Дробное вейвлет-преобразование

Дробное вейвлет-преобразование ( FRWT ) является обобщением классического вейвлет-преобразования (WT). Это преобразование предлагается для устранения ограничений WT и дробного преобразования Фурье (FRFT). FRWT унаследовал преимущества многоразрешительного анализа WT и имеет возможность представления сигналов в дробной области, что аналогично FRFT.

Определение

Дробное преобразование Фурье (FRFT), ^[1] обобщение преобразования Фурье (FT), служит полезным и мощным инструментом анализа. ^[2] в оптике, связи, обработке сигналов и изображений и т. д. Однако это преобразование имеет один серьезный недостаток из-за использования глобального ядра, т. е. дробное представление Фурье обеспечивает только такой спектральный контент FRFT без указания временной локализации спектрального FRFT. компоненты. Следовательно, анализ нестационарных сигналов, чьи спектральные характеристики FRFT изменяются со временем, требует совместного представления сигналов как во временной, так и в FRFT-доменах, а не только в FRFT-домене.

Первой модификацией FRFT, позволяющей анализировать вышеупомянутые нестационарные сигналы, стала кратковременная FRFT (STFRFT). ^[3]^[4] Идея STFRFT заключалась в сегментировании сигнала с использованием окна, локализованного во времени, и выполнении спектрального анализа FRFT для каждого сегмента.Поскольку FRFT вычислялся для каждого оконного сегмента сигнала, STFRFT смог обеспечить истинное совместное представление сигнала как во временной области, так и в области FRFT. Однако недостатком является то, что STFRFT имеет ограничение фиксированной ширины окна, которое необходимо зафиксировать заранее; это фактически означает, что он не обеспечивает необходимого хорошего разрешения как во временной области, так и в области FRFT. Другими словами, эффективность методов STFRFT ограничена фундаментальным принципом неопределенности: ^[5] это означает, что узкие окна обеспечивают хорошее временное разрешение, но плохое спектральное разрешение, тогда как широкие окна обеспечивают хорошее спектральное разрешение, но плохое временное разрешение. Большинство сигналов, представляющих практический интерес, таковы, что они имеют высокие спектральные компоненты для коротких периодов времени и низкие спектральные компоненты для больших периодов времени.

В качестве обобщения вейвлет-преобразования Мендлович и Дэвид ^[6] впервые представил дробное вейвлет-преобразование (FRWT) как способ обработки оптических сигналов, который был определен как каскад FRFT и обычного вейвлет-преобразования (WT), т.е.

{\begin{aligned}W^{\alpha }(a,b)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} }{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)dtdu\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\left(\int \limits _{\mathbb {R} }f(t){\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)dt\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F_{\alpha }(u)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\\end{aligned}}

где ядро преобразования ${\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)$ дается

{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)={\begin{cases}A_{\alpha }e^{j{\frac {u^{2}+t^{2}}{2}}\cot \alpha -jut\csc \alpha },&\alpha \neq k\pi \\\delta (t-u),&\alpha =2k\pi \\\delta (t+u),&\alpha =(2k-1)\pi \\\end{cases}}

где $A_{\alpha }={\sqrt {{(1-j\cot \alpha )}/{2\pi }}}$ , и $F_{\alpha }(u)$ обозначает FRFT $f(t)$ . Но его нельзя рассматривать как своего рода совместное представление во временной области FRFT, поскольку при этом преобразовании теряется информация о времени. Более того, Прасад и Махато ^[7] выражал обычный WT сигнала через FRFT сигнала и исходного вейвлета, а также называл это выражение FRWT. То есть,

{\begin{aligned}\left(W_{\psi }^{\alpha }f\right)(b,a)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt\\&={\frac {\csc \alpha }{4\pi ^{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F(u\sin \alpha )\Psi ^{\ast }(au\sin \alpha )e^{j{\frac {u^{2}}{4}}(1-a^{2})\sin 2\alpha -jbu}du\\\end{aligned}}

где $F(u\sin \alpha )$ и $\Psi (u\sin \alpha )$ обозначают ФТ (их аргументы масштабируются по $\sin \alpha$ ) $f(t)$ и $\psi (t)$ , соответственно. Очевидно, что этот так называемый FRWT идентичен обычному WT.

Недавно Ши и др. предложил новое определение ^[8] FRWT путем введения новой структуры дробной свертки ^[9] связанный с ФРФТ. В частности, FRWT любой функции $f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )$ определяется как [8]

W_{f}^{\alpha }(a,b)={\mathcal {W}}^{\alpha }[f(t)](a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi _{\alpha ,a,b}^{\ast }(t)\,dt

где $\psi _{\alpha ,a,b}(t)$ представляет собой непрерывное аффинное преобразование и чирп-модуляцию материнского вейвлета. $\psi (t)$ , то есть,

\psi _{\alpha ,a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)e^{-j{\frac {t^{2}-b^{2}}{2}}\cot \alpha }

в котором $a\in \mathbb {R^{+}}$ и $b\in \mathbb {R}$ — параметры масштабирования и трансляции соответственно.И наоборот, обратный FRWT определяется выражением

f(t)={\frac {1}{2\pi C_{\psi }}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} ^{+}}W_{f}^{\alpha }(a,b)\psi _{\alpha ,a,b}(t){\frac {da}{a^{2}}}db

где $C_{\psi }$ — константа, которая зависит от используемого вейвлета. Успех реконструкции зависит от этой константы, называемой константой допустимости, которая удовлетворяет следующему условию допустимости:

C_{\psi }=\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {|\Psi (\Omega )|^{2}}{|\Omega |}}\,d\Omega <\infty

где $\Psi (\Omega )$ обозначает FT $\psi (t)$ . Условие допустимости означает, что $\Psi (0)=0$ , что $\int _{\mathbb {R} }\psi (t)dt=0$ . Следовательно, непрерывные дробные вейвлеты должны колебаться и вести себя как полосовые фильтры в дробной области Фурье. С этой точки зрения FRWT $f(t)$ может быть выражено через представление FRFT-домена как

W_{f}^{\alpha }(a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }{{\sqrt {2\pi a}}F_{\alpha }(u)\Psi ^{\ast }(au\csc \alpha )}{\mathcal {K}}_{\alpha }^{\ast }(u,b)du

где $F_{\alpha }(u)$ указывает FRFT $f(t)$ , и $\Psi (u\csc \alpha )$ обозначает FT (с его аргументом, масштабированным на $\csc \alpha$ ) из $\psi (t)$ . Обратите внимание, что когда $\alpha ={\pi }/{2}$ FRWT сводится к классическому WT. Подробнее об этом типе FRWT см. в [8] и . ^[10]

Связано с мультиразрешающим анализом (MRA)

Полный обзор MRA и ортогональных дробных вейвлетов, связанных с FRWT, можно найти в статье. ^[11]

Ссылки

^ Х. М. Озактас, З. Залевский и М. А. Кутай, Дробное преобразование Фурье с приложениями в оптике и обработке сигналов. Уайли, Нью-Йорк, 2000 г.
^ Э. Сейдич, И. Джурович и Л. Станкович, «Дробное преобразование Фурье как инструмент обработки сигналов: обзор последних разработок», Signal Process., vol. 91, стр. 1351–1369, 2011.
^ Л. Станкович, Т. Алиева и М. Дж. Бастианс, «Частотно-временной анализ сигналов на основе оконного дробного преобразования Фурье», Signal Process., vol. 83, стр. 2459-2468, 2003.
^ Р. Тао, Ю. Лей и Ю. Ван, «Кратковременное дробное преобразование Фурье и его приложения», IEEE Trans. Сигнальный процесс., вып. 58, стр. 2568-2580, 2010.
^ Дж. Ши, X.-P. Лю и Н.-Т. Чжан, «О принципе неопределенности для концентраций сигналов с дробным преобразованием Фурье», Signal Process., vol. 92, стр. 2830–2836, 2012.
^ Д. Мендлович, З. Залевский, Д. Мас, Дж. Гарсия и К. Феррейра, «Дробное вейвлет-преобразование», Appl. Опт., вып. 36, стр. 4801-4806, 1997.
^ А. Прасад и А. Махато, «Дробное вейвлет-преобразование в пространствах типа S», Спецификация интегрального преобразования. Функц., вып. 23, нет. 4, стр. 237–249, 2012.
^ Ши, Дж.; Чжан, Северная Каролина; Лю, Х.-П. (2011). «Новое дробное вейвлет-преобразование и его приложения» . наук. Китай Инф. Наука . 55 (6): 1270–1279. дои : 10.1007/s11432-011-4320-x .
^ Ши, Дж.; Чи, Ю.-Г.; Чжан, Н.-Т. (2010). «Многоканальная выборка и реконструкция сигналов с ограниченной полосой частот в дробной области Фурье». Сигнальный процесс IEEE. Летт . 17 (11): 909–912. Бибкод : 2010ISPL...17..909S . дои : 10.1109/lsp.2010.2071383 . S2CID 17547603 .
^ Л. Дебнат и Ф.А. Шах, Вейвлет-преобразования и их приложения, 2-е издание, 2015 г., стр. 14-15. URL: https://www.springer.com/cn/book/9780817684174/
^ Ши, Дж.; Лю, Х.-П.; Чжан, Н.-Т. (2015). «Множественный анализ и ортогональные вейвлеты, связанные с дробным вейвлет-преобразованием». Сигнал, изображение, видеопроцесс . 9 (1): 211–220. дои : 10.1007/s11760-013-0498-2 . S2CID 3807003 .

