Преобразование Хартли

В математике ( преобразование Хартли HT ) — это интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье (FT), но которое преобразует вещественные функции в вещественные функции. Он был предложен в качестве альтернативы преобразованию Фурье Ральфом В.Л. Хартли в 1942 году. ^[1] и является одним из многих известных преобразований Фурье . По сравнению с преобразованием Фурье, преобразование Хартли имеет преимущества, заключающиеся в преобразовании действительных функций в действительные функции (в отличие от требования комплексных чисел ) и в том, что они являются обратными для себя.

Дискретная версия преобразования, дискретное преобразование Хартли (DHT), была представлена Рональдом Н. Брейсвеллом в 1983 году. ^[2]

Двумерное преобразование Хартли можно вычислить с помощью аналогового оптического процесса, аналогичного оптическому преобразованию Фурье (OFT), с предлагаемым преимуществом, заключающимся в том, что необходимо определять только его амплитуду и знак, а не его комплексную фазу. ^[3] Однако оптические преобразования Хартли, похоже, не получили широкого распространения.

Определение

Преобразование Хартли функции $f(t)$ определяется:

$H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,$

где $\omega$ в приложениях может быть угловой частотой и

$\operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,$

представляет собой косинус-синус (cas) или ядро Хартли . С инженерной точки зрения это преобразование переводит сигнал (функцию) из временной области в спектральную область Хартли (частотную область).

Обратное преобразование

Преобразование Хартли имеет удобное свойство быть обратным (инволюцией ) :

$f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\,.$

Конвенции

Вышеизложенное соответствует исходному определению Хартли, но (как и в случае с преобразованием Фурье) различные мелкие детали являются условными и могут быть изменены без изменения основных свойств:

Вместо использования одного и того же преобразования для прямого и обратного преобразования можно удалить ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ от прямого преобразования и использования ${1}/{2\pi }$ для обратного - или, действительно, любая пара нормировок, продукт которой равен ${1}/{2\pi }$ . (Такие асимметричные нормализации иногда встречаются как в чисто математическом, так и в инженерном контексте.)
Можно также использовать $2\pi \nu t$ вместо $\omega t$ (т.е. частота вместо угловой частоты), и в этом случае ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ коэффициент полностью опущен.
Можно использовать $\cos -\sin$ вместо $\cos +\sin$ как ядро.

Связь с преобразованием Фурье

Это преобразование отличается от классического преобразования Фурье. $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )$ в выборе ядра. В преобразовании Фурье мы имеем экспоненциальное ядро: $\exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t)$ , где $\mathrm {i}$ это мнимая единица .

Однако эти два преобразования тесно связаны, и преобразование Фурье (при условии, что оно использует одно и то же $1/{\sqrt {2\pi }}$ соглашение о нормализации) можно вычислить с помощью преобразования Хартли с помощью:

$F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}\,.$

То есть действительная и мнимая части преобразования Фурье просто задаются четной и нечетной частями преобразования Хартли соответственно.

И наоборот, для вещественных функций $f(t)$ , преобразование Хартли получается из действительной и мнимой частей преобразования Фурье:

$\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+\mathrm {i} )\}\,,$

где $\Re$ и $\Im$ обозначают действительную и мнимую части.

Характеристики

Преобразование Хартли является действительным линейным оператором и является симметричным (и эрмитовым ). Из свойств симметричности и самообратности следует, что преобразование является унитарным оператором (действительно, ортогональным ).

Свертка с использованием преобразований Хартли ^[4] $f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}$ где $F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )$ и $G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )$

Подобно преобразованию Фурье, преобразование Хартли четной/нечетной функции является четным/нечетным соответственно.

Кас

Свойства ядра Хартли , для которого Хартли в 1942 году ввёл название cas функции (от косинуса и синуса ), ^[1]^[5] следуют непосредственно из тригонометрии и ее определения как сдвинутой по фазе тригонометрической функции $\operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)$ . Например, он имеет идентичность сложения углов:

$2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b)\,.$

Кроме того:

$\operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,,$

и его производная определяется выражением:

$\operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a)\,.$

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи» . Труды ИРЭ . 30 (3): 144–150. дои : 10.1109/JRPROC.1942.234333 . S2CID 51644127 .
^ Брейсвелл, Рональд Н. (1983). «Дискретное преобразование Хартли». Журнал Оптического общества Америки . 73 (12): 1832–1835. дои : 10.1364/JOSA.73.001832 . S2CID 120611904 .
^ Вилласенор, Джон Д. (1994). «Оптические преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 391–399. дои : 10.1109/5.272144 .
^ Олейничак (2010). «Трансформация Хартли». В Пуларикасе (ред.). Справочник по преобразованиям и приложениям (3-е изд.). ЦРК Пресс. Уравнение (4.54)
^ Брейсвелл, Рональд Н. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07303938-1 . (Примечание. Второе издание также переведено на японский и польский языки.)

Брейсвелл, Рональд Н. (1986). Написано в Стэнфорде, Калифорния, США. Преобразование Хартли . Оксфордская серия инженерных наук. Том. 19 (1-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6 . (Примечание. Также переведено на немецкий и русский языки.)
Брейсвелл, Рональд Н. (1994). «Аспекты преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 381–387. дои : 10.1109/5.272142 .
Миллейн, Рик П. (1994). «Аналитические свойства преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 413–428. дои : 10.1109/5.272146 .

Дальнейшее чтение

Олнейничак, Крейг Дж.; Хейдт, Джеральд Т., ред. (март 1994 г.). «Сканирование специального раздела преобразования Хартли» . Специальный выпуск о преобразовании Хартли . Том. 82. Труды IEEE . стр. 372–380 . Проверено 31 октября 2017 г. (Примечание. Содержит обширную библиографию.)

[Hartley_1942-1] Jump up to: ^а ^б Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи» . Труды ИРЭ . 30 (3): 144–150. дои : 10.1109/JRPROC.1942.234333 . S2CID 51644127 .

[Bracewell_1983-2] Брейсвелл, Рональд Н. (1983). «Дискретное преобразование Хартли». Журнал Оптического общества Америки . 73 (12): 1832–1835. дои : 10.1364/JOSA.73.001832 . S2CID 120611904 .

[Villasenor_1994-3] Вилласенор, Джон Д. (1994). «Оптические преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 391–399. дои : 10.1109/5.272144 .

[4] Олейничак (2010). «Трансформация Хартли». В Пуларикасе (ред.). Справочник по преобразованиям и приложениям (3-е изд.). ЦРК Пресс. Уравнение (4.54)

[Bracewell_1999-5] Брейсвелл, Рональд Н. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07303938-1 . (Примечание. Второе издание также переведено на японский и польский языки.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]