Прямая сумма модулей

В абстрактной алгебре прямая сумма — это конструкция, объединяющая несколько модулей в новый, более крупный модуль. Прямая сумма модулей — это наименьший модуль, который содержит данные модули в виде подмодулей без «ненужных» ограничений, что делает его примером копродукции . Сравните с прямым произведением , которое представляет собой двойственное понятие.

Наиболее знакомые примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модулей над полем ) и абелевых групп (модулей над кольцом ) Z целых чисел . Конструкция может быть также распространена на банаховы и гильбертовы пространства .

См. статью «Декомпозиция модуля», чтобы узнать, как записать модуль как прямую сумму подмодулей.

Конструкция векторных пространств и абелевых групп.

Приведем сначала конструкцию в этих двух случаях, предполагая, что у нас всего два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции можно более четко определить при более глубоком рассмотрении этих двух случаев.

Построение двух векторных пространств.

Предположим, что и W — векторные пространства над полем K. V Декартову произведению V × W можно придать структуру векторного пространства над K ( Halmos 1974 , §18), определив операции покомпонентно:

( v ₁ , ш ₁ ) + ( v ₂ , ш ₂ ) знак равно ( v ₁ + v ₂ , ш ₁ + ш ₂ )
α ( v , ш ) знак равно ( α v , α ш )

для v , v ₁ , v ₂ ∈ V , ш , ш ₁ , ш ₂ ∈ W и α ∈ K .

Полученное векторное пространство называется прямой суммой V W и и обычно обозначается знаком плюса внутри круга: $V\oplus W$

Элементы упорядоченной суммы принято записывать не в виде упорядоченных пар ( v , w ), а в виде суммы v + w .

Подпространство V × {0} пространства V ⊕ W изоморфно V и часто отождествляется с V ; аналогично для {0} × W и W . (См. внутреннюю прямую сумму ниже.) Благодаря этой идентификации каждый элемент V ⊕ W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента V и элемента W . Размерность и V ⊕ V W размерностей W . равна сумме Одним из элементарных применений является реконструкцияконечного векторного пространства из любого подпространства W и его ортогонального дополнения: $\mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }$

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число векторных пространств.

Построение для двух абелевых групп.

Для абелевых групп G и H, которые записаны аддитивно, прямое произведение G и H также называется прямой суммой ( Mac Lane & Birkhoff 1999 , §V.6). Таким образом, декартово произведение G × H наделено структурой абелевой группы за счет покомпонентного определения операций:

( г ₁ , час ₁ ) + ( г ₂ , час ₂ ) знак равно ( г ₁ + г ₂ , час ₁ + час ₂ )

для g ₁ , g ₂ в G и h ₁ , h ₂ в H .

Целые кратные аналогично определяются покомпонентно формулой

п ( г , час ) знак равно ( нг , пч )

для g в G , h в H и n — целое число . Это аналогично расширению скалярного произведения векторных пространств до прямой суммы, указанной выше.

Полученная абелева группа называется прямой суммой G H и и обычно обозначается знаком плюса внутри круга: $G\oplus H$

Элементы упорядоченной суммы принято записывать не в виде упорядоченных пар ( g , h ), а в виде суммы g + h .

Подгруппа G изоморфна {0} группы G ⊕ H G ; и часто отождествляется с G × аналогично для {0} × H и H . (См. внутреннюю прямую сумму ниже.) При таком отождествлении верно, что каждый элемент G ⊕ H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента G и элемента H . Ранг H G и ⊕ H сумме G . рангов равен

Эту конструкцию легко обобщить на любое конечное число абелевых групп.

Построение произвольного семейства модулей

Следует отметить явное сходство определений прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп. По сути, каждый является частным случаем конструкции прямой суммы двух модулей . Кроме того, изменив определение, можно учесть прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение следующее ( Бурбаки 1989 , §II.1.6).

Пусть R — кольцо, а { M _i : i ∈ I } — семейство левых R индексированных множеством I. -модулей , Прямая сумма { M _i } затем определяется как набор всех последовательностей $(\alpha _{i})$ где $\alpha _{i}\in M_{i}$ и $\alpha _{i}=0$ для коконечного числа индексов i . ( Прямое произведение аналогично, но индексы не обязательно должны обращаться в нуль.)

также можно определить как функции α от I до дизъюнктного объединения модулей M _i такие, что α( i ) ∈ Mi _I для всех i ∈ Его и α( i ) = 0 для коконечного числа индексов i . Эти функции эквивалентно можно рассматривать как с конечным носителем секции расслоения над множеством индексов I , причем слой над $i\in I$ существование $M_{i}$ .

Этот набор наследует структуру модуля посредством покомпонентного сложения и скалярного умножения. Явно две такие последовательности (или функции) α и β можно сложить, написав $(\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}$ для всех i (обратите внимание, что это значение снова равно нулю для всех индексов, кроме конечного числа), и такую функцию можно умножить на элемент r из R , определив $r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}$ для всех я . Таким образом, прямая сумма становится левым R -модулем и обозначается $\bigoplus _{i\in I}M_{i}.$

Принято записывать последовательность $(\alpha _{i})$ как сумма $\sum \alpha _{i}$ . Иногда штриховое суммирование $\sum '\alpha _{i}$ используется для обозначения того, что коконечные многие члены равны нулю.

Характеристики

Прямая сумма является подмодулем прямого произведения модулей Mi _{, §II.1.7 )} ( Бурбаки 1989 . Прямое произведение — это совокупность всех функций α от I до дизъюнктного объединения модулей M _i с α ( i ) ∈ M _i , но не обязательно обращающихся в нуль для всех, кроме конечного числа i . Если набор индексов I конечен, то прямая сумма и прямое произведение равны.
Каждый из модулей Mi _можно отождествить с подмодулем прямой суммы, состоящим из тех функций, которые обращаются в нуль по всем индексам, отличным от i . С помощью этих отождествлений каждый элемент x прямой суммы можно записать одним и только одним способом как сумму конечного числа Mi. _{модулей} элементов
Если Mi _на размерность прямой суммы равна сумме Mi. _{самом деле являются векторными пространствами, то} размерностей То же самое относится и к рангу абелевых групп и длине модулей .
Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточного числа копий K , поэтому в некотором смысле следует рассматривать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.
Тензорное произведение следующем смысле: если N — некоторый правый R -модуль, то прямая сумма тензорных произведений N с Mi _{распределяется по прямым суммам в} (которые являются абелевыми группами) естественно изоморфна тензорному произведению N с сумма Mi. прямая
Прямые суммы коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), а это означает, что не имеет значения, в каком порядке формировать прямую сумму.
Абелева группа R - линейных гомоморфизмов из прямой суммы в некоторый левый R -модуль L естественно изоморфна прямому произведению абелевых групп R -линейных гомоморфизмов Mi _в из L : $\operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).$ Действительно, очевидно, что существует гомоморфизм τ из левой части в правую, где τ ( θ )( ) — R -линейный гомоморфизм, переводящий x ∈ Mi _θ в i ( x ) (с использованием естественного включения M _я в прямую сумму). Обратный гомоморфизм τ определяется формулой $\tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))$ для любого α в прямой сумме модулей M _i . Ключевым моментом является то, что определение τ ⁻¹ имеет смысл, поскольку α ( i ) равно нулю для всех, кроме конечного числа i , и поэтому сумма конечна.
В частности, двойственное векторное пространство прямой суммы векторных пространств изоморфно прямому произведению двойственных к этим пространствам.
Конечная двойным прямая сумма модулей является произведением : если $p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}$ являются каноническими проекционными отображениями и $i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$ являются отображениями включения, то $i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}$ равен тождественному морфизму A ₁ ⊕ ⋯ An _и ⊕ $p_{k}\circ i_{l}$ является тождественным морфизмом A _k в случае l = k и является нулевым отображением в противном случае.

Внутренняя прямая сумма

Предположим, что R - модуль а Mi _— — подмодуль M M для каждого i из I. , Если каждый x в M быть записан ровно одним способом как сумма конечного числа элементов Mi то _, мы говорим, что M является внутренней прямой суммой подмодулей Mi _может ( Halmos 1974 , §18). В этом случае M естественно изоморфно (внешней) прямой сумме Mi , _как определено выше ( Адамсон 1972 , стр.61).

Подмодуль N модуля M называется прямым слагаемым модуля M, если существует другой подмодуль N' модуля M такой, что M является внутренней прямой суммой модулей N и N' . В этом случае N и N′ называются дополнительными подмодулями .

Универсальная собственность

На языке теории категорий прямая сумма является копроизведением и, следовательно, копределом в категории левых R -модулей, а это означает, что она характеризуется следующим универсальным свойством . Для каждого i в I рассмотрим естественное вложение

j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}

который отправляет элементы Mi _кроме в те функции, которые равны нулю для всех аргументов, i . Пусть теперь M — произвольный R -модуль и f _i : Mi _→ . M — произвольные R -линейные отображения для каждого i , тогда существует ровно одно R -линейное отображение

f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M

такой, что f o j _i знак равно f _i для всех i .

Группа Гротендика

Прямая сумма придает совокупности объектов структуру коммутативного моноида , в которой определяется сложение объектов, но не вычитание. Фактически, можно определить вычитание, и каждый коммутативный моноид можно расширить до абелевой группы . Это расширение известно как группа Гротендика . Расширение осуществляется путем определения классов эквивалентности пар объектов, что позволяет рассматривать определенные пары как инверсные. Конструкция, подробно описанная в статье о группе Гротендика, является «универсальной», поскольку она обладает универсальным свойством быть уникальной и гомоморфной любому другому вложению коммутативного моноида в абелеву группу.

Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

Если рассматриваемые нами модули несут некоторую дополнительную структуру (например, норму или внутренний продукт ), то часто можно заставить прямую сумму модулей также нести и эту дополнительную структуру. В этом случае мы получаем копроизведение в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два ярких примера встречаются для банаховых пространств и гильбертовых пространств .

В некоторых классических текстах словосочетание «прямая сумма алгебр над полем » вводится также для обозначения алгебраической структуры , которую в настоящее время чаще называют прямым произведением алгебр; то есть декартово произведение базовых множеств с покомпонентными операциями . Эта конструкция, однако, дает не копроизведение в категории алгебр, а прямое произведение ( см. примечание ниже и замечание о прямых суммах колец ).

Прямая сумма алгебр

Прямая сумма алгебр $X$ и $Y$ является прямой суммой в векторных пространствах с произведением

(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).

Рассмотрим эти классические примеры:

\mathbf {R} \oplus \mathbf {R}

кольцо изоморфно расщепленным комплексным числам , также используемым в интервальном анализе .

\mathbf {C} \oplus \mathbf {C}

— алгебра тессаринов, введенная Джеймсом Коклом в 1848 году.

\mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,

называемые сплит-бикватернионы , были введены Уильямом Кингдоном Клиффордом в 1873 году.

Джозеф Веддерберн использовал концепцию прямой суммы алгебр в своей классификации гиперкомплексных чисел . См. его «Лекции по матрицам» (1934), стр. 151.Веддерберн разъясняет различие между прямой суммой и прямым произведением алгебр: Для прямой суммы поле скаляров действует совместно на обе части: $\lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y$ в то время как для прямого произведения скалярный коэффициент может собираться попеременно с частями, но не с обоими: $\lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).$ Ян Р. Портеус использует три приведенные выше прямые суммы, обозначая их $^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,$ как кольца скаляров в его анализе алгебр Клиффорда и классических групп (1995).

Описанная выше конструкция, а также использование Уэддерберном терминов «прямая сумма» и «прямое произведение» следуют другому соглашению, отличному от соглашения в теории категорий . Веддерберна В категориальных терминах прямая сумма является категориальным произведением Веддерберна , тогда как прямое произведение является копроизведением (или категориальной суммой) , которое (для коммутативных алгебр) фактически соответствует тензорному произведению алгебр .

Прямая сумма банаховых пространств

Прямая сумма двух банаховых пространств $X$ и $Y$ является прямой суммой $X$ и $Y$ рассматриваются как векторные пространства с нормой $\|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ для всех $x\in X$ и $y\in Y.$

Как правило, если $X_{i}$ представляет собой совокупность банаховых пространств, где $i$ обходит набор индексов $I,$ тогда прямая сумма $\bigoplus _{i\in I}X_{i}$ представляет собой модуль, состоящий из всех функций $x$ определено более $I$ такой, что $x(i)\in X_{i}$ для всех $i\in I$ и $\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .$

Норма определяется суммой, указанной выше. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

Например, если мы возьмем набор индексов $I=\mathbb {N}$ и $X_{i}=\mathbb {R} ,$ тогда прямая сумма $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ это пространство $\ell _{1},$ который состоит из всех последовательностей $\left(a_{i}\right)$ вещественных чисел с конечной нормой ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

Закрытое подпространство $A$ банахова пространства $X$ дополняется , если существует другое замкнутое подпространство $B$ из $X$ такой, что $X$ равна внутренней прямой сумме $A\oplus B.$ Обратите внимание, что не каждое замкнутое подпространство дополняется; например $c_{0}$ не дополняется в $\ell ^{\infty }.$

Прямая сумма модулей билинейной формы

Позволять $\left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}$ быть семьей , индексируемой $I$ модулей, оснащенных билинейными формами . Ортогональная прямая сумма — это прямая сумма модуля билинейной формы. $B$ определяется ^[1] $B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)$ в котором суммирование имеет смысл даже для бесконечных наборов индексов $I$ потому что только конечное число членов отличны от нуля.

Прямая сумма гильбертовых пространств

Если конечное число гильбертовых пространств $H_{1},\ldots ,H_{n}$ заданы, можно построить их ортогональную прямую сумму, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), определив внутренний продукт как: $\left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .$

Полученная прямая сумма представляет собой гильбертово пространство, которое содержит данные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

Если бесконечно много гильбертовых пространств $H_{i}$ для $i\in I$ даны, мы можем провести такое же построение; обратите внимание, что при определении внутреннего продукта только конечное число слагаемых будут ненулевыми. Однако результатом будет только внутреннее пространство продукта , и оно не обязательно будет полным . Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств $H_{i}$ быть завершением этого внутреннего пространства продукта.

Альтернативно и эквивалентно можно определить прямую сумму гильбертовых пространств $H_{i}$ как пространство всех функций α с областью определения $I,$ такой, что $\alpha (i)$ является элементом $H_{i}$ для каждого $i\in I$ и: $\sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .$

Тогда внутренний продукт двух таких функций α и β определяется как: $\langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .$

Это пространство полно, и мы получаем гильбертово пространство.

Например, если мы возьмем набор индексов $I=\mathbb {N}$ и $X_{i}=\mathbb {R} ,$ тогда прямая сумма $\oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ это пространство $\ell _{2},$ который состоит из всех последовательностей $\left(a_{i}\right)$ вещественных чисел с конечной нормой ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$ Сравнивая это с примером банаховых пространств , мы видим, что прямая сумма банахового пространства и прямая сумма гильбертова пространства не обязательно совпадают. Но если слагаемых конечное число, то прямая сумма банахова пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства, хотя норма будет другой.

Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточного числа копий основного поля, которое либо $\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .$ Это эквивалентно утверждению, что каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис. В более общем смысле, каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняется , поскольку оно допускает ортогональное дополнение . И наоборот, теорема Линденштрауса – Цафрири утверждает, что если каждое замкнутое подпространство банахова пространства дополнимо, то банахово пространство изоморфно (топологически) гильбертовому пространству.

См. также

Бипродукт
Неразборный модуль
Теорема Джордана – Гёльдера . Разложение алгебраической структуры.
Теорема Крулля – Шмидта - Математическая теорема
Разделенная точная последовательность - короткая точная последовательность, в которой средний член представляет собой прямую сумму внешних, а структурные карты являются каноническими включениями и проекциями.

Ссылки

^ Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . стр. 4–5. ISBN 3-540-06009-Х . Збл 0292.10016 .

Адамсон, Иэн Т. (1972), Элементарные кольца и модули , Университетские математические тексты, Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002192-3 .
Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1991), Абстрактная алгебра , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6 .
Халмош, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Спрингер, ISBN 0-387-90093-4
Мак Лейн, С .; Биркгоф, Г. (1999), Алгебра , AMS Челси, ISBN 0-8218-1646-2 .

[1] Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . стр. 4–5. ISBN 3-540-06009-Х . Збл 0292.10016 .

[1]