Разложение Пирса

В теории колец / разложение Пирса ˈ p ɜːr s / представляет собой разложение алгебры в сумму собственных пространств коммутирующих идемпотентных элементов . Разложение Пирса для ассоциативных алгебр было введено Бенджамином Пирсом ( 1870 , предложение 41, стр. 13). Аналогичное, но более сложное разложение Пирса для йордановых алгебр было введено Альбертом (1947) .

Пирса для

Если e — идемпотент ( e ² = e ) в ассоциативной алгебре A , