Дробное преобразование Фурье

В математике , в области гармонического анализа , дробное преобразование Фурье ( FRFT ) представляет собой семейство линейных преобразований, обобщающих преобразование Фурье . Его можно рассматривать как преобразование Фурье в n -й степени, где n не обязательно должно быть целым числом — таким образом, оно может преобразовать функцию в любую промежуточную область между временем и частотой . Его области применения варьируются от проектирования фильтров и анализа сигналов до восстановления фазы и распознавания образов .

FRFT может использоваться для определения дробной свертки , корреляции и других операций, а также может быть дополнительно обобщен в линейное каноническое преобразование (LCT). Раннее определение FRFT было предложено Кондоном . путем решения функции Грина для вращений фазового пространства, а также Намиаса, обобщающая работа Винера о полиномах Эрмита .

Однако он не получил широкого признания в обработке сигналов, пока примерно в 1993 году он не был независимо повторно представлен несколькими группами. С тех пор наблюдается всплеск интереса к расширению теоремы выборки Шеннона. для сигналов, полоса которых ограничена в области дробного Фурье.

Совершенно другое значение для «дробного преобразования Фурье» было введено Бейли и Шварцтраубером. по сути, это другое название для z-преобразования , и в частности для случая, который соответствует дискретному преобразованию Фурье, сдвинутому на дробную величину в частотном пространстве (умножая входные данные на линейный чирп ) и оценивая на дробном наборе частотных точек ( например, учитывая только небольшую часть спектра). (Такие преобразования могут быть эффективно оценены с помощью алгоритма Блюстейна БПФ .) Однако эта терминология вышла из употребления в большинстве технической литературы, отдав предпочтение FRFT. Оставшаяся часть этой статьи описывает FRFT.

Введение

Непрерывное преобразование Фурье ${\mathcal {F}}$ функции $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C}$ является унитарным оператором $L^{2}$ пространство , отображающее функцию $f$ к его частой версии ${\hat {f}}$ (все выражения взяты из $L^{2}$ смысл, а не точечно):

$${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x$$

и $f$ определяется ${\hat {f}}$ через обратное преобразование ${\mathcal {F}}^{-1}\,,$

$$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi \,.$$

Изучим его n -ю итерацию ${\mathcal {F}}^{n}$ определяется ${\mathcal {F}}^{n}[f]={\mathcal {F}}[{\mathcal {F}}^{n-1}[f]]$ и ${\mathcal {F}}^{-n}=({\mathcal {F}}^{-1})^{n}$ когда n является неотрицательным целым числом, и ${\mathcal {F}}^{0}[f]=f$. Их последовательность конечна, поскольку ${\mathcal {F}}$ является 4-периодическим автоморфизмом : для каждой функции $f$, ${\mathcal {F}}^{4}[f]=f$.

Точнее, введем оператор четности ${\mathcal {P}}$ который переворачивает $x$, ${\mathcal {P}}[f]\colon x\mapsto f(-x)$. Тогда выполняются следующие свойства:

$${\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id}$$

$${\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}.$$

FRFT предоставляет семейство линейных преобразований, которые расширяют это определение для обработки нецелых степеней. $n=2\alpha /\pi$ ФТ.

Определение

Примечание: некоторые авторы записывают преобразование в терминах «порядка a » вместо «угла α », и в этом случае α обычно равно a , умноженному на π /2 . Хотя эти две формы эквивалентны, следует внимательно относиться к тому, какое определение использует автор.

Для любого вещественного α дробное преобразование Фурье по углу α функции ƒ обозначается через ${\mathcal {F}}_{\alpha }(u)$ и определяется

${\mathcal {F}}_{\alpha }[f](u)={\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}e^{i\pi \cot(\alpha )u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha )ux-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x$

Формально эта формула действительна только тогда, когда входная функция находится в достаточно хорошем пространстве (например, L1 или пространстве Шварца ) и определяется через аргумент плотности, аналогично обычному преобразованию Фурье (см. статью), в общем случае.

Если α является целым числом, кратным π, то приведенные выше функции котангенса и косеканса расходятся. Однако это можно решить, взяв предел , и это приводит к дельта-функции Дирака в подынтегральной функции. Более непосредственно, поскольку ${\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)~,~~{\mathcal {F}}_{\alpha }~(f)$ должно быть просто f ( t ) или f (− t ) для α, четного или нечетного кратного π соответственно.

Для α = π /2 это в точности определение непрерывного преобразования Фурье, а для α = − π /2 это определение обратного непрерывного преобразования Фурье.

