Идемпотент (теория колец)

В теории колец , разделе математики , идемпотентным элементом или просто идемпотентом кольца , называется элемент a такой что ² = а . То есть элемент идемпотентен относительно умножения кольца. Индуктивно тогда можно также заключить, что a = a ² = а ³ = а ⁴ = ... = а ^н для любого положительного целого числа n . Например, идемпотентный элемент матричного кольца — это в точности идемпотентная матрица .

Для общих колец элементы, идемпотентные относительно умножения, участвуют в разложениях модулей и связаны с гомологическими свойствами кольца. В булевой алгебре основным объектом изучения являются кольца, в которых все элементы идемпотентны как относительно сложения, так и умножения.

Примеры

Частные Z

Можно рассмотреть кольцо целых чисел по модулю n , где n не содержит квадратов . По китайской теореме об остатках это кольцо разлагается на произведение колец целых чисел по модулю p , где p — простое число . Теперь каждый из этих факторов является полем , поэтому ясно, что единственными идемпотентами факторов будут 0 и 1 . То есть каждый фактор имеет два идемпотента. Значит, если есть m факторов, то их будет 2. ^м идемпотенты.

проверить это для целых чисел mod 6 , R = Z /6 Z. Мы можем Поскольку число 6 имеет два простых делителя ( 2 и 3 ), оно должно иметь 2. ² идемпотенты.

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (мод. 6)

1 ² ≡ 1 ≡ 1 (мод. 6)

2 ² ≡ 4 ≡ 4 (против 6)

3 ² ≡ 9 ≡ 3 (против 6)

4 ² ≡ 16 ≡ 4 (против 6)

5 ² ≡ 25 ≡ 1 (против 6)

В результате этих вычислений 0 , 1 , 3 и 4 являются идемпотентами этого кольца, а 2 и 5 — нет. Это также демонстрирует свойства разложения, описанные ниже: поскольку + 4 ≡ 1 (mod 6) , существует кольцевое разложение 3 Z /6 Z ⊕ 4 Z /6 Z. 3 В 3 Z /6 Z мультипликативное тождество равно 3 + 6 Z в 4 Z /6 Z мультипликативное тождество равно 4 + 6 Z. , а

Частное полиномиального кольца

Даны кольцо R и элемент f ∈ R такие, что f ² ≠ 0 , факторкольцо

Р / ( ф ² - е )

имеет идемпотент f . Например, это можно применить к x ∈ Z [ x ] или любому многочлену f ∈ k [ x ₁ , ..., x _n ] .

Идемпотенты в кольцах расщепленных кватернионов

существует гиперболоид идемпотентов В кольце расщепленных кватернионов .

Виды кольцевых идемпотентов

Неполный список важных типов идемпотентов включает:

• Два идемпотента a и b называются ортогональными , если ab = ba = 0 . Если a идемпотентно в кольце R (с единицей ), то идемпотентно и b = 1 − a ; более того, a и b ортогональны.
• Идемпотент a в R называется идемпотентом, ax = xa для всех x в R , то есть если a находится в центре R. если центральным
• Тривиальный идемпотент относится к любому из элементов 0 и 1 , которые всегда идемпотентны.
• Примитивным идемпотентом кольца R называется ненулевой идемпотент a такой, что неразложим как R правый aR -модуль; то есть такой, что aR не является прямой суммой двух ненулевых подмодулей . Эквивалентно, a является примитивным идемпотентом, если его нельзя записать как = e + f , где e и f — ненулевые ортогональные идемпотенты в R. a
• Локальный идемпотент — это идемпотент a такой, что aRa — локальное кольцо . Это означает, что aR непосредственно неразложимо, поэтому локальные идемпотенты также примитивны.
• Правый неприводимый идемпотент — это идемпотент a, для которого aR — простой модуль . По Шура лемме End _R ( aR ) = aRa и — тело , следовательно, локальное кольцо, поэтому правые (и левые) неприводимые идемпотенты локальны.
• Центрально примитивный идемпотент — это центральный идемпотент a , который нельзя записать в виде суммы двух ненулевых ортогональных центральных идемпотентов.
• идемпотент a + I в факторкольце R / I Говорят, что поднимается по модулю I, существует идемпотент b в R такой, что b + I = a + I. если
• Идемпотент a кольца R называется полным идемпотентом если RaR = R. ,
• Идемпотент отделимости ; см. Сепарабельная алгебра .

Любой нетривиальный идемпотент a является делителем нуля (поскольку ab = 0, причем ни a, ни b не равны нулю, где b = 1 − a ). Это показывает, что области целостности и тела не имеют таких идемпотентов. Локальные кольца также не имеют таких идемпотентов, но по другой причине. Единственный идемпотент, содержащийся в радикале Джекобсона кольца, — это 0 .

Кольца, характеризующиеся идемпотентами

• Кольцо, в котором все элементы идемпотентны, называется булевым кольцом . Некоторые авторы используют для этого типа колец термин «идемпотентное кольцо». В таком кольце умножение коммутативно , и каждый элемент является своим аддитивным обратным .
• Кольцо полупросто тогда и только тогда, когда каждый правый (или каждый левый) идеал порождается идемпотентом.
• Кольцо регулярно по фон Нейману тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный правый (или каждый конечно порожденный левый) идеал порождается идемпотентом.
• Кольцо, у которого аннулятор r .Ann( S ) каждого подмножества S кольца R порождён идемпотентом, называется кольцом Бэра . Если условие выполняется только для всех одноэлементных подмножеств R , то кольцо является правым кольцом Риккарта . Оба этих типа колец интересны даже тогда, когда им не хватает мультипликативной идентичности .
• Кольцо, в котором все идемпотенты центральные, называется абелевым кольцом . Такие кольца не обязательно должны быть коммутативными.
• Кольцо является непосредственно неприводимым тогда и только тогда, когда 0 и 1 — единственные центральные идемпотенты.
• Кольцо R можно записать как e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n R , где каждое e _i является локальным идемпотентом тогда и только тогда, когда R — полусовершенное кольцо .
• Кольцо называется кольцом SBI или кольцом Lift/rad, если все идемпотенты R поднимаются по модулю радикала Джекобсона .
• Кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепочки на правых прямых слагаемых тогда и только тогда, когда кольцо удовлетворяет условию убывающей цепочки на левых прямых слагаемых тогда и только тогда, когда каждое множество попарно ортогональных идемпотентов конечно.
• Если a идемпотентно в кольце R , то aRa снова является кольцом с мультипликативным тождеством a . Кольцо aRa называют угловым кольцом кольца R. часто Угловое кольцо возникает естественным образом, поскольку кольцо эндоморфизмов End _R ( aR ) ≅ aRa .

Роль в разложениях

Идемпотенты R имеют важную связь с разложением R - модулей . Если M — R -модуль и E = End _R ( M ) — его кольцо эндоморфизмов , то A ⊕ B = M тогда и только тогда, когда существует единственный идемпотент e в E такой, что A = eM и B = (1 − д ) М. ​Ясно, что M непосредственно неразложимо тогда и только тогда, когда 0 и 1 — единственные идемпотенты в E .

В случае, когда M = R (предполагается единичным), кольцо эндоморфизмов End _R ( R ) = R , где каждый эндоморфизм возникает как левое умножение на фиксированный элемент кольца. С этой модификацией обозначений A ⊕ B = R когда существует единственный идемпотент e такой, что eR = A и (1 − e ) R = B. как правые модули тогда и только тогда , Таким образом, каждое прямое слагаемое R порождается идемпотентом.

Если a — центральный идемпотент, то угловое кольцо aRa = Ra — кольцо с мультипликативным тождеством a . Подобно тому, как идемпотенты определяют прямое разложение R как модуля, центральные идемпотенты R определяют разложение R как прямую сумму колец. Если R — прямая сумма колец R ₁ , ..., R _n , то единичные элементы колец R _i являются центральными идемпотентами в R , попарно ортогональными, и их сумма равна 1 . Обратно, если даны центральные идемпотенты a ₁ , ..., an _, в R , попарно ортогональные и имеющие сумму 1 , то R является прямой суммой колец Ra ₁ , ... Ra _n . Так, в частности, каждый центральный идемпотент a в R приводит к разложению R в прямую сумму угловых колец aRa и (1 - a ) R (1 - a ) . В результате кольцо R непосредственно неразложимо как кольцо тогда и только тогда, когда тождество 1 центрально примитивно.

