Теорема Адамара о трех прямых

В комплексном анализе , разделе математики, теорема Адамара о трёх прямых является результатом поведения голоморфных функций , определенных в областях, ограниченных параллельными прямыми на комплексной плоскости . Теорема названа в честь французского математика Жака Адамара .

Заявление

Теорема Адамара о трёх прямых — Пусть $f(z)$ быть ограниченной функцией $z=x+iy$ определяется на полосе

$\{x+iy:a\leq x\leq b\},$

голоморфен внутри полосы и непрерывен на всей полосе. Если

$M(x)=\sup _{y}|f(x+iy)|$

затем $\log M(x)$ является выпуклой функцией на $[a,b].$

Другими словами, если $x=ta+(1-t)b$ с $0\leq t\leq 1,$ затем

$M(x)\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}.$

показывать Доказательство

Define $F(z)$ by $F(z)=f(z)M(a)^{z-b \over b-a}M(b)^{z-a \over a-b}$ where $|F(z)|\leq 1$ on the edges of the strip. The result follows once it is shown that the inequality also holds in the interior of the strip. After an affine transformation in the coordinate $z,$ it can be assumed that $a=0$ and $b=1.$The function $F_{n}(z)=F(z)e^{z^{2}/n}e^{-1/n}$ tends to $0$ as $|z|$ tends to infinity and satisfies $|F_{n}|\leq 1$ on the boundary of the strip. The maximum modulus principle can therefore be applied to $F_{n}$ in the strip. So $|F_{n}(z)|\leq 1.$ Because $F_{n}(z)$ tends to $F(z)$ as $n$ tends to infinity, it follows that $|F(z)|\leq 1.$ ∎

Приложения

Теорему о трех прямых можно использовать для доказательства теоремы Адамара о трех окружностях для ограниченной непрерывной функции. $g(z)$ на кольцо $\{z:r\leq |z|\leq R\},$ голоморфный внутри. Действительно, применяя теорему к

$f(z)=g(e^{z}),$

показывает, что если

$m(s)=\sup _{|z|=e^{s}}|g(z)|,$

затем $\log \,m(s)$ является выпуклой функцией $s.$

Теорема о трех прямых также справедлива для функций со значениями в банаховом пространстве и играет важную роль в комплексной теории интерполяции . Его можно использовать для доказательства неравенства Гёльдера для измеримых функций.

$\int |gh|\leq \left(\int |g|^{p}\right)^{1 \over p}\cdot \left(\int |h|^{q}\right)^{1 \over q},$

где ${1 \over p}+{1 \over q}=1,$ рассматривая функцию

$f(z)=\int |g|^{pz}|h|^{q(1-z)}.$

См. также

• Теорема Рисса–Торина
• Принцип Фрагмена – Линделёфа

Ссылки

• Адамар, Жак (1896), «Sur les fonctions entières» (PDF) , Bull. Соц. Математика. о. , 24 : 186–187 (оригинальное объявление теоремы)
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики, Том 2: Анализ Фурье, самосопряженность , Elsevier, стр. 33–34, ISBN  0-12-585002-6
• Ульрих, Дэвид К. (2008), Сложное стало простым , Аспирантура по математике , том. 97, Американское математическое общество , стр. 386–387, ISBN.  978-0-8218-4479-3