он там либо аналитичен, либо имеется устранимая особенность. Если он равен бесконечности, то порядок выше 1.

Возможно, функцию f можно выразить как частное двух функций: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$, где g и h — голоморфные функции в окрестности c : , с h ( c ) = 0 и h( c ) ≠ 0. В таком случае правило Лопиталя можно использовать для упрощения приведенной выше формулы до

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}$

порядка

В более общем смысле, если c является полюсом порядка n , то остаток f вокруг z = c можно найти по формуле:

$\operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

Эта формула может быть очень полезна при определении вычетов для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка расчеты могут стать неуправляемыми, и расширение серии обычно проще. Для существенных особенностей такой простой формулы не существует, и вычеты обычно следует брать непосредственно из разложения в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).$

Если выполняется следующее условие:

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,$

тогда остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).$

Если вместо этого

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,$

тогда остаток на бесконечности равен

$\operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).$

Для голоморфных функций сумма вычетов в изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, что дает:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).$

Методы серии

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или ряд Лорана , что может быть возможно, если части или вся функция имеет стандартное разложение в ряд, то вычисление остатка существенно проще, чем другими методами. Остаток функции просто определяется коэффициентом при $(z-c)^{-1}$ в в ряд Лорана . разложении функции

Примеры

Интеграл по вещественной оси

Интеграл

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx$$

Контур С. ​

возникает в теории вероятностей при вычислении характеристической функции распределения Коши . Он не поддается методам элементарного исчисления , но его можно оценить, выразив его как предел контурных интегралов .

Предположим t > 0 и определим контур C , который идет вдоль вещественной линии от − a до a , а затем против часовой стрелки по полукругу с центром в точке 0 от a до − a . Возьмем a больше 1, чтобы мнимая единица i была заключена в кривую. Теперь рассмотрим контурный интеграл

$$\int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.$$

Поскольку е ^это является целой функцией (не имеющей особенностей ни в одной точке комплексной плоскости), эта функция имеет особенности только там, где знаменатель z ² +1 это ноль. Поскольку z ² + 1 знак равно ( z + я )( z - я ) , это происходит только там, где z знак равно я или z знак равно - я . Только одна из этих точек находится в области, ограниченной этим контуром. Поскольку f ( z ) ​

$${\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}$$

остаток ​ f = ( z ) точке z равен i в

$$\operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.$$

Тогда согласно теореме о вычетах имеем

$$\int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.$$

Контур C можно разбить на прямую часть и изогнутую дугу, так что

$$\int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}$$

и таким образом

$$\int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.$$

Используя некоторые оценки , мы имеем

$$\left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},$$

и

$$\lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.$$

Оценка числителя следует, поскольку t > 0 , а для комплексных чисел z вдоль дуги (которая лежит в верхней полуплоскости) аргумент φ числа z лежит между 0 и π . Так,

$$\left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.$$

Поэтому,

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.$$

Если t < 0 , то аналогичный аргумент с дугой C ′, которая вьется вокруг − i, а не i, показывает, что

Контур C ′ .

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},$$

и наконец у нас есть

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$$

(Если t = 0 , то интеграл немедленно поддается элементарному исчислению и его значение равно π .)

Оценка дзета-функций

Тот факт, что π cot( πz ) имеет простые полюса с вычетом 1 в каждом целом числе, можно использовать для вычисления суммы

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).$$

Рассмотрим, например, f ( z ) = z ⁻² . Пусть Γ _{N —} прямоугольник, являющийся границей [− N − 1/2 ​ ​ , Н + 1 / 2 ] ² с положительной ориентацией, с целым числом N . По формуле остатка

$${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.$$

Левая часть стремится к нулю при N → ∞, поскольку $|\cot(\pi z)|$ равномерно ограничен по контуру благодаря использованию $x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)$ на левой и правой стороне контура, поэтому подынтегральная функция имеет порядок $O(N^{-2})$ по всему контуру. С другой стороны,

$${\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots$$

где число Бернулли $B_{2}={\frac {1}{6}}.$

(Фактически, з / 2 кроватки( г / 2 ) = iz / 1 − e ^{− iz} − iz / 2 .) Таким образом, остаток Res _{z =0} равен — п ² / 3 . Делаем вывод:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

что является доказательством Базельской проблемы .

Один и тот же аргумент работает для всех $f(x)=x^{-2n}$ где $n$ является положительным целым числом, что дает нам

$$\zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.$$

Трюк не работает, когда $f(x)=x^{-2n-1}$, так как в этом случае вычет в нуле обращается в нуль, и мы получаем бесполезное тождество $0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0$.

серии

Тот же прием можно использовать для определения суммы ряда Эйзенштейна :

$$\pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.$$

Доказательство

Выберите произвольный $w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z}$. Как и выше, определите

$$g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)$$

По теореме Коши о вычетах для всех $N$ достаточно большой, такой, что $\Gamma _{N}$ окружает $w$,

$$\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}$$

Осталось доказать, что интеграл сходится к нулю. С $\pi \cot(\pi z)/z$ является четной функцией, и $\Gamma _{N}$ симметричен относительно начала координат, имеем $\oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0$, и так

$$\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)$$

См. также

• Остаток (комплексный анализ)
• Интегральная формула Коши
• Основная теорема Глассера
• Лемма Джордана
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Мореры
• Теорема Нахбина
• Остаток на бесконечности
• Логарифмическая форма

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . МакГроу Хилл. ISBN  0-07-085008-9 .
• Линделеф, Эрнст Л. (1905). Вычисление вычетов и его приложения к теории функций (на французском языке). Издания Жака Габе (опубликовано в 1989 г.). ISBN  2-87647-060-8 .
• Митринович, Драгослав; Кечкич, Йован (1984). Метод вычетов Коши: Теория и приложения . Издательство Д. Рейделя. ISBN  90-277-1623-4 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1920). Курс современного анализа (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Интегральная теорема Коши» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема о вычетах в MathWorld