Теорема Адамара о трех окружностях

В комплексном анализе , разделе математики , Теорема Адамара о трёх окружностях — это результат о поведении голоморфных функций .

Позволять $f(z)$ — голоморфная функция на кольце

$r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}.$

Позволять $M(r)$ быть максимальным из $|f(z)|$ по кругу $|z|=r.$ Затем, $\log M(r)$ является выпуклой логарифма функцией $\log(r).$ Более того, если $f(z)$ не имеет формы $cz^{\lambda }$ для некоторых констант $\lambda$ и $c$, затем $\log M(r)$ строго выпукла как функция $\log(r).$

Заключение теоремы можно переформулировать как

$\log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})$

для любых трех концентрических окружностей радиусов $r_{1}<r_{2}<r_{3}.$

История

Изложение и доказательство теоремы были даны Дж. Э. Литтлвудом в 1912 году, но он не приписывал ее никому конкретно, заявляя, что это известная теорема. Харальд Бор и Эдмунд Ландау приписывают эту теорему Жаку Адамару , написавшему в 1896 году; Адамар не опубликовал никаких доказательств.

Доказательство

Теорема о трёх окружностях следует из того факта, что для любого действительного a функция Re log( z ^а f ( z )) гармонична между двумя окружностями и поэтому принимает максимальное значение на одной из окружностей. Теорема следует из выбора константы a так, чтобы эта гармоническая функция имела одинаковое максимальное значение на обеих окружностях.

Теорему также можно вывести непосредственно из теоремы Адамара о трех прямых .

См. также

• Принцип максимума
• Логарифмически выпуклая функция
• Теорема Харди
• Теорема Адамара о трех прямых
• Теорема Бореля – Каратеодори.
• Принцип Фрагмена – Линделёфа

Ссылки

• Эдвардс, HM (1974), Дзета-функция Римана , Dover Publications, ISBN  0-486-41740-9
• Литтлвуд, Дж. Э. (1912), «Некоторые следствия гипотезы о том, что функция Римана ζ (s) не имеет нулей в полуплоскости Re (s) > 1/2», « Доклады Академии наук» , 154 : 263–266
• EC Титчмарш , Теория дзета-функции Римана , (1951) Оксфорд в Clarendon Press, Оксфорд. (См. главу 14)
• Ульрих, Дэвид К. (2008), Сложное стало простым , Аспирантура по математике , том. 97, Американское математическое общество , стр. 386–387, ISBN.  0821844792

Эта статья включает в себя материал из теоремы Адамара о трех кругах на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• «доказательство теоремы Адамара о трех кругах»