Сферический клин

В геометрии сферический клин или кунгула — это часть шара, ограниченная двумя плоскими полудисками и сферической лункой клина (называемой основанием ). Угол между радиусами, лежащими внутри ограничивающих полудисков, есть двугранник $α$ . Если $AB$ — полудиск, который образует шар при полном вращении вокруг оси z , вращение $AB$ только на заданное значение $α$ образует сферический клин с тем же углом $α$ . ^[1] Пилотируемый (2008) ^[2] отмечает, что «сферический клин относится к сфере, частью которой он является, так же, как угол клина относится к перигону ». ^[А] Сферический клин $α = π$ радиан (180°) называется полусферой , а сферический клин $α = 2 π$ радиан (360°) представляет собой полный шар.

Объем , сферического клина можно интуитивно связать с $определением AB$ поскольку объем шара радиуса $r$ определяется выражением $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 4 / 3 ⁠ π r 3$ , объем сферического клина того же радиуса $r$ определяется выражением ^[3]

V={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}={\tfrac {2}{3}}\alpha r^{3}\,.

Экстраполируя тот же принцип и учитывая, что площадь поверхности сферы равна $4 π r 2$ , видно, что площадь поверхности лунки, соответствующей тому же клину, определяется выражением ^[А]

A={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\alpha r^{2}\,.

Харт (2009) ^[3] утверждает, что «объем сферического клина равен объему сферы так же, как количество градусов в [уголе клина] соответствует 360». ^[А] Следовательно, выведя формулу объема сферического клина, можно сделать вывод, что, если $V s$ — объем сферы, а $V w$ — объем данного сферического клина,

{\frac {V_{\mathrm {w} }}{V_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}\,.

Кроме того, если $S l$ — площадь лунки данного клина, а $S s$ — площадь сферы клина, ^[4]^[А]

{\frac {S_{\mathrm {l} }}{S_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}\,.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

А. ^ Иногда проводят различие между терминами « сфера » и « шар », где сфера рассматривается как просто внешняя поверхность твердого шара. Обычно эти термины используются взаимозаменяемо, как это делается в комментариях Бемана (2008) и Харта (2008).

Ссылки [ править ]

^ Мортон, П. (1830). Геометрия, плоскость, тело и сфера в шести книгах . Болдуин и Крэдок. п. 180 .
^ Беман, Д.В. (2008). Новая плоскость и объемная геометрия . БиблиоБазар. п. 338. ИСБН 0-554-44701-0 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Харт, Калифорния (2009). Твердая геометрия . БиблиоБазар. п. 465. ИСБН 1-103-11804-8 .
^ Аваллоне, EA; Баумайстер, Т.; Садег, А.; Маркс, Л.С. (2006). Стандартный справочник Маркса для инженеров-механиков . МакГроу-Хилл Профессионал. п. 43. ИСБН 0-07-142867-4 .

[1] Мортон, П. (1830). Геометрия, плоскость, тело и сфера в шести книгах . Болдуин и Крэдок. п. 180 .

[2] Беман, Д.В. (2008). Новая плоскость и объемная геометрия . БиблиоБазар. п. 338. ИСБН 0-554-44701-0 .

[Hart-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Харт, Калифорния (2009). Твердая геометрия . БиблиоБазар. п. 465. ИСБН 1-103-11804-8 .

[4] Аваллоне, EA; Баумайстер, Т.; Садег, А.; Маркс, Л.С. (2006). Стандартный справочник Маркса для инженеров-механиков . МакГроу-Хилл Профессионал. п. 43. ИСБН 0-07-142867-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]