Декомпозиция модуля

В абстрактной алгебре разложение модуля — это способ записать модуль в виде прямой суммы модулей . Тип декомпозиции часто используется для определения или характеристики модулей: например, полупростой модуль — это модуль, который имеет декомпозицию на простые модули . Учитывая кольцо , типы разложения модулей по кольцу также могут использоваться для определения или характеристики кольца: кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда каждый модуль над ним является полупростым модулем.

Неразложимым модулем называется модуль, не являющийся прямой суммой двух ненулевых подмодулей . Теорема Адзумая утверждает, что если модуль имеет разложение на модули с локальными кольцами эндоморфизмов , то все разложения в неразложимые модули эквивалентны друг другу; частный случай этого, особенно в теории групп , известен как теорема Крулля-Шмидта .

Частным случаем разложения модуля является разложение кольца: например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно представляет собой прямую сумму (фактически произведение ) колец матриц над телами (это наблюдение известно как теорема Артина –Веддерберна ).

Идемпотенты и разложения

Основная статья: Идемпотентный элемент

Дать прямое разложение модуля на подмодули — это то же самое, что дать ортогональные идемпотенты в кольце эндоморфизмов модуля, которые в сумме дают тождественное отображение . Действительно, если ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$, то для каждого $i\in I$, линейный эндоморфизм $e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M$ заданный естественной проекцией, за которой следует естественное включение, является идемпотентом . Они явно ортогональны друг другу ( $e_{i}e_{j}=0$ для $i\neq j$), и они суммируются с картой идентичности:

$1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}$

как эндоморфизмы (здесь суммирование корректно определено, поскольку оно является конечной суммой в каждом элементе модуля). И наоборот , каждый набор ортогональных идемпотентов $\{e_{i}\}_{i\in I}$ такие, что только конечное число $e_{i}(x)$ ненулевые для каждого $x\in M$ и $\sum e_{i}=1_{M}$ определить разложение в прямую сумму, взяв $M_{i}$ быть изображениями ​ $e_{i}$.

Этот факт уже накладывает некоторые ограничения на возможное разложение кольца: если кольцо $R$, предположим, что имеет место разложение

${}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}$

из $R$ как левый модуль над собой, где $I_{a}$ — левые подмодули; т. е. левые идеалы . Каждый эндоморфизм ${}_{R}R\to {}_{R}R$ можно отождествить с правильным умножением на элемент R ; таким образом, $I_{a}=Re_{a}$ где $e_{a}$ являются идемпотентами $\operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R$. Суммирование идемпотентных эндоморфизмов соответствует разложению единицы R : ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$, что обязательно является конечной суммой; в частности, $A$ должно быть конечным множеством.

Например, возьмите $R=\operatorname {M} _{n}(D)$ кольцо n -n матриц D над телом , . Затем ${}_{R}R$ является прямой суммой n копий $D^{n}$, столбцы; каждый столбец представляет собой простой левый R -подмодуль или, другими словами, минимальный левый идеал .

Пусть R — кольцо. Предположим, что существует (обязательно конечное) его разложение как левый модуль над собой.

${}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}$

в двусторонние идеалы $R_{i}$ Р. ​ ​Как указано выше, $R_{i}=Re_{i}$ для некоторых ортогональных идемпотентов $e_{i}$ такой, что $\textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}$. С $R_{i}$ это идеал, $e_{i}R\subset R_{i}$ и так $e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0$ для $i\neq j$. Тогда для i каждого

$e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.$

То есть $e_{i}$ находятся в центре ; т. е. они являются центральными идемпотентами . Очевидно, что рассуждение можно обратить вспять, и поэтому существует взаимно однозначное соответствие между разложением прямой суммы на идеалы и ортогональными центральными идемпотентами, суммирующими до единицы. Кроме того, каждый $R_{i}$ само по себе является кольцом, единство которого дается $e_{i}$, и, как кольцо, R — кольцо произведения $R_{1}\times \cdots \times R_{n}.$

Например, снова возьмем $R=\operatorname {M} _{n}(D)$. Это кольцо простое; в частности, он не имеет нетривиального разложения на двусторонние идеалы.

Виды разложения

Было изучено несколько типов разложений в прямую сумму:

• Полупростое разложение : прямая сумма простых модулей.
• Неразложимое разложение : прямая сумма неразложимых модулей.
• Разложение с локальными кольцами эндоморфизмов (ср. Теорему #Адзумайи ): прямая сумма модулей, кольца эндоморфизмов которых являются локальными кольцами (кольцо является локальным, если для каждого элемента x , либо x либо 1 − x является единицей ).
• Серийное разложение : прямая сумма последовательных модулей (модуль является цепным, если решетка подмодулей представляет собой конечную цепь ).

Поскольку простой модуль неразложим, полупростое разложение является неразложимым разложением (но не наоборот). Если кольцо эндоморфизмов модуля локально, то оно, в частности, не может иметь нетривиального идемпотента: модуль неразложим. Таким образом, разложение с локальными кольцами эндоморфизмов является неразложимым разложением.

Прямое слагаемое называется максимальным, если оно допускает неразложимое дополнение. Разложение $\textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ Говорят, что оно дополняет максимальные прямые слагаемые, если для каждого максимального прямого слагаемого L из M существует подмножество $J\subset I$ такой, что

$M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.$

Два разложения $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}$ называются эквивалентными, если существует биекция $\varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J$ такой, что для каждого $i\in I$, $M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}$. Если модуль допускает неразложимое разложение, дополняющее максимальные прямые слагаемые, то любые два неразложимых разложения модуля эквивалентны.