[1] Х. М. Озактас, З. Залевский и М. А. Кутай, Дробное преобразование Фурье с приложениями в оптике и обработке сигналов. Уайли, Нью-Йорк, 2000 г.

[2] Э. Сейдич, И. Джурович и Л. Станкович, «Дробное преобразование Фурье как инструмент обработки сигналов: обзор последних разработок», Signal Process., vol. 91, стр. 1351–1369, 2011.

[3] Л. Станкович, Т. Алиева и М. Дж. Бастианс, «Частотно-временной анализ сигналов на основе оконного дробного преобразования Фурье», Signal Process., vol. 83, стр. 2459-2468, 2003.

[4] Р. Тао, Ю. Лей и Ю. Ван, «Кратковременное дробное преобразование Фурье и его приложения», IEEE Trans. Сигнальный процесс., вып. 58, стр. 2568-2580, 2010.

[5] Дж. Ши, X.-P. Лю и Н.-Т. Чжан, «О принципе неопределенности для концентраций сигналов с дробным преобразованием Фурье», Signal Process., vol. 92, стр. 2830–2836, 2012.

[6] Д. Мендлович, З. Залевский, Д. Мас, Дж. Гарсия и К. Феррейра, «Дробное вейвлет-преобразование», Appl. Опт., вып. 36, стр. 4801-4806, 1997.

[7] А. Прасад и А. Махато, «Дробное вейвлет-преобразование в пространствах типа S», Спецификация интегрального преобразования. Функц., вып. 23, нет. 4, стр. 237–249, 2012.

[8] Ши, Дж.; Чжан, Северная Каролина; Лю, Х.-П. (2011). «Новое дробное вейвлет-преобразование и его приложения» . наук. Китай Инф. Наука . 55 (6): 1270–1279. дои : 10.1007/s11432-011-4320-x .

[9] Ши, Дж.; Чи, Ю.-Г.; Чжан, Н.-Т. (2010). «Многоканальная выборка и реконструкция сигналов с ограниченной полосой частот в дробной области Фурье». Сигнальный процесс IEEE. Летт . 17 (11): 909–912. Бибкод : 2010ISPL...17..909S . дои : 10.1109/lsp.2010.2071383 . S2CID 17547603 .

[10] Л. Дебнат и Ф.А. Шах, Вейвлет-преобразования и их приложения, 2-е издание, 2015 г., стр. 14-15. URL: https://www.springer.com/cn/book/9780817684174/

[11] Ши, Дж.; Лю, Х.-П.; Чжан, Н.-Т. (2015). «Множественный анализ и ортогональные вейвлеты, связанные с дробным вейвлет-преобразованием». Сигнал, изображение, видеопроцесс . 9 (1): 211–220. дои : 10.1007/s11760-013-0498-2 . S2CID 3807003 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]