Аргумент FRFT u не является ни пространственным x , ни частотой ξ . Мы увидим, почему его можно интерпретировать как линейную комбинацию обеих координат ( x , ξ ) . Когда мы хотим выделить α -угловую дробную область, мы будем считать $x_{a}$ обозначим аргумент ${\mathcal {F}}_{\alpha }$.

Примечание: при использовании угловой частоты ω вместо частотной формула FRFT представляет собой ядро ​​Мелера ,

$${\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.$$

Свойства

Оператор α -го порядка: дробного преобразования Фурье ${\mathcal {F}}_{\alpha }$, имеет свойства:

Аддитивность

Для любых вещественных углов α, β ,

$${\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.$$

Линейность

$${\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]$$

Целочисленные ордера

Если α является целым числом, кратным $\pi /2$, затем:

$${\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{k\pi /2}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}$$

Более того, оно имеет следующее соотношение

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}$$

Инверсия

$$({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }$$

Коммутативность

$${\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}$$

Ассоциативность

$$\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)$$

Унитарность

$$\int f(t)g^{*}(t)dt=\int f_{\alpha }(u)g_{\alpha }^{*}(u)du$$

Обратное время

$${\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}{\mathcal {F}}_{\alpha }$$

$${\mathcal {F}}_{\alpha }[f(-u)]=f_{\alpha }(-u)$$

Преобразование сдвинутой функции

См. Также: Обобщения матриц Паули § Конструкция: матрицы часов и сдвига.

Определим операторы сдвига и фазового сдвига следующим образом:

$${\begin{aligned}{\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]&=f(u+u_{0})\\{\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]&=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)\end{aligned}}$$

Затем

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha ){\mathcal {F}}_{\alpha },\end{aligned}}$$

то есть,

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}$$

Преобразование масштабированной функции

Определите операторы масштабирования и чирп-умножения следующим образом:

$${\begin{aligned}M(M)[f(u)]&=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\\Q(q)[f(u)]&=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)\end{aligned}}$$

Затем,

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что дробное преобразование Фурье $f(u/M)$ не может быть выражено как масштабированная версия $f_{\alpha }(u)$. Скорее, дробное преобразование Фурье $f(u/M)$ оказывается масштабированной и модулированной версией $f_{\alpha '}(u)$ где $\alpha \neq \alpha '$ это другой порядок.

Дробное ядро

FRFT — это интегральное преобразование .

$${\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x$$

где ядро ​​α-угла

$$K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}$$

Здесь снова особые случаи согласуются с предельным поведением, когда α приближается к кратному π .

FRFT имеет те же свойства, что и его ядра:

• симметрия: $K_{\alpha }~(u,u')=K_{\alpha }~(u',u)$
• обратный: $K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)$
• аддитивность: $K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.$

Связанные преобразования

Также существуют родственные дробные обобщения подобных преобразований, такие как дискретное преобразование Фурье .

• Дискретное дробное преобразование Фурье определено Зеевым Залевским . Квантовый алгоритм для реализации версии дискретного дробного преобразования Фурье за ​​субполиномиальное время описан Соммой.
• Дробное вейвлет-преобразование (FRWT) является обобщением классического вейвлет-преобразования в областях дробного преобразования Фурье.
• для Преобразование чирплета родственного обобщения вейвлет-преобразования .

Обобщения

Преобразование Фурье по существу является бозонным ; он работает, потому что согласуется с принципом суперпозиции и связанными с ним интерференционными картинами. Существует также фермионное преобразование Фурье. Они были обобщены на суперсимметричное FRFT и суперсимметричное преобразование Радона . Существует также дробное преобразование Радона, симплектическое FRFT и симплектическое вейвлет-преобразование . Поскольку квантовые схемы основаны на унитарных операциях , они полезны для вычисления интегральных преобразований , поскольку последние являются унитарными операторами в функциональном пространстве . Была разработана квантовая схема, реализующая FRFT.

Интерпретация

Дополнительная информация: Линейное каноническое преобразование.

Продолжительность: 8 секунд. 0:08

Функция rect превращается в функцию sinc, когда порядок дробного преобразования Фурье становится равным 1.

Обычно преобразование Фурье интерпретируется как преобразование сигнала временной области в сигнал частотной области. С другой стороны, интерпретация обратного преобразования Фурье заключается в преобразовании сигнала частотной области в сигнал временной области. Дробные преобразования Фурье преобразуют сигнал (либо во временной, либо в частотной области) в область между временем и частотой: это вращение во временной области . Эта точка зрения обобщается линейным каноническим преобразованием , которое обобщает дробное преобразование Фурье и допускает линейные преобразования частотно-временной области, отличные от вращения.

