Формула де Муавра

В математике ) утверждает , формула Муавра (также известная как теорема Муавра и тождество Муавра что для любого действительного числа $x$ и целого числа $n$ выполняется соотношение

{\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,

где $я$ — мнимая единица измерения ( $i 2 = -1$ ). Формула названа в честь Авраама де Муавра , хотя он никогда не утверждал ее в своих работах. ^{[ 1 ]} Выражение $cos x + i sin x$ иногда сокращается до $cis x$ .

Формула важна, поскольку она связывает комплексные числа и тригонометрию . Раскрыв левую часть и затем сравнив действительную и мнимую части в предположении, что $x$ действительно, можно вывести полезные выражения для $cos nx$ и $sin nx$ через $cos x$ и $sin x$ .

Как написано, формула недействительна для нецелых степеней $n$ . Однако существуют обобщения этой формулы, справедливые и для других показателей. Их можно использовать для получения явных выражений для $корней n-й$ степени из единицы , то есть комплексных чисел $z$ таких, что $z н = 1$ .

Используя стандартные расширения функций синуса и косинуса для комплексных чисел, формула действительна, даже если $x$ — произвольное комплексное число.

Пример

Для $x=30^{\circ }$ и $n=2$ , формула де Муавра утверждает, что $\left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),$ или, что эквивалентно, что $\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.$ В этом примере легко проверить справедливость уравнения, умножив левую часть.

Связь с формулой Эйлера

Формула Де Муавра является предшественником формулы Эйлера. $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ где $x$ выражен в радианах, а не в градусах , что устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией.

Формулу де Муавра можно вывести, используя формулу Эйлера и экспоненциальный закон для целых степеней.

\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},

поскольку из формулы Эйлера следует, что левая часть равна $\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}$ а правая часть равна $\cos nx+i\sin nx.$

Доказательство по индукции

Истинность теоремы де Муавра можно установить с помощью математической индукции для натуральных чисел и оттуда распространить на все целые числа. Для целого числа $n$ вызовите следующий оператор $S(n)$ :

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

При $n > 0$ действуем методом математической индукции . $S(1)$ очевидно верно. В рамках нашей гипотезы мы предполагаем, $что S(k)$ истинно для некоторого натурального $k$ . То есть мы предполагаем

\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.

Теперь, учитывая $S(k + 1)$ :

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{by the induction hypothesis}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{by the trigonometric identities}}\end{alignedat}}

См. тождества суммы углов и разностей .

Мы приходим к выводу, что $из S(k)$ следует $S(k + 1)$ . По принципу математической индукции следует, что результат верен для всех натуральных чисел. Теперь $S(0)$ очевидно верно, поскольку $cos(0 x) + i sin(0 x) = 1 + 0 i = 1$ . Наконец, для случаев отрицательных целых чисел мы рассматриваем показатель степени $- n$ для натурального $n$ .

{\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos nx-i\sin nx\qquad \qquad (*)\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\\\end{aligned}}

Уравнение (*) является результатом тождества

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},

для $z знак равно потому что nx + я грех nx$ . Следовательно, $S(n)$ выполняется для всех целых чисел $n$ .

Формулы косинуса и синуса по отдельности

Для равенства комплексных чисел необходимо равенство как действительных , так и мнимых частей обоих членов уравнения. Если $x$ , а следовательно, $cos x$ и $sin x$ , являются действительными числами , то тождество этих частей можно записать с помощью биномиальных коэффициентов . Эту формулу дал французский математик XVI века Франсуа Виет :

{\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}

В каждом из этих двух уравнений окончательная тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, таким образом удаляя половину записей в каждой из сумм. Эти уравнения на самом деле справедливы даже для комплексных значений $x$ , поскольку обе части являются целыми (то есть голоморфными на всей комплексной плоскости ) функциями $x$ , и две такие функции, совпадающие на действительной оси, обязательно совпадают везде. Вот конкретные примеры этих уравнений для $n = 2$ и $n = 3$ :

{\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}

Правая часть формулы для $cos nx$ фактически представляет собой значение $T n (cos x)$ полинома Чебышева $T n$ в точке $cos x$ .

Неспособность к нецелым степеням и обобщение

Формула Де Муавра не справедлива для нецелых степеней. Вывод приведенной выше формулы де Муавра включает в себя комплексное число, возведенное в целую степень $n$ . Если комплексное число возводится в нецелую степень, результат становится многозначным (см. неверные тождества степени и логарифма ).

Корни комплексных чисел

Скромное расширение версии формулы де Муавра, приведенной в этой статье, можно использовать для нахождения корней $n$ - й степени комплексного числа для ненулевого целого числа $n$ . (Это эквивалентно возведению в степень $1/ n$ ).

Если $z$ — комплексное число, записанное в полярной форме как

z=r\left(\cos x+i\sin x\right),

тогда $корни n-й$ степени из $z$ имеют вид

r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)

где $k$ изменяется в целочисленных значениях от 0 до $| п | - 1$ .

Эту формулу также иногда называют формулой Муавра. ^{[ 2 ]}

Комплексные числа, возведенные в произвольную степень

Как правило, если $z=r\left(\cos x+i\sin x\right)$ (в полярной форме) и $w$ — произвольные комплексные числа, то набор возможных значений равен $z^{w}=r^{w}\left(\cos x+i\sin x\right)^{w}=\lbrace r^{w}\cos(xw+2\pi kw)+ir^{w}\sin(xw+2\pi kw)|k\in \mathbb {Z} \rbrace \,.$ (Обратите внимание, что если $w$ — рациональное число , равное $p / q$ в наименьших терминах , то этот набор будет иметь ровно $q$ различных значений, а не бесконечно много. В частности, если $w$ — целое число, тогда набор будет иметь ровно одно значение, как ранее обсуждается.) Напротив, формула де Муавра дает $r^{w}(\cos xw+i\sin xw)\,,$ что является единственным значением из этого набора, соответствующим $k = 0$ .

Аналоги в других настройках

Гиперболическая тригонометрия

Поскольку $cosh x + sinh x = e х$ , аналог формулы де Муавра применим и к гиперболической тригонометрии . Для всех целых $n$ чисел

$(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.$

Если $n$ — рациональное число (но не обязательно целое), то $cosh nx + sinh nx$ будет одним из значений $(cosh x + sinh x) н$ . ^{[ 3 ]}

Расширение для комплексных чисел

Для любого целого числа $n$ формула справедлива для любого комплексного числа $z=x+iy$

(\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.

где

{\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}

Кватернионы

Для нахождения корней кватерниона существует аналогичная форма формулы де Муавра. Кватернион в форме

d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}}

можно представить в виде

q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .

В этом представлении

k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},

а тригонометрические функции определяются как

\cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.

В случае, $если 2 + б 2 + с 2 \neq 0$ ,

\varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},

то есть единичный вектор. Это приводит к изменению формулы Де Муавра:

q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).

^{[ 4 ]}

Пример

Чтобы найти корни кубические

Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,

запишите кватернион в виде

Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.

Тогда кубические корни определяются как:

{\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.

матрицы 2 × 2

С матрицами, ${\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &-\sin n\phi \\\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}$ когда $n$ является целым числом. Это прямое следствие изоморфизма матриц типа ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$ и сложная плоскость .

Ссылки

Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 74 . ISBN 0-486-61272-4 . .

^ Лиал, Маргарет Л.; Хорнсби, Джон; Шнайдер, Дэвид И.; Кэлли Дж., Дэниелс (2008). Студенческая алгебра и тригонометрия (4-е изд.). Бостон: Пирсон/Эддисон Уэсли. п. 792. ИСБН 9780321497444 .
^ «Формула Де Муавра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Мукхопадьяй, Утпал (август 2006 г.). «Некоторые интересные особенности гиперболических функций». Резонанс . 11 (8): 81–85. дои : 10.1007/BF02855783 . S2CID 119753430 .
^ Бранд, Луи (октябрь 1942 г.). «Корни кватерниона». Американский математический ежемесячник . 49 (8): 519–520. дои : 10.2307/2302858 . JSTOR 2302858 .

Внешние ссылки

Теорема Де Муавра для тригонометрических тождеств Майкла Краучера, Демонстрационный проект Wolfram .

Послушайте эту статью ( 18 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 5 июня 2021 г. и не отражает последующие изменения.

[1] Лиал, Маргарет Л.; Хорнсби, Джон; Шнайдер, Дэвид И.; Кэлли Дж., Дэниелс (2008). Студенческая алгебра и тригонометрия (4-е изд.). Бостон: Пирсон/Эддисон Уэсли. п. 792. ИСБН 9780321497444 .

[2] «Формула Де Муавра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[3] Мукхопадьяй, Утпал (август 2006 г.). «Некоторые интересные особенности гиперболических функций». Резонанс . 11 (8): 81–85. дои : 10.1007/BF02855783 . S2CID 119753430 .

[4] Бранд, Луи (октябрь 1942 г.). «Корни кватерниона». Американский математический ежемесячник . 49 (8): 519–520. дои : 10.2307/2302858 . JSTOR 2302858 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]