Копыта

В твердотельной геометрии унгула . — это область тела вращения , отрезанная плоскостью, наклоненной к его основанию Распространенным примером является сферический клин . Термин кунгула относится к копыту лошади , , анатомической особенности, которая определяет класс млекопитающих называемых копытными .

Объем Винсент копытца цилиндра вычислил Грегуар де Сент- . Два цилиндра с равными радиусами и перпендикулярными осями пересекаются в четырех двойных копытцах. Бицилиндр , образованный пересечением, был измерен Архимедом в «Методе механических теорем» , но рукопись была утеряна до 1906 года.

Историк исчисления описал роль унгулы в интегральном исчислении :

Сам Грегуар в первую очередь стремился проиллюстрировать на примере копытца , что объемная интеграция может быть сведена через ductus in planum к рассмотрению геометрических отношений между расположением плоских фигур. Однако унгула оказалась ценным источником вдохновения для тех, кто следовал за ним и видел в ней средство представления и преобразования интегралов многими изобретательными способами.

Цилиндрические гвозди

Кунгула правого кругового цилиндра.

Цилиндрическая когтя радиуса основания r и высоты h имеет объем

$V={2 \over 3}r^{2}h$,.

Его общая площадь составляет

$A={1 \over 2}\pi r^{2}+{1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+2rh$,

площадь поверхности его изогнутой боковой стенки равна

$A_{s}=2rh$,

а площадь поверхности его вершины (наклонной крыши) равна

$A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$.

Доказательство

Рассмотрим цилиндр $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ограничен снизу плоскостью $z=0$ и выше на самолете $z=ky$ где k – уклон наклонной крыши:

$k={h \over r}$.

Если разрезать объем на срезы, параллельные оси Y , то дифференциальный срез, имеющий форму треугольной призмы, будет иметь объем.

$A(x)\,dx$

где

$A(x)={1 \over 2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})$

- площадь прямоугольного треугольника, вершины которого $(x,0,0)$, $(x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)$, и $(x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}})$,и чьи основание и высота, таким образом, ${\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ и $k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$, соответственно.Тогда объем всей цилиндрической копытца равен

$V=\int _{-r}^{r}A(x)\,dx=\int _{-r}^{r}{1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})\,dx$

$\qquad ={1 \over 2}k{\Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{\Big [}{1 \over 3}x^{3}{\Big ]}_{-r}^{r}{\Big )}={1 \over 2}k(2r^{3}-{2 \over 3}r^{3})={2 \over 3}kr^{3}$

что равно

$V={2 \over 3}r^{2}h$

после замены $rk=h$.

Дифференциальная площадь поверхности изогнутой боковой стенки равна

$dA_{s}=kr(\sin \theta )\cdot r\,d\theta =kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta$,

какая площадь принадлежит почти плоскому прямоугольнику, ограниченному вершинами $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)$, $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,kr\sin \theta )$, $(r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),0)$, и $(r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),kr\sin(\theta +d\theta ))$, и чьи ширина и высота при этом равны $r\,d\theta$ и (достаточно близко к) $kr\sin \theta$, соответственно.Тогда площадь поверхности стены равна

$A_{s}=\int _{0}^{\pi }dA_{s}=\int _{0}^{\pi }kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta =kr^{2}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta$

где интеграл дает $-[\cos \theta ]_{0}^{\pi }=-[-1-1]=2$, так что площадь стены равна

$A_{s}=2kr^{2}$,

и замена $rk=h$ урожайность

$A_{s}=2rh$.

Основание цилиндрической копытца имеет площадь поверхности половины круга радиуса r : ${1 \over 2}\pi r^{2}$, а скошенная вершина указанного копытца представляет собой полуэллипс с малой полуосью длиной r и большой полуосью длиной $r{\sqrt {1+k^{2}}}$, так что его площадь равна

$A_{t}={1 \over 2}\pi r\cdot r{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(kr)^{2}}}$

и замена $kr=h$ урожайность

$A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$. ∎

Обратите внимание, как площадь поверхности боковой стенки связана с объемом: такая площадь поверхности равна $2kr^{2}$, умножив его на $dr$ дает объем дифференциальной полуоболочки , интеграл которой равен ${2 \over 3}kr^{3}$, объем.

При наклоне k, равном 1, такая кунгула составляет ровно одну восьмую бицилиндра , объем которого равен ${16 \over 3}r^{3}$. Одна восьмая часть этого ${2 \over 3}r^{3}$.

Конические гвозди

Копытца прямого кругового конуса.

Коническая копытца высотой h , радиусом основания r и наклоном верхней плоской поверхности k (если полукруглое основание находится внизу, на плоскости z = 0) имеет объём

$V={r^{3}kHI \over 6}$

где

$H={1 \over {1 \over h}-{1 \over rk}}$

- высота конуса, из которого вырезана кунгула, и

$I=\int _{0}^{\pi }{2H+kr\sin \theta \over (H+kr\sin \theta )^{2}}\sin \theta \,d\theta$.

Площадь поверхности изогнутой боковой стенки равна

$A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}I$.

В качестве проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда высота конуса стремится к бесконечности, так что в пределе конус становится цилиндром:

$\lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}I-{4 \over H}{\Big )}=\lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}{2H \over H^{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta -{4 \over H}{\Big )}=0$

так что

$\lim _{H\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {4 \over H}={2 \over 3}kr^{3}$,

$\lim _{H\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}H \over 2}\cdot {4 \over H}=2kr^{2}$, и

$\lim _{H\rightarrow \infty }A_{t}={1 \over 2}\pi r^{2}{{\sqrt {1+k^{2}}} \over 1+0}={1 \over 2}\pi r^{2}{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(rk)^{2}}}$,

результаты которого согласуются с цилиндрическим случаем.

