Jump to content

цис (математика)

(Перенаправлено из Сектора (математики) )

цис математическое обозначение , определяемое формулой cis x = cos x + i sin x , [номер 1] где cos функция косинуса , i мнимая единица измерения , а sin функция синуса . x аргумент комплексного числа (угол между линией и точкой и осью x в полярной форме ). Обозначения реже используются в математике, чем формула Эйлера , e ix , который предлагает еще более короткое обозначение для cos x + i sin x , но cis(x) широко используется в качестве названия этой функции в библиотеках программного обеспечения .

Цис - нотация — это сокращение для комбинации функций в правой части формулы Эйлера :

где я 2 = −1 . Так,

[1] [2] [3] [4]

т.е. « цис » — это аббревиатура от « Cos i Sin ».

Он связывает тригонометрические функции с показательными функциями в комплексной плоскости посредством формулы Эйлера. Хотя область определения обычно , комплексные значения возможны также:

поэтому цис- функцию можно использовать для расширения формулы Эйлера до более общей сложной версии . [5]

Функция чаще всего используется в качестве удобной сокращенной записи для упрощения некоторых выражений. [6] [7] [8] например, в сочетании с преобразованиями Фурье и Хартли , [9] [10] [11] или когда показательные функции по какой-то причине не следует использовать в математическом образовании.

В области информационных технологий эта функция имеет специальную поддержку в различных высокопроизводительных математических библиотеках (таких как Math Intel Kernel Library (MKL) [12] или MathCW [13] ), доступный для многих компиляторов и языков программирования (включая C , C++ , [14] Общий Лисп , [15] [16] Д , [17] Хаскелл , [18] Юлия , [19] и ржавчина [20] ). В зависимости от платформы объединенная операция выполняется примерно в два раза быстрее, чем вызов функций синуса и косинуса по отдельности. [17] [3]

Математические тождества

[ редактировать ]

Производная

[ редактировать ]
[1] [21]

Интеграл

[ редактировать ]
[1]

Другие объекты недвижимости

[ редактировать ]

Они следуют непосредственно из формулы Эйлера .

[22]

Приведенные выше тождества справедливы, если x и y — любые комплексные числа. Если x и y действительны, то

[22]

Цис - нотация была впервые введена Уильямом Роуэном Гамильтоном в «Элементах кватернионов» (1866 г.). [23] [24] и впоследствии использовался Ирвингом Стрингхэмом (который также называл его « сектором x ( ») в таких работах, как «Унипланарная алгебра» 1893), [25] [26] Джеймс Харкнесс и Фрэнк Морли в своем «Введении в теорию аналитических функций» (1898 г.), [26] [27] или Джорджа Эшли Кэмпбелла (который также называл это «цисоидальным колебанием») в его работах о линиях передачи (1901 г.) и интегралах Фурье (1928 г.). [28] [29] [30]

В 1942 году, вдохновленный цис- нотацией, Ральф В.Л. Хартли представил функцию cas (для косинуса и синуса с действительным знаком ) для ядра Хартли , тем временем установленный ярлык в сочетании с преобразованиями Хартли : [31] [32]

Мотивация

[ редактировать ]

Обозначение цис иногда используется, чтобы подчеркнуть один метод рассмотрения и решения проблемы по сравнению с другим. [33] Математика тригонометрии и экспоненты связаны, но не совсем одинаковы; Экспоненциальное обозначение подчеркивает целое, тогда как обозначения цис x и cos x + i sin x подчеркивают части. Это может быть риторически полезно математикам и инженерам при обсуждении этой функции, а также служить мнемоникой ( для cos + i sin ). [30]

Обозначение цис удобно для студентов-математиков, чьи знания тригонометрии и комплексных чисел позволяют использовать это обозначение, но чье концептуальное понимание еще не позволяет использовать обозначение e. ix . Когда учащиеся изучают концепции, основанные на предшествующих знаниях, важно не заставлять их изучать математику на тех уровнях, к которым они еще не готовы: обычное доказательство того, что цис x = e ix требует исчисления , которое студент, возможно, не изучал до того, как встретил выражение cos x + i sin x .

