Мультиразрешительный анализ

Многомасштабный анализ ( MRA ) или многомасштабная аппроксимация ( MSA ) — это метод проектирования большинства практически важных дискретных вейвлет-преобразований (DWT) и обоснование алгоритма быстрого вейвлет -преобразования (FWT). Он был введен в этом контексте в 1988/89 году Стефаном Маллатом и Ивом Мейером и имеет предшественников в микролокальном анализе в теории дифференциальных уравнений ( метод глажения ) и пирамидальных методах обработки изображений , представленных в 1981/83 году Питером Дж. Берт, Эдвард Х. Адельсон и Джеймс Л. Кроули .

Определение

Многоразрешительный анализ пространства Лебега $L^{2}(\mathbb {R} )$ состоит из последовательности вложенных подпространств

\{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )

который удовлетворяет определенным отношениям самоподобия во времени-пространстве и масштабе-частоте, а также полноты отношениям и регулярности.

Самоподобие во времени требует, чтобы каждое подпространство V _k было инвариантным относительно сдвигов на число , кратное целое 2. ^к. То есть для каждого $f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z}$ функция g определяется как $g(x)=f(x-m2^{k})$ также содержится в $V_{k}$ .
Самоподобие по масштабу требует, чтобы все подпространства $V_{k}\subset V_{l},\;k>l,$ являются масштабированными по времени версиями друг друга с масштабированием соответственно коэффициентом расширения 2 ^кл. Т.е. для каждого $f\in V_{k}$ есть $g\in V_{l}$ с $\forall x\in \mathbb {R} :\;g(x)=f(2^{k-l}x)$ .
В последовательности подпространств при k > l пространственное разрешение 2 ^л -го l подпространства выше разрешения 2 ^к - го k подпространства.
Регулярность чтобы модельное подпространство V0 _{требует ,} было порождено как линейная оболочка ( алгебраически или даже топологически замкнутая ) целочисленных сдвигов одной или конечного числа производящих функций. $\phi$ или $\phi _{1},\dots ,\phi _{r}$ . Эти целочисленные сдвиги должны, по крайней мере, образовывать рамку для подпространства. $V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ , что накладывает определенные условия на распад на бесконечности . Производящие функции также известны как функции масштабирования или отцовские вейвлеты . В большинстве случаев требуется, чтобы эти функции были кусочно-непрерывными с компактным носителем .
Полнота требует, чтобы эти вложенные подпространства заполняли все пространство, т. е. их объединение должно быть плотным в $L^{2}(\mathbb {R} )$ , и что они не слишком избыточны, т. е. их пересечение должно содержать только нулевой элемент .

Важные выводы

В случае одной непрерывной (или, по крайней мере, с ограниченной вариацией) масштабирующей функции с компактным носителем и ортогональными сдвигами можно сделать ряд выводов. Доказательство существования этого класса функций принадлежит Ингрид Добеши .

Предполагая, что масштабирующая функция имеет компактный носитель, тогда $V_{0}\subset V_{-1}$ следует, что существует конечная последовательность коэффициентов $a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle$ для $|k|\leq N$ , и $a_{k}=0$ для $|k|>N$ , такой, что

\phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).

Определение другой функции, известной как материнский вейвлет или просто вейвлет.

\psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),

можно показать, что пространство $W_{0}\subset V_{-1}$ , который определяется как (замкнутая) линейная оболочка целочисленных сдвигов исходного вейвлета, является ортогональным дополнением к $V_{0}$ внутри $V_{-1}$ . ^[1] Или, говоря иначе, $V_{-1}$ – ортогональная сумма (обозначается $\oplus$ ) из $W_{0}$ и $V_{0}$ . По самоподобию существуют масштабированные версии $W_{k}$ из $W_{0}$ и по полноте мы имеем

L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{closure of }}\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k},

таким образом набор

\{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}x-n):\;k,n\in \mathbb {Z} \}

является счетным полным ортонормированным вейвлет- базисом в $L^{2}(\mathbb {R} )$ .

См. также

Ссылки

^ Маллат, С.Г. «Вейвлет-тур по обработке сигналов» . www.di.ens.fr. Проверено 30 декабря 2019 г.

Чуй, Чарльз К. (1992). Введение в вейвлеты . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 0-585-47090-1 .
Акансу, Ананас ; Хаддад, РА (1992). Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-047141-6 .
Кроули, Дж. Л. (1982). Представления для визуальной информации , докторская диссертация, Университет Карнеги-Меллона, 1982.
Буррус, CS ; Гопинатх, РА; Го, Х. (1997). Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник для начинающих . Прентис-Холл. ISBN 0-13-489600-9 .
Маллат, С.Г. (1999). Вейвлет-тур по обработке сигналов . Академическая пресса. ISBN 0-12-466606-Х .

[1] Маллат, С.Г. «Вейвлет-тур по обработке сигналов» . www.di.ens.fr. Проверено 30 декабря 2019 г.

[1]