Круговой сектор

Не путать с круглым сечением .

Второстепенный сектор закрашен зеленым цветом, а основной сектор закрашен белым.

Круглый сектор , также известный как сектор круга или сектор диска или просто сектор (символ: ⌔ ), представляет собой часть диска ( замкнутая область , ограниченная кругом), окруженную двумя радиусами и дугой , при этом меньшая площадь равна известен как малый сектор , а более крупный — как основной сектор . На схеме θ — центральный угол , $r$ радиус круга и $L$ – длина дуги малого сектора.

Угол, образованный соединением концов дуги с любой точкой окружности, не входящей в сектор, равен половине центрального угла.

Типы

Сектор с центральным углом 180° называется полукругом и ограничен диаметром и полукругом . Секторам с другими центральными углами иногда дают специальные названия, такие как квадранты (90°), секстанты (60°) и октанты (45°), которые происходят от того, что сектор представляет собой одну 4-ю, 6-ю или 8-ю часть полного круга. соответственно. Как ни странно, дугу квадранта ( дугу окружности ) также можно назвать квадрантом.

Компас

8-точечная роза ветров

Традиционно направления ветра на розе компаса обозначаются одним из 8 октантов (север, северо-восток, восток, юго-восток, юг, юго-запад, запад, северо-запад), поскольку это более точно, чем просто указание одного из 4 квадрантов и флюгера . обычно не имеет достаточной точности для более точной индикации.

Название инструмента « октант » происходит от того, что он основан на 1/8 окружности. Чаще всего октанты встречаются на компасной розе .

Площадь

См. Также: Дуга окружности § Площадь сектора.

Полная площадь круга равна πr ² . Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на отношение угла θ (выраженного в радианах) и 2 π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2 π — это угол для весь круг, в радианах):

$$A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$$

Площадь сектора в единицах L можно получить, умножив общую площадь π r ² отношением L к общему периметру 2 π r .

$$A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}$$

Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать эту площадь как результат следующего интеграла:

$$A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$$

Преобразование центрального угла в градусы дает

$$A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}$$

Периметр

Длина периметра сектора равна сумме длины дуги и двух радиусов:

$$P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)$$

где θ — в радианах.

Длина дуги

Формула длины дуги:

$$L=r\theta$$

где L представляет длину дуги, r представляет собой радиус круга, а θ представляет собой угол в радианах, образуемый дугой в центре круга.

Если значение угла задано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу:

$$L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}$$

Длина аккорда

Длина хорды , образованной крайними точками дуги, определяется выражением

$$C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}$$

где C представляет длину хорды, R представляет собой радиус круга, а θ представляет собой угловую ширину сектора в радианах.

См. также

• Круговой сегмент – часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
• Коническое сечение
• Земной квадрант
• Сектор (математика)
• Сферический сектор – аналогичная трехмерная фигура.

Источники

• Джерард, LJV, «Элементы геометрии» в восьми книгах; или «Первый шаг в прикладной логике» (Лондон, Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер , 1874), с. 285 .
• Лежандр, AM , Элементы геометрии и тригонометрии , Чарльз Дэвис , изд. (Нью-Йорк: AS Barnes & Co. , 1858), с. 119 .