Это обозначение было более распространено, когда пишущие машинки использовались для передачи математических выражений.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Здесь я относится к мнимой математики единице . Поскольку i обычно используется для обозначения электрического тока в электротехнике и системах управления , в этих контекстах мнимая единица альтернативно обозначается j вместо i . Независимо от контекста, это не влияет на установленное имя функции как cis .
  1. ^ Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик Вольфганг (2015) [2000]. «Цис» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 27 января 2016 г. Проверено 9 января 2016 г.
  2. ^ Симмонс, Брюс (28 июля 2014 г.) [2004]. «Цис» . Mathwords: термины и формулы от алгебры I до исчисления . Орегон-Сити, Орегон, США: Общественный колледж Клакамас , математический факультет. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  3. ^ Перейти обратно: а б «Обоснование международного стандарта — языки программирования — C» (PDF) . 5.10. Апрель 2003 г., стр. 114, 117, 183, 186–187. Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 17 октября 2010 г.
  4. ^ Аманн, Герберт [в Викиданных] ; Эшер, Иоахим [на немецком языке] (2006). Анализ И. Фундаментальные исследования по математике (на немецком языке) (3-е изд.). Базель, Швейцария: Birkhäuser Verlag . стр. 292, 298. ISBN.  978-3-76437755-7 . ISBN   3-76437755-0 . (445 страниц)
  5. ^ Московиц, Мартин А. (2002). «Глава 1. Первые понятия» . Написано в Центре аспирантуры Городского университета Нью-Йорка, Нью-Йорк, США. Курс комплексного анализа по одной переменной . Сингапур: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО с. 7. ISBN  981-02-4780-Х . (ix+149 страниц)
  6. ^ Своковски, граф Уильям [в Викиданных] ; Коул, Джеффри (2011). Предварительное исчисление: функции и графики . Серия Precalculus (12-е изд.). Cengage Обучение . ISBN  978-0-84006857-6 . Проверено 18 января 2016 г.
  7. ^ Рейс, Клайв (2011). Абстрактная алгебра: введение в группы, кольца и поля (1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, стр. 434–438. ISBN  978-9-81433564-5 .
  8. ^ Вайц, Эдмунд [на немецком языке] (2016). «Основная теорема алгебры – наглядное доказательство» . Гамбург, Германия: Гамбургский университет прикладных наук (HAW), факультет Medientechnik. Архивировано из оригинала 3 августа 2019 г. Проверено 3 августа 2019 г.
  9. ^ Л.-Рундблад, Екатерина; Майдан, Алексей; Новак, Питер; Лабунец, Валерий (2004). «Быстрые цветовые преобразования вейвлета-Хаара-Хартли-Прометея для обработки изображений». Написано в Prometheus Inc., Ньюпорт, США. В Бирнсе, Джим (ред.). Вычислительная некоммутативная алгебра и приложения (PDF) . Серия научных исследований НАТО II: математика, физика и химия (NAII). Том. 136. Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media, Inc., стр. 401–411. дои : 10.1007/1-4020-2307-3 . ISBN  978-1-4020-1982-1 . ISSN   1568-2609 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2017 г. Проверено 28 октября 2017 г.
  10. ^ Каммлер, Дэвид В. (17 января 2008 г.). Первый курс анализа Фурье (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-13946903-6 . Проверено 28 октября 2017 г.
  11. ^ Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (14 ноября 2016 г.). Дробная тригонометрия: с приложениями к дробным дифференциальным уравнениям и науке . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-1-11913942-3 . Проверено 28 октября 2017 г.
  12. ^ «В?СНГ». Справочник разработчика по библиотеке ядра Intel Math Kernel (Intel MKL) 2017 — C. документация МКЛ; Библиотека документации IDZ. Корпорация Интел . 06.09.2016. п. 1799. 671504 . Проверено 15 января 2016 г.
  13. ^ Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава 15.2. Комплексная абсолютная величина». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 443. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN  978-3-319-64109-6 . LCCN   2017947446 . S2CID   30244721 .
  14. ^ «Справочник по компилятору Intel C++» (PDF) . Корпорация Интел . 2007 [1996]. стр. 34, 59–60. 307777-004США. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  15. ^ «СНГ» . Общая гиперспецификация Lisp . Компания «Арлекин Групп Лимитед» . 1996. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  16. ^ «СНГ» . LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  17. ^ Перейти обратно: а б "std.math: экспи" . Язык программирования D. Цифровой Марс . 11 января 2016 г. [2000]. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 14 января 2016 г.
  18. ^ «СНГ» . Ссылка на Хаскель . ЗВОН. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  19. ^ «Математика. Математические операторы» . Язык Джулии . Архивировано из оригинала 19 августа 2020 г. Проверено 5 декабря 2019 г.
  20. ^ «Структура num_complex::Complex» . Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2022 г.
  21. ^ Фукс, Мартин (2011). «Глава 11: Дифференцируемость функций». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Кафедра 6.1 математики, Саарский университет , Германия. стр. 3, 13. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  22. ^ Перейти обратно: а б Фукс, Мартин (2011). «Глава 8.IV: Специальные функции – Тригонометрические функции». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Кафедра 6.1 математики, Саарский университет , Германия. стр. 16–20. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