Доказательство

Пусть конус описывается формулой

$1-{\rho \over r}={z \over H}$

где r и H — константы, а z и ρ — переменные, причем

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\qquad 0\leq \rho \leq r$

и

$x=\rho \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \theta$.

Пусть конус разрезается плоскостью

$z=ky=k\rho \sin \theta$.

Подстановка этого z в уравнение конуса и решение для ρ дает

$\rho _{0}={1 \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}$

которая для данного значения θ является радиальной координатой точки, общей как для плоскости, так и для конуса, которая находится дальше всего от оси конуса вдоль угла θ от оси x . Цилиндрическая координата высоты этой точки равна

$z_{0}=H{\Big (}1-{\rho _{0} \over r}{\Big )}$.

Таким образом, в направлении угла θ поперечное сечение конической копытца выглядит как треугольник.

$(0,0,0)-(\rho _{0}\cos \theta ,\rho _{0}\sin \theta ,z_{0})-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)$.

Поворот этого треугольника на угол $d\theta$ относительно оси z дает еще один треугольник с $\theta +d\theta$, $\rho _{1}$, $z_{1}$ заменен на $\theta$, $\rho _{0}$, и $z_{0}$ соответственно, где $\rho _{1}$ и $z_{1}$ являются функциями $\theta +d\theta$ вместо $\theta$. С $d\theta$ бесконечно мало, тогда $\rho _{1}$ и $z_{1}$ также бесконечно мало отличаются от $\rho _{0}$ и $z_{0}$, поэтому для целей рассмотрения объема дифференциальной трапециевидной пирамиды их можно считать равными.

Дифференциальная трапециевидная пирамида имеет трапециевидное основание с длиной в основании (конуса) $rd\theta$, длина в верхней части ${\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}rd\theta$и высота ${z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}$, поэтому трапеция имеет площадь

$A_{T}={r\,d\theta +{\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}r\,d\theta \over 2}{z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}=r\,d\theta {(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}$.

Высота от основания трапеции до точки $(0,0,0)$ имеет длину, дифференциально близкую к

${rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

(Это высота одного из боковых треугольников трапециевидной пирамиды.) Объем пирамиды равен одной трети площади ее основания, умноженной на ее вертикальную длину, поэтому объем конической копытца является интегралом от этого:

$V=\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}{rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}r\,d\theta =\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H}d\theta ={r^{2}k \over 6H}\int _{0}^{\pi }(2H-ky_{0})y_{0}\,d\theta$

где

$y_{0}=\rho _{0}\sin \theta ={\sin \theta \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}={1 \over {1 \over r\sin \theta }+{k \over H}}$

Подставив правую часть в интеграл и проделав некоторые алгебраические манипуляции, получим формулу объема, которую необходимо доказать.

Для боковины:

$A_{s}=\int _{0}^{\pi }A_{T}=\int _{0}^{\pi }{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}\,d\theta ={kr{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2H^{2}}\int _{0}^{\pi }(2H-z_{0})y_{0}\,d\theta$

а интеграл в самой правой части упрощается до $H^{2}rI$. ∎

В качестве проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда k стремится к бесконечности; тогда коническое копытце должно стать полуконусом.

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\Big (}I-{\pi \over kr}{\Big )}=0$

$\lim _{k\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}{\Big (}{1 \over 3}\pi r^{2}H{\Big )}$

что составляет половину объема конуса.

$\lim _{k\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}$

что составляет половину площади поверхности изогнутой стенки конуса.

Площадь поверхности верхней части

Когда $k=H/r$, «верхняя часть» (т. е. плоская грань, которая не является полукруглой, как основание) имеет параболическую форму, а площадь ее поверхности равна

$A_{t}={2 \over 3}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}$.

Когда $k<H/r$ тогда верхняя часть имеет эллиптическую форму (т.е. она меньше половины эллипса) и площадь ее поверхности равна

$A_{t}={1 \over 2}\pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){\sqrt {1+k^{2}}}\Lambda$

где

$x_{max}={\sqrt {{k^{2}r^{4}H^{2}-k^{4}r^{6} \over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2}}}$,

$y_{1}={1 \over {1 \over r}+{k \over H}}$,

$y_{m}={kr^{2}H \over k^{2}r^{2}-H^{2}}$,

$\Lambda ={\pi \over 4}-{1 \over 2}\arcsin(1-\lambda )-{1 \over 4}\sin(2\arcsin(1-\lambda ))$, и

$\lambda ={y_{1} \over y_{1}-y_{m}}$.

Когда $k>H/r$ тогда верхняя часть является сечением гиперболы, а площадь ее поверхности равна

$A_{t}={\sqrt {1+k^{2}}}(2Cr-aJ)$

где

$C={y_{1}+y_{2} \over 2}=y_{m}$,

$y_{1}$ как указано выше,

$y_{2}={1 \over {k \over H}-{1 \over r}}$,

$a={r \over {\sqrt {C^{2}-\Delta ^{2}}}}$,

$\Delta ={y_{2}-y_{1} \over 2}$,

$J={r \over a}B+{\Delta ^{2} \over 2}\log {\Biggr |}{{r \over a}+B \over {-r \over a}+B}{\Biggr |}$,

где логарифм натуральный, а

$B={\sqrt {\Delta ^{2}+{r^{2} \over a^{2}}}}$.

См. также

• Сферический клин
• Штейнмец твердый

Внешние ссылки

• Уильям Вогдес (1861). Элементарный трактат по измерению и практической геометрии через Google Книги.