Теорема Адзумаи

В простейшей форме теорема Адзумайи гласит: с учетом разложения $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ такое, что кольцо эндоморфизмов каждого $M_{i}$ локально ( поэтому разложение неразложимо), каждое неразложимое разложение M эквивалентно этому данному разложению. Более точная версия теоремы гласит: еще учитывая такое разложение, если $M=N\oplus K$, затем

1. если ненулевое значение, N содержит неразложимое прямое слагаемое,
2. если $N$ неразложима, кольцо эндоморфизмов у нее локально. и $K$ дополняется данным разложением:

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$ и так $M_{j}\simeq N$ для некоторых $j\in I$,

3. для каждого $i\in I$, существуют прямые слагаемые $N'$ из $N$ и $K'$ из $K$ такой, что $M=M_{i}\oplus N'\oplus K'$.

Кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины является локальным (например, по лемме Фиттинга ), и, таким образом, теорема Адзумайи применима к установке теоремы Крулла – Шмидта . Действительно, если M — модуль конечной длины, то по индукции по длине он имеет конечное неразложимое разложение ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$, которое представляет собой разложение с локальными кольцами эндоморфизмов. Теперь предположим, что нам дано неразложимое разложение ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$. Тогда оно должно быть эквивалентно первому: так $m=n$ и $M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}$ для некоторой перестановки $\sigma$ из $\{1,\dots ,n\}$. Точнее, поскольку $N_{1}$ является неразложимым, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ для некоторых $i_{1}$. Тогда, поскольку $N_{2}$ является неразложимым, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ и так далее; т. е. дополнения к каждой сумме ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ можно считать прямой суммой некоторых $M_{i}$х.

Другим применением является следующее утверждение (которое является ключевым шагом в доказательстве теоремы Капланского о проективных модулях ):

• Учитывая элемент $x\in N$, существует прямое слагаемое $H$ из $N$ и подмножество $J\subset I$ такой, что $x\in H$ и ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$.

Чтобы убедиться в этом, выберите конечное множество $F\subset I$ такой, что ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$. Затем, написав $M=N\oplus L$, по теореме Адзумая, $M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}$ с некоторыми прямыми слагаемыми $N_{1},L_{1}$ из $N,L$ и тогда, по модульному закону , $N=H\oplus N_{1}$ с $H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N$. Тогда, поскольку $L_{1}$ является прямым слагаемым $L$, мы можем написать $L=L_{1}\oplus L_{1}'$ а потом $\oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'$, откуда следует, поскольку F конечно, что $H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}$ для некоторого J повторным применением теоремы Адзумая.

В рамках теоремы Адзумаи, если, кроме того, каждый $M_{i}$ , счетно генерируется то имеется следующее уточнение (первоначально предложенное Кроули-Йонссоном, а затем Уорфилдом): $N$ изоморфен ​ ​ $\bigoplus _{j\in J}M_{j}$ для некоторого подмножества $J\subset I$. (В некотором смысле это является расширением теоремы Капланского и доказывается двумя леммами, использованными при доказательстве теоремы.) Согласно ( Facchini 1998 ), неизвестно, выполняется ли предположение « $M_{i}$ счетно порожденный» можно опустить, т. е. эта уточненная версия в целом верна.

Разложение кольца

Что касается разложения кольца, самое основное, но все же важное наблюдение, известное как теорема Веддерберна-Артина , заключается в следующем: для кольца R следующие условия эквивалентны:

1. R — полупростое кольцо ; то есть, ${}_{R}R$ — полупростой левый модуль.
2. $R\cong \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})$ для разделительных колец $D_{1},\dots ,D_{r}$, где $\operatorname {M} _{n}(D_{i})$ обозначает кольцо n -x- n матриц с элементами в $D_{i}$и положительные целые числа $r$, звенит разделение $D_{1},\dots ,D_{r}$и положительные целые числа $m_{1},\dots ,m_{r}$ определяются (последние два с точностью до перестановки) R
3. Каждый левый модуль над R полупрост.

Чтобы показать 1. $\Rightarrow$ 2. Прежде всего обратите внимание, что если $R$ полупроста, то мы имеем изоморфизм левого $R$-модули ${\textstyle {}_{R}R\cong \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ где $I_{i}$ являются взаимно неизоморфными минимальными левыми идеалами. Тогда, учитывая, что эндоморфизмы действуют справа,

$R\cong \operatorname {End} ({}_{R}R)\cong \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$

где каждый $\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$ можно рассматривать как матричное кольцо над $D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})$ является телом , которое по лемме Шура . Обратное справедливо, поскольку разложение 2. эквивалентно разложению на минимальные левые идеалы = простые левые подмодули. Эквивалентность 1. $\Leftrightarrow$ 3. верно, поскольку каждый модуль является фактором , свободного модуля а фактор полупростого модуля полупрост.

См. также

• Чисто-инъекционный модуль

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Фрэнк В. Андерсон, Лекции по некоммутативным кольцам, заархивированные 13 июня 2021 г. в Wayback Machine , Университет Орегона, осень 2002 г.
• Факкини, Альберто (16 июня 1998 г.). Теория модулей: кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-7643-5908-9 .
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7
• Ю. Лам, работы Басса по теории колец и проективным модулям [MR 1732042]
• Процессези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9780387260402 .
• Р. Уорфилд: Обменные кольца и разложения модулей, Матем. Аннален 199 (1972), 31–36.