  23. ^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1 января 1866 г.). «Книга II, Глава II. Дробные полномочия, Общие корни единства» . Написано в Дублине, Ирландия. В Гамильтоне, Уильям Эдвин (ред.). Элементы кватернионов (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. , University Press , Майкл Генри Гилл . стр. 250–257, 260, 262–263 . Проверено 17 января 2016 г. стр. 250, 252: [...] cos [...] + i sin [...] мы будем иногда сокращать до следующего: [...] цис [...]. Что касается знаков [...], их следует рассматривать в основном как доступные для настоящего изложения системы и нечасто востребованные и не используемые в последующей практике ее ; и то же самое замечание относится и к недавнему сокращению цис, для cos + i sin [...] ( [1] , [2] [3] ) (NB. Эта работа была опубликована посмертно, Гамильтон умер в 1865 году.)
  24. ^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1899) [1866-01-01]. Гамильтон, Уильям Эдвин ; Джоли, Чарльз Джаспер (ред.). Элементы кватернионов . Том. Я (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. 262 . Проверено 3 августа 2019 г. п. 262: [...] недавнее сокращение cis для cos + i sin [...] (NB. Это издание было переиздано издательством Chelsea Publishing Company в 1969 году.)
  25. ^ Стрингем, Ирвинг (1 июля 1893 г.) [1891]. Унипланарная алгебра, являющаяся частью 1 пропедевтики высшего математического анализа . Том. 1. CA Mordock & Co. (принтер) (1-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния, США: Berkeley Press . С. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Проверено 18 января 2016 г. п. 71: В качестве сокращения для cos θ + i sin θ удобно использовать cis θ , что можно прочитать: сектор θ .
  26. ^ Перейти обратно: а б Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений . Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, Иллинойс, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 133. ИСБН  978-1-60206-714-1 . Проверено 18 января 2016 г. п. 133: Стрингхэм обозначил cos β + i sin β через «цис β », обозначение, также используемое Харкнессом и Морли . (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
  27. ^ Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1898). Введение в теорию аналитических функций (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan and Company . стр. 18 , 22, 48, 52, 170. ISBN.  978-1-16407019-1 . Проверено 18 января 2016 г. (Примечание. ISBN для переиздания Kessinger Publishing , 2010 г.)
  28. ^ Кэмпбелл, Джордж Эшли (1903) [1901-06-07]. «Глава XXX. О загруженных линиях телефонной связи» (PDF) . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Ряд 6. 5 (27). Тейлор и Фрэнсис : 313–330. дои : 10.1080/14786440309462928 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 16 июля 2023 г. (2+18 страниц)
  29. ^ Кэмпбелл, Джордж Эшли (апрель 1911 г.). «Цисоидальные колебания» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков . ХХХ (1–6). Американский институт инженеров-электриков : 789–824. дои : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 . S2CID   51647814 . Проверено 24 июня 2023 г. (37 страниц)
  30. ^ Перейти обратно: а б Кэмпбелл, Джордж Эшли (1 октября 1928 г.) [13 сентября 1927 г.]. «Практическое применение интеграла Фурье» (PDF) . Технический журнал Bell System . 7 (4). Американская телефонная и телеграфная компания : 639–707 [641]. дои : 10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x . S2CID   53552671 . Проверено 24 июня 2023 г. п. 641: Однако почти с самого начала было признано, что форма, которая лучше всего сочетает в себе математическую простоту и полную общность, использует экспоненциальную осциллирующую функцию e. я футов . Совсем недавно было общепризнано подавляющее преимущество использования этой колебательной функции при обсуждении синусоидальных колебательных систем. Поэтому ясно, что эту колебательную функцию следует принять в качестве основного колебания для обеих предложенных таблиц. Желательным кажется название этого колебания, связывающее его с синусами и косинусами, а не с реальной показательной функцией. Аббревиатура cis x (cos x + i sin x ) предполагает, что мы называем эту функцию цис или цисоидальным колебанием. (69 страниц)
  31. ^ Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи» . Труды ИРЭ . 30 (3). Институт радиоинженеров : 144–150. дои : 10.1109/JRPROC.1942.234333 . S2CID   51644127 . Архивировано из оригинала 5 апреля 2019 г. Проверено 16 июля 2023 г.
  32. ^ Брейсвелл, Рональд Н. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN  978-0-07303938-1 .
  33. ^ Диль, Кристина; Леупп, Марсель (январь 2010 г.). Комплексные числа: Руководство по математике (PDF) (на немецком языке). Базель и Херизау, Швейцария: Швейцарский федеральный технологический институт Цюриха (ETH). п. 41. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2017 г. п. 41: [...] Но, пожалуйста, не забывайте, что е Для нас пока это просто обозначение указателя единицы измерения с углом φ . В других книгах вместо e часто используется выражение cis( φ ). использовал. [...] (109 страниц)
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e039985b38dbd8b7368ac7dafcccbc8d__1721797680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e0/8d/e039985b38dbd8b7368ac7dafcccbc8d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
cis (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)