Сферический сектор

Сферический сектор (синий)

Сферический сектор

В геометрии сферический сектор , также известный как сферический конус , представляет собой часть сферы или шара , ограниченную конической границей с вершиной в центре сферы. Его можно описать как объединение сферической шапки и конуса, образованного центром сферы и основанием колпачка. Это трехмерный сектора круга . аналог

Объем

Если радиус сферы обозначить r , а высоту шапки h , то объём сферического сектора равен $$V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.$$

Это также можно записать как $$V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,$$где φ — половина угла конуса , т. е. φ — угол между краем колпачка и направлением на середину колпака, если смотреть из центра сферы. Предельным случаем является φ, приближающаяся к 180 градусам, что тогда описывает полную сферу.

Высота h определяется выражением $$h=r(1-\cos \varphi )\,.$$

Объем V сектора связан с площадью А шапки соотношением: $$V={\frac {rA}{3}}\,.$$

Область

Площадь искривленной поверхности сферического сектора (на поверхности сферы, исключая поверхность конуса) равна $$A=2\pi rh\,.$$

Это также $$A=\Omega r^{2}$$где Ω — телесный угол сферического сектора в стерадианах , единице телесного угла в системе СИ. Один стерадиан определяется как телесный угол, образованный областью ограничения A = r. ² .

Вывод

Дополнительная информация: двойной интеграл и тройной интеграл.

Объем можно рассчитать путем интегрирования элемента дифференциального объема. $$dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$$по объему сферического сектора, $$V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,$$где интегралы разделены, поскольку подынтегральная функция может быть разделена на произведение функций, каждая из которых имеет одну фиктивную переменную.

Площадь можно рассчитать аналогичным образом путем интегрирования дифференциального элемента сферической площади. $$dA=r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta$$над сферическим сектором, давая $$A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta =r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,,$$где φ — наклонение (или возвышение), а θ — азимут (вправо). Обратите внимание, что r является константой. Опять же, интегралы можно разделить.

См. также

• Круглый сектор — аналог 2D фигуры.
• Сферический колпачок
• Сферический сегмент
• Сферический клин