Принцип Фрагмена – Линделёфа

В комплексном анализе ) Фрагмена -Линделёфа принцип (или метод , впервые сформулированный Ларсом Эдвардом Фрагменом (1863–1937) и Эрнстом Леонардом Линделёфом (1870–1946) в 1908 году, представляет собой метод, который использует вспомогательную параметризованную функцию для доказательства ограниченность голоморфной функции $f$ (т.е. $|f(z)|<M\ \ (z\in \Omega )$ ) на неограниченном домене $\Omega$ когда дополнительное (обычно легкое) состояние, сдерживающее рост $|f|$ на $\Omega$ дано. Это обобщение принципа максимума модуля , который применим только к ограниченным областям.

Фон

В теории комплексных функций известно, что модуль (абсолютное значение) голоморфной ( комплексно дифференцируемой) функции внутри ограниченной области ограничен ее модулем на границе области. Точнее, если непостоянная функция $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ голоморфен в ограниченной области ^{[ 1 ]} $\Omega$ и непрерывен при его закрытии ${\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega$ , затем ${\textstyle |f(z_{0})|<\sup _{z\in \partial \Omega }|f(z)|}$ для всех $z_{0}\in \Omega$ . Это известно как принцип максимального модуля. (На самом деле, поскольку ${\overline {\Omega }}$ компактен и $|f|$ непрерывен, то на самом деле существует некоторый $w_{0}\in \partial \Omega$ такой, что ${\textstyle |f(w_{0})|=\sup _{z\in \Omega }|f(z)|}$ .) Принцип максимума модуля обычно используется для вывода об ограниченности голоморфной функции в области после того, как показано, что она ограничена на своей границе.

Однако принцип максимума модуля нельзя применить к неограниченной области комплексной плоскости. В качестве конкретного примера рассмотрим поведение голоморфной функции $f(z)=\exp(\exp(z))$ в неограниченной полосе

S=\left\{z:\Im (z)\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\right\}

.

Хотя $|f(x\pm \pi i/2)|=1$ , так что $|f|$ ограничен на границе $\partial S$ , $|f|$ быстро и неограниченно растет, когда $|z|\to \infty$ вдоль положительной вещественной оси. Трудность здесь связана с чрезвычайно быстрым ростом $|f|$ вдоль положительной вещественной оси. Если темпы роста $|f|$ гарантированно не будет «слишком быстрым», как указано в соответствующем условии роста, можно применить принцип Фрагмена – Линделёфа, чтобы показать, что ограниченность $f$ на границе региона означает, что $f$ фактически ограничен во всей области, эффективно распространяя принцип максимального модуля на неограниченные области.

Краткое описание техники

Предположим, нам дана голоморфная функция $f$ и неограниченная область $S$ , и мы хотим это показать $|f|\leq M$ на $S$ . В типичном рассуждении Фрагмена–Линделёфа мы вводим некий мультипликативный множитель $h_{\epsilon }$ удовлетворяющий ${\textstyle \lim _{\epsilon \to 0}h_{\epsilon }=1}$ «подчинить» рост $f$ . В частности, $h_{\epsilon }$ выбирается так, что (i): $fh_{\epsilon }$ голоморфен для всех $\epsilon >0$ и $|fh_{\epsilon }|\leq M$ на границе $\partial S_{\mathrm {bdd} }$ соответствующей ограниченной субрегиона $S_{\mathrm {bdd} }\subset S$ ; и (ii): асимптотическое поведение $fh_{\epsilon }$ позволяет нам установить, что $|fh_{\epsilon }|\leq M$ для $z\in S\setminus {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}$ (т.е. неограниченная часть $S$ вне замыкания ограниченной подобласти). Это позволяет нам применить принцип максимального модуля и сначала заключить, что $|fh_{\epsilon }|\leq M$ на ${\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}$ а затем распространить заключение на все $z\in S$ . Наконец, мы позволяем $\epsilon \to 0$ так что $f(z)h_{\epsilon }(z)\to f(z)$ для каждого $z\in S$ чтобы сделать вывод, что $|f|\leq M$ на $S$ .

В литературе комплексного анализа есть много примеров применения принципа Фрагмена-Линделефа к неограниченным областям разных типов, а также версия этого принципа может быть применена аналогичным образом к субгармоническим и супергармоническим функциям.

Пример применения

Продолжая приведенный выше пример, мы можем наложить условие роста на голоморфную функцию $f$ это предотвращает его «взрыв» и позволяет применить принцип Фрагмена – Линделёфа. Для этого добавим условие, что

|f(z)|<\exp \left(A\exp(c\cdot \left|\Re (z)\right|)\right)

для некоторых реальных констант $c<1$ и $A<\infty$ , для всех $z\in S$ . Тогда можно показать, что $|f(z)|\leq 1$ для всех $z\in \partial S$ подразумевает, что $|f(z)|\leq 1$ на самом деле справедливо для всех $z\in S$ . Таким образом, мы имеем следующее предложение:

Предложение. Позволять

S=\left\{z:\Im (z)\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\right\},\quad {\overline {S}}=\left\{z:\Im (z)\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\right\}.

Позволять $f$ быть голоморфным на $S$ и постоянно включен ${\overline {S}}$ , и предположим, что существуют действительные константы $c<1,\ A<\infty$ такой, что

|f(z)|<\exp {\bigl (}A\exp(c\cdot |\Re (z)|){\bigr )}

для всех $z\in S$ и $|f(z)|\leq 1$ для всех $z\in {\overline {S}}\setminus S=\partial S$ . Затем $|f(z)|\leq 1$ для всех $z\in S$ .

Обратите внимание, что этот вывод неверен, когда $c=1$ , точно так же, как демонстрирует мотивирующий контрпример из предыдущего раздела. В доказательстве этого утверждения используется типичный аргумент Фрагмена–Линделёфа: ^{[ 2 ]}

Доказательство: (Набросок) Мы исправим $b\in (c,1)$ и определить для каждого $\epsilon >0$ вспомогательная функция $h_{\epsilon }$ к ${\textstyle h_{\epsilon }(z)=e^{-\epsilon (e^{bz}+e^{-bz})}}$ . Более того, для данного $a>0$ , мы определяем $S_{a}$ быть открытым прямоугольником в комплексной плоскости, заключенным в вершины $\{a\pm i\pi /2,-a\pm i\pi /2\}$ . Теперь исправьте $\epsilon >0$ и рассмотрим функцию $fh_{\epsilon }$ . Потому что это можно показать $|h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ для всех $z\in {\overline {S}}$ , отсюда следует, что $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ для $z\in \partial S$ . Более того, можно показать для $z\in {\overline {S}}$ что $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\to 0$ равномерно как $|\Re (z)|\to \infty$ . Это позволяет нам найти $x_{0}$ такой, что $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ в любое время $z\in {\overline {S}}$ и $|\Re (z)|\geq x_{0}$ . Теперь рассмотрим ограниченную прямоугольную область $S_{x_{0}}$ . Мы установили, что $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ для всех $z\in \partial S_{x_{0}}$ . Следовательно, из принципа максимального модуля следует, что $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ для всех $z\in {\overline {S_{x_{0}}}}$ . С $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ также имеет место всякий раз, когда $z\in S$ и $|\Re (z)|>x_{0}$ , мы фактически показали, что $|f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1$ держится для всех $z\in S$ . Наконец, потому что $fh_{\epsilon }\to f$ как $\epsilon \to 0$ , мы заключаем, что $|f(z)|\leq 1$ для всех $z\in S$ . КЭД

Принцип Фрагмена – Линделёфа для сектора на комплексной плоскости.

Особенно полезное утверждение, доказанное с помощью принципа Фрагмена–Линделёфа, ограничивает голоморфные функции на секторе комплексной плоскости, если они ограничены на своей границе. Это утверждение можно использовать для комплексного аналитического доказательства Харди принципа неопределенности , который гласит, что функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно затухать быстрее, чем экспоненциально. ^{[ 3 ]}

Предложение. Позволять $F$ — функция, голоморфная в секторе

S=\left\{z\,{\big |}\,\alpha <\arg z<\beta \right\}

центрального угла $\beta -\alpha =\pi /\lambda$ , и непрерывна на своей границе. Если

|F(z)|\leq 1

( 1 )

для $z\in \partial S$ , и

|F(z)|\leq e^{C|z|^{\rho }}

( 2 )

для всех $z\in S$ , где $\rho \in [0,\lambda )$ и $C>0$ , затем $|F(z)|\leq 1$ справедливо и для всех $z\in S$ .

Примечания

Условие ( 2 ) можно ослабить до

\liminf _{r\to \infty }\sup _{\alpha <\theta <\beta }{\frac {\log |F(re^{i\theta })|}{r^{\rho }}}=0\quad {\text{for some}}\quad 0\leq \rho <\lambda ~,

( 3 )

с тем же выводом.

Особые случаи

На практике точку 0 часто преобразуют в точку ∞ сферы Римана . Это дает версию принципа, применимую к полосам, например, ограниченным двумя линиями постоянной вещественной части на комплексной плоскости. Этот особый случай иногда называют теоремой Линделёфа .

Теорема Карлсона представляет собой применение этого принципа к функциям, ограниченным на мнимой оси.

См. также

Теорема Адамара о трех прямых

Ссылки

^ Термин «регион» не используется в литературе единообразно; здесь под регионом понимается непустое связное открытое подмножество комплексной плоскости.
^ Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 257–259. ISBN 0070542341 .
^ Тао, Теренс (18 февраля 2009 г.). «Принцип неопределенности Харди» . Обновления моих исследований и разъяснительных статей, обсуждение открытых проблем и другие темы, связанные с математикой. Теренс Тао .

Фрагмен, Ларс Эдвард; Линделеф, Эрнст (1908). «О расширении классического принципа анализа и о некоторых свойствах моногенных функций в окрестности особой точки» . Акта математика . 31 (1): 381–406. дои : 10.1007/BF02415450 . ISSN 0001-5962 .
Рисс, Марсель (1920). «Сюр ле принцип де Фрагмен-Линделёф». Труды Кембриджского философского общества . 20 . (Исправление, т. 21, 1921 г.).
Титчмарш, Эдвард Чарльз (1976). Теория функций (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853349-7 . (См. главу 5)
Е.Д. Соломенцев (2001) [1994], «Теорема Фрагмена–Линделёфа» , Энциклопедия математики , EMS Press
Штейн, Элиас М .; Шакарчи, Рами (2003). Комплексный анализ . Принстонские лекции по анализу, II. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-11385-8 .

[1] Термин «регион» не используется в литературе единообразно; здесь под регионом понимается непустое связное открытое подмножество комплексной плоскости.

[2] Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 257–259. ISBN 0070542341 .

[3] Тао, Теренс (18 февраля 2009 г.). «Принцип неопределенности Харди» . Обновления моих исследований и разъяснительных статей, обсуждение открытых проблем и другие темы, связанные с математикой. Теренс Тао .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]