Теорема Нахбина

В математике , в области комплексного анализа , теорема Нахбина (названная в честь Леопольдо Нахбина ) обычно используется для установления границы скорости роста аналитической функции . В данной статье дан краткий обзор темпов роста, включая представление о функции экспоненциального типа . Классификация темпов роста на основе типа помогает обеспечить более тонкий инструмент, чем нотация большого О или Ландау ряд теорем об аналитической структуре ограниченной функции и ее интегральных преобразованиях , поскольку можно сформулировать . В частности, теорему Нахбина можно использовать для определения области сходимости обобщенного преобразования Бореля , приведенного ниже.

Экспоненциальный тип

Функция $f(z)$ определенный на комплексной плоскости , называется экспоненциальным типом, если существуют константы $M$ и $\alpha$ такой, что

|f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}

в пределе $r\to \infty$ . Здесь комплексная переменная $z$ было написано как $z=re^{i\theta }$ чтобы подчеркнуть, что предел должен соблюдаться во всех направлениях $\theta$ . Сдача в аренду $\alpha$ обозначать нижнюю границу всего такого $\alpha$ , тогда говорят, что функция $f$ имеет экспоненциальный тип $\alpha$ .

Например, пусть $f(z)=\sin(\pi z)$ . Тогда один говорит, что $\sin(\pi z)$ имеет экспоненциальный тип $\pi$ , с $\pi$ — наименьшее число, ограничивающее рост $\sin(\pi z)$ вдоль мнимой оси. Итак, для этого примера теорема Карлсона неприменима, так как для нее требуются функции экспоненциального типа меньше, чем $\pi$ .

Тип Ψ

Ограничение может быть определено для других функций, помимо экспоненциальной функции. В общем, функция $\Psi (t)$ является функцией сравнения, если она имеет ряд

\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}

с $\Psi _{n}>0$ для всех $n$ , и

\lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.

Функции сравнения обязательно целые , что следует из критерия отношения . Если $\Psi (t)$ является такой функцией сравнения, тогда говорят, что $f$ имеет $\Psi$ -введите, существуют ли константы $M$ и $\tau$ такой, что

\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)

как $r\to \infty$ . Если $\tau$ это нижняя грань всех таких $\tau$ один говорит, что $f$ имеет $\Psi$ -тип $\tau$ .

Теорема Нахбина утверждает, что функция $f(z)$ с сериалом

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}

имеет $\Psi$ -тип $\tau$ тогда и только тогда, когда

\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .

Преобразование Бореля

Теорема Нахбина имеет непосредственное применение в ситуациях, подобных теореме Коши , а также для интегральных преобразований . Например, обобщенное преобразование Бореля имеет вид

F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.

Если $f$ имеет $\Psi$ -тип $\tau$ , то внешность области сходимости $F(w)$ , и все его особые точки содержатся внутри круга

|w|\leq \tau .

Кроме того, у человека есть

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw

где контур интегрирования γ окружает диск $|w|\leq \tau$ . Это обобщает обычное преобразование Бореля для экспоненциального типа, где $\Psi (t)=e^{t}$ . Отсюда также следует интегральная форма обобщенного преобразования Бореля. Позволять $\alpha (t)$ — функция, первая производная которой ограничена на интервале $[0,\infty )$ , так что

{\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)

где $d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt$ . Тогда интегральная форма обобщенного преобразования Бореля будет равна

F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).

Обычное преобразование Бореля восстанавливается установкой $\alpha (t)=e^{-t}$ . Обратите внимание, что интегральная форма преобразования Бореля — это просто преобразование Лапласа .

Суммирование Нахбина

Пересуммирование Нахбина (обобщенное преобразование Бореля) можно использовать для суммирования расходящихся рядов, которые уходят к обычному суммированию Бореля , или даже для решения (асимптотически) интегральных уравнений вида:

g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt

где $f(t)$ может иметь или не иметь экспоненциальный рост, а ядро $K(u)$ имеет преобразование Меллина . Решение можно получить как $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}$ с $g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}$ и $M(n)$ представляет собой преобразование Меллина $K(u)$ . Примером этого является серия Gram. $\pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.$

в некоторых случаях в качестве дополнительного условия мы требуем $\int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt$ быть конечным для $n=0,1,2,3,...$ и отличается от 0.

Пространство Фреше

Коллекции функций экспоненциального типа $\tau$ может образовывать полное равномерное пространство , а именно пространство Фреше , с помощью топологии, индуцированной счетным семейством норм

\|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.

См. также

Ссылки

Л. Нахбин, «Расширение понятия целых функций конечного экспоненциального типа», Анаис Акад. Бразилия. Сиенсиас. 16 (1944) 143–147.
Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (исправленное во втором издании) , (1964) Academic Press Inc., Издательство Нью-Йорк, Springer-Verlag, Берлин. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263. (Содержит формулировку и доказательство теоремы Нахбина, а также общий обзор этой темы.)
А. Ф. Леонтьев (2001) [1994], «Функция экспоненциального типа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
А. Ф. Леонтьев (2001) [1994], «Преобразование Бореля» , Энциклопедия Математики , EMS Press