В качестве примера возьмите рисунок ниже. Если сигнал во временной области имеет прямоугольную форму (как показано ниже), он становится функцией sinc в частотной области. Но если применить дробное преобразование Фурье к прямоугольному сигналу, результат преобразования будет находиться в области между временем и частотой.

Дробное преобразование Фурье

Дробное преобразование Фурье представляет собой операцию вращения частотно -временного распределения . Согласно приведенному выше определению, для α = 0 не будет никаких изменений после применения дробного преобразования Фурье, тогда как для α = π /2 дробное преобразование Фурье становится простым преобразованием Фурье, которое вращает частотно-временное распределение с π / 2. Для другого значения α дробное преобразование Фурье вращает частотно-временное распределение в соответствии с α. На следующем рисунке показаны результаты дробного преобразования Фурье с различными значениями α .

Распределение времени/частоты дробного преобразования Фурье

См. также: Частотно-временной анализ.

Приложение

Дробное преобразование Фурье можно использовать в частотно-временном анализе и DSP . Полезно фильтровать шум, но с условием, что он не перекрывается с полезным сигналом в частотно-временной области. Рассмотрим следующий пример. Мы не можем применить фильтр напрямую для устранения шума, но с помощью дробного преобразования Фурье мы можем сначала повернуть сигнал (включая полезный сигнал и шум). Затем мы применяем специальный фильтр, который пропускает только нужный сигнал. Таким образом шум будет удален полностью. Затем мы снова используем дробное преобразование Фурье, чтобы повернуть сигнал обратно и получить желаемый сигнал.

Дробное преобразование Фурье в DSP

Таким образом, используя только усечение во временной области или, что то же самое, фильтры нижних частот в частотной области, можно вырезать любое выпуклое множество в частотно-временном пространстве. Напротив, использование инструментов временной или частотной области без дробного преобразования Фурье позволит вырезать только прямоугольники, параллельные осям.

Дробные преобразования Фурье также имеют приложения в квантовой физике. Например, они используются для формулирования соотношений энтропийной неопределенности, в многомерных схемах распределения квантовых ключей с одиночными фотонами, и в наблюдении пространственной запутанности пар фотонов.

Они также полезны при разработке оптических систем и для оптимизации эффективности хранения голографических данных.

См. также

• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Дробное исчисление
• Ядро Мелера

Другие частотно-временные преобразования:

• Линейное каноническое преобразование
• Кратковременное преобразование Фурье
• Вейвлет-преобразование
• Преобразование чирплета
• Функция распределения конической формы
• Квадратичное преобразование Фурье

Библиография

• Кандан, К.; Кутай, Массачусетс; Озактас, HM (май 2000 г.). «Дискретное дробное преобразование Фурье» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 48 (5): 1329–1337. Бибкод : 2000ITSP...48.1329C . дои : 10.1109/78.839980 . hdl : 11693/11130 .
• Дин, Цзянь-Цзюнь (2007). Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование (заметки к занятию). Тайбэй, Тайвань: Факультет электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU).
• Ломанн, AW (1993). «Вращение изображения, вращение Вигнера и дробное преобразование Фурье». J. Опт. Соц. Являюсь . А (10): 2181–2186. Бибкод : 1993JOSAA..10.2181L . дои : 10.1364/JOSAA.10.002181 .
• Озактас, Халдун М. ; Залевский, Зеев; Кутай, М. Альпер (2001). Дробное преобразование Фурье с приложениями в оптике и обработке сигналов . Серия по чистой и прикладной оптике. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-96346-2 .
• Пей, Су-Чанг; Дин, Цзянь-Цзюнь (2001). «Связь между дробными операциями и частотно-временными распределениями и их приложения». IEEE Транс. Сигнальный процесс . 49 (8): 1638–1655. Бибкод : 2001ITSP...49.1638P . дои : 10.1109/78.934134 .
• Саксена, Раджив; Сингх, Кулбир (январь – февраль 2005 г.). «Дробное преобразование Фурье: новый инструмент для обработки сигналов» (PDF) . Дж. Индийский инст. Наука . 85 : 11–26. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 года.

Внешние ссылки

• DiscreteTFDs - программное обеспечение для расчета дробного преобразования Фурье и частотно-временных распределений.
• « Дробное преобразование Фурье », Энрике Зелени, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Веб-страницы доктора Янгуана Чена по FRFT (дробное преобразование Фурье)
• LTFAT — бесплатный (GPL) набор инструментов Matlab/Octave. Содержит несколько версий дробного преобразования Фурье. Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine .