Неразборный модуль
В абстрактной алгебре модуль , является неразложимым если он ненулевой и не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей . [1] [2]
Неразложимость — более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют неприводимым модулем): простой означает «нет подходящего подмодуля» N < M , в то время как неразложимое «не выражается как N ⊕ P = M ».
Прямая сумма неразложимых называется вполне разложимой ; [ нужна цитата ] это слабее, чем полупростота , которая представляет собой прямую сумму простых модулей .
Разложение модуля в прямую сумму на неразложимые модули называется неразложимым разложением .
Мотивация [ править ]
Во многих ситуациях все интересующие модули полностью разложимы; тогда неразложимые модули можно рассматривать как «базовые строительные блоки», единственные объекты, которые необходимо изучить. Это относится к модулям над поле или PID , и лежит в основе жордановой нормальной операторов формы .
Примеры [ править ]
Поле [ править ]
Модули над полями представляют собой векторные пространства . [3] Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Таким образом, каждое векторное пространство полностью разложимо (действительно, полупросто) с бесконечным количеством слагаемых, если размерность бесконечна. [4]
Главный идеальный домен [ править ]
Конечно порожденные модули над областями главных идеалов (PID) классифицируются на основании структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов : первичное разложение представляет собой разложение на неразложимые модули, поэтому каждый конечно порожденный модуль над PID полностью разложим.
Явно модули вида R / p н для простых идеалов p (включая p = 0 , что дает R ) неразложимы. Каждый конечно порожденный R -модуль является их прямой суммой. Обратите внимание, что это просто тогда и только тогда, когда n = 1 (или p = 0 ); например, циклическая группа порядка 4 Z /4 неразложима, но не проста – у нее есть подгруппа 2 Z /4 порядка 2, но у нее нет дополнения.
Над целыми числами Z модули являются абелевыми группами . Конечно порожденная абелева группа неразложима тогда и только тогда, когда она или фактор изоморфна Z - группе вида Z / p н Z для некоторого простого числа p и некоторого натурального числа n . Каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечного числа) неразложимых абелевых групп.
Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональные числа Q и Прюфера p -группы Z ( p ∞ ) для любого простого числа p .
Для фиксированного положительного целого числа n рассмотрим кольцо R матриц размером n на n ( с элементами из действительных чисел или из любого другого поля K ). Тогда К н является левым R -модулем (скалярное умножение есть умножение матриц ). Это единственный с точностью до изоморфизма неразложимый модуль R. над Каждый левый R -модуль является прямой суммой (конечного или бесконечного числа) копий этого модуля K н .
Факты [ править ]
Любой простой модуль неразложим. Обратное, вообще говоря, неверно, как показано во втором примере выше.
Глядя на кольцо эндоморфизмов модуля, можно определить, является ли модуль неразложимым: тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентного элемента, отличного от 0 и 1. [1] (Если f — такой идемпотентный эндоморфизм M f , то M — прямая сумма ker( f ) и im( ) .)
Модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально . Еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых тел конечной длины дает лемма Фиттинга .
В ситуации конечной длины разложение на неразложимые модули особенно полезно из-за теоремы Крулля-Шмидта : каждый модуль конечной длины может быть записан как прямая сумма конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу уникально (это означает, что если у вас другое разложение на неразложимые, то слагаемые первого разложения можно соединить в пары с слагаемыми второго разложения так, чтобы члены каждой пары были изоморфны). [5]
Цитаты [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Джейкобсон 2009 , с. 111
- ^ Роман 2008 , с. 158 §6
- ^ Роман 2008 , с. 110 §4
- ^ Джейкобсон 2009 , с. 111, в комментариях после предложения 3.1.
- ^ Джейкобсон 2009 , с. 115
Ссылки [ править ]
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7
- Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN 978-0-387-72828-5