Действуя индуктивно, можно попытаться разложить 1 на сумму центрально примитивных элементов. Если 1 является центрально примитивным, мы закончили. В противном случае это сумма центральных ортогональных идемпотентов, которые, в свою очередь, являются примитивными, или суммы более центральных идемпотентов и так далее. Проблема, которая может возникнуть, заключается в том, что это может продолжаться бесконечно, создавая бесконечное семейство центральных ортогональных идемпотентов. Условие « R не содержит бесконечных наборов центральных ортогональных идемпотентов » является разновидностью условия конечности кольца. Этого можно добиться разными способами, например, потребовав, чтобы кольцо было нётеровским . Если существует разложение R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕ c _n R , где каждый c _i является центрально примитивным идемпотентом, то R является прямой суммой угловых колец c _i Rc _i , каждое из которых является кольцом нередуцируемый.

Для ассоциативных алгебр или йордановых алгебр над полем разложение Пирса представляет собой разложение алгебры в сумму собственных пространств коммутирующих идемпотентных элементов.

Связь с инволюциями

Если a — идемпотент кольца эндоморфизмов End _R ( M ) , то эндоморфизм f = 1−2 a является R - инволюцией кольца M. модуля То есть f — гомоморфизм R - модуля такой, что f ² является тождественным эндоморфизмом M .

Идемпотентный элемент a из R и связанная с ним инволюция f порождают две инволюции модуля R в зависимости от того, рассматривается ли R как левый или правый модуль. Если r представляет произвольный элемент R , f можно рассматривать как правого R гомоморфизм -модуля r ↦ fr, так что ffr = r , или f также можно рассматривать как левого R гомоморфизм -модуля r ↦ rf , где rff = r .

Этот процесс можно обратить вспять, если является обратимым элементом R 2 : если b — инволюция, то 2 ⁻¹ (1 - б ) и 2 ⁻¹ (1 + b ) — ортогональные идемпотенты, соответствующие a и 1 − a . Таким образом, для кольца, в котором 2 обратимо, идемпотентные элементы соответствуют взаимно однозначно инволюциям.

Категория R -модулей

Подъем идемпотентов также имеет серьезные последствия для категории R -модулей . Все идемпотенты поднимаются по модулю I тогда и только тогда, когда каждое R прямое слагаемое R / I имеет проективное накрытие как R -модуль. Идемпотенты всегда поднимают по модулю ноль идеалы и кольца, для которых R - I адически полно .

Подъем наиболее важен, когда J ( R ) — радикал Джекобсона R. I = Еще одна характеристика полусовершенных колец состоит в том, что они являются полулокальными кольцами , идемпотенты которых поднимаются по модулю J( R ) .

Решетка идемпотентов

можно определить Частичный порядок идемпотентов кольца следующим образом: если a и b являются идемпотентами, мы пишем a ≤ b тогда и только тогда, когда ab = ba = a . По отношению к этому порядку 0 — наименьший, а 1 — наибольший идемпотент. Для ортогональных идемпотентов и b a a + b также идемпотентно, и мы имеем a ≤ a + b и b ≤ a + b . Атомы . этого частичного порядка являются именно примитивными идемпотентами

Когда вышеупомянутый частичный порядок ограничен центральными идемпотентами R , может быть задана решетчатая структура или даже структура булевой алгебры . Для двух центральных идемпотентов e и f дополнение имеет вид

¬ е знак равно 1 - е ,

встречу ​ дает

е ∧ ж знак равно ef .

и соединение задается

е ∨ ж знак равно ¬(¬ е ∧ ¬ f ) знак равно е + ж - ef

Теперь порядок становится просто e ≤ f тогда и только тогда, когда eR ⊆ f R , а соединение и встреча удовлетворяют ( e ∨ f ) R = eR + f R и ( e ∧ f ) R = eR ∩ f R = ( eR ) ( ж р ) . Это показано в Goodearl 1991 , с. 99, что если R регулярно по фон Нейману и самоинъективно справа , то решетка является полной решеткой .

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97845-1
• идемпотент в FOLDOC
• Гудирл, КР (1991), регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.), Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. xviii+412, ISBN  0-89464-632-Х , МР   1150975
• Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2004), Алгебры, кольца и модули. Том. 1 , Математика и ее приложения, вып. 575, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xii+380, ISBN  1-4020-2690-0 , МР   2106764
• Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN.  0-387-95183-0 , МР   1838439
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, стр. 443, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001
• Пирс, Бенджамин (1870), Линейная ассоциативная алгебра
• Польчино Мильес, Сезар; Сегал, Сударшан К. (2002), Введение в групповые кольца , Алгебры и приложения, том. 1, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xii+371, doi : 10.1007/978-94-010-0405-3 , ISBN  1-4020-0238-6 , МР   1896125