Декомпозиция модуля
В абстрактной алгебре разложение модуля — это способ записать модуль в виде прямой суммы модулей . Тип декомпозиции часто используется для определения или характеристики модулей: например, полупростой модуль — это модуль, который имеет декомпозицию на простые модули . Учитывая кольцо , типы разложения модулей по кольцу также могут использоваться для определения или характеристики кольца: кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда каждый модуль над ним является полупростым модулем.
Неразложимым модулем называется модуль, не являющийся прямой суммой двух ненулевых подмодулей . Теорема Адзумая утверждает, что если модуль имеет разложение на модули с локальными кольцами эндоморфизмов , то все разложения в неразложимые модули эквивалентны друг другу; частный случай этого, особенно в теории групп , известен как теорема Крулля-Шмидта .
Частным случаем разложения модуля является разложение кольца: например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно представляет собой прямую сумму (фактически произведение ) колец матриц над телами (это наблюдение известно как теорема Артина –Веддерберна ).
Идемпотенты и разложения
[ редактировать ]Дать прямое разложение модуля на подмодули — это то же самое, что дать ортогональные идемпотенты в кольце эндоморфизмов модуля, которые в сумме дают тождественное отображение . [1] Действительно, если , то для каждого , линейный эндоморфизм заданный естественной проекцией, за которой следует естественное включение, является идемпотентом . Они явно ортогональны друг другу ( для ), и они суммируются с картой идентичности:
как эндоморфизмы (здесь суммирование корректно определено, поскольку оно является конечной суммой в каждом элементе модуля). И наоборот , каждый набор ортогональных идемпотентов такие, что только конечное число ненулевые для каждого и определить разложение в прямую сумму, взяв быть изображениями .
Этот факт уже накладывает некоторые ограничения на возможное разложение кольца: если кольцо , предположим, что имеет место разложение
из как левый модуль над собой, где — левые подмодули; т. е. левые идеалы . Каждый эндоморфизм можно отождествить с правильным умножением на элемент R ; таким образом, где являются идемпотентами . [2] Суммирование идемпотентных эндоморфизмов соответствует разложению единицы R : , что обязательно является конечной суммой; в частности, должно быть конечным множеством.
Например, возьмите кольцо n -n матриц D над телом , . Затем является прямой суммой n копий , столбцы; каждый столбец представляет собой простой левый R -подмодуль или, другими словами, минимальный левый идеал . [3]
Пусть R — кольцо. Предположим, что существует (обязательно конечное) его разложение как левый модуль над собой.
в двусторонние идеалы Р. Как указано выше, для некоторых ортогональных идемпотентов такой, что . С это идеал, и так для . Тогда для i каждого
То есть находятся в центре ; т. е. они являются центральными идемпотентами . [4] Очевидно, что рассуждение можно обратить вспять, и поэтому существует взаимно однозначное соответствие между разложением прямой суммы на идеалы и ортогональными центральными идемпотентами, суммирующими до единицы. Кроме того, каждый само по себе является кольцом, единство которого дается , и, как кольцо, R — кольцо произведения
Например, снова возьмем . Это кольцо простое; в частности, он не имеет нетривиального разложения на двусторонние идеалы.
Виды разложения
[ редактировать ]Было изучено несколько типов разложений в прямую сумму:
- Полупростое разложение : прямая сумма простых модулей.
- Неразложимое разложение : прямая сумма неразложимых модулей.
- Разложение с локальными кольцами эндоморфизмов [5] (ср. Теорему #Адзумайи ): прямая сумма модулей, кольца эндоморфизмов которых являются локальными кольцами (кольцо является локальным, если для каждого элемента x , либо x либо 1 − x является единицей ).
- Серийное разложение : прямая сумма последовательных модулей (модуль является цепным, если решетка подмодулей представляет собой конечную цепь [6] ).
Поскольку простой модуль неразложим, полупростое разложение является неразложимым разложением (но не наоборот). Если кольцо эндоморфизмов модуля локально, то оно, в частности, не может иметь нетривиального идемпотента: модуль неразложим. Таким образом, разложение с локальными кольцами эндоморфизмов является неразложимым разложением.
Прямое слагаемое называется максимальным, если оно допускает неразложимое дополнение. Разложение Говорят, что оно дополняет максимальные прямые слагаемые, если для каждого максимального прямого слагаемого L из M существует подмножество такой, что
Два разложения называются эквивалентными, если существует биекция такой, что для каждого , . [7] Если модуль допускает неразложимое разложение, дополняющее максимальные прямые слагаемые, то любые два неразложимых разложения модуля эквивалентны. [8]
Теорема Адзумаи
[ редактировать ]В простейшей форме теорема Адзумайи гласит: [9] с учетом разложения такое, что кольцо эндоморфизмов каждого локально ( поэтому разложение неразложимо), каждое неразложимое разложение M эквивалентно этому данному разложению. Более точная версия теоремы гласит: [10] еще учитывая такое разложение, если , затем
- если ненулевое значение, N содержит неразложимое прямое слагаемое,
- если неразложима, кольцо эндоморфизмов у нее локально. [11] и дополняется данным разложением:
- и так для некоторых ,
- для каждого , существуют прямые слагаемые из и из такой, что .
Кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины является локальным (например, по лемме Фиттинга ), и, таким образом, теорема Адзумайи применима к установке теоремы Крулла – Шмидта . Действительно, если M — модуль конечной длины, то по индукции по длине он имеет конечное неразложимое разложение , которое представляет собой разложение с локальными кольцами эндоморфизмов. Теперь предположим, что нам дано неразложимое разложение . Тогда оно должно быть эквивалентно первому: так и для некоторой перестановки из . Точнее, поскольку является неразложимым, для некоторых . Тогда, поскольку является неразложимым, и так далее; т. е. дополнения к каждой сумме можно считать прямой суммой некоторых х.
Другим применением является следующее утверждение (которое является ключевым шагом в доказательстве теоремы Капланского о проективных модулях ):
- Учитывая элемент , существует прямое слагаемое из и подмножество такой, что и .
Чтобы убедиться в этом, выберите конечное множество такой, что . Затем, написав , по теореме Адзумая, с некоторыми прямыми слагаемыми из и тогда, по модульному закону , с . Тогда, поскольку является прямым слагаемым , мы можем написать а потом , откуда следует, поскольку F конечно, что для некоторого J повторным применением теоремы Адзумая.
В рамках теоремы Адзумаи, если, кроме того, каждый , счетно генерируется то имеется следующее уточнение (первоначально предложенное Кроули-Йонссоном, а затем Уорфилдом): изоморфен для некоторого подмножества . [12] (В некотором смысле это является расширением теоремы Капланского и доказывается двумя леммами, использованными при доказательстве теоремы.) Согласно ( Facchini 1998 ), неизвестно, выполняется ли предположение « счетно порожденный» можно опустить, т. е. эта уточненная версия в целом верна.
Разложение кольца
[ редактировать ]Что касается разложения кольца, самое основное, но все же важное наблюдение, известное как теорема Веддерберна-Артина , заключается в следующем: для кольца R следующие условия эквивалентны:
- R — полупростое кольцо ; то есть, — полупростой левый модуль.
- для разделительных колец , где обозначает кольцо n -x- n матриц с элементами в и положительные целые числа , звенит разделение и положительные целые числа определяются (последние два с точностью до перестановки) R
- Каждый левый модуль над R полупрост.
Чтобы показать 1. 2. Прежде всего обратите внимание, что если полупроста, то мы имеем изоморфизм левого -модули где являются взаимно неизоморфными минимальными левыми идеалами. Тогда, учитывая, что эндоморфизмы действуют справа,
где каждый можно рассматривать как матричное кольцо над является телом , которое по лемме Шура . Обратное справедливо, поскольку разложение 2. эквивалентно разложению на минимальные левые идеалы = простые левые подмодули. Эквивалентность 1. 3. верно, поскольку каждый модуль является фактором , свободного модуля а фактор полупростого модуля полупрост.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Андерсон и Фуллер 1992 , Следствие 6.19. и следствие 6.20.
- ^ Здесь кольцо эндоморфизмов считается действующим справа; если он действует слева, то это отождествление относится к противоположному кольцу R .
- ^ Процесс 2007 , Глава 6., § 1.3.
- ^ Андерсон и Фуллер 1992 , Предложение 7.6.
- ^ ( Jacobson 2009 , абзац перед теоремой 3.6.) называет модуль сильно неразложимым , если он ненулевой и имеет локальное кольцо эндоморфизмов.
- ^ Андерсон и Фуллер 1992 , § 32.
- ^ Jump up to: а б Андерсон и Фуллер 1992 , § 12.
- ^ Андерсон и Фуллер 1992 , Теория 12.4.
- ^ Факкини 1998 , Теорема 2.12.
- ^ Андерсон и Фуллер 1992 , Теорема 12.6. и лемма 26.4.
- ^ Факкини 1998 , Лемма 2.11.
- ^ Факкини 1998 , Следствие 2.55.
Ссылки
[ редактировать ]- Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , МР 1245487
- Фрэнк В. Андерсон, Лекции по некоммутативным кольцам. Архивировано 13 июня 2021 г. в Wayback Machine , Университет Орегона, осень 2002 г.
- Факкини, Альберто (16 июня 1998 г.). Теория модулей: кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5908-9 .
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7
- Ю. Лам, работы Басса по теории колец и проективным модулям [MR 1732042]
- Процессези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387260402 .
- Р. Уорфилд: Обменные кольца и разложения модулей, Матем. Аннален 199 (1972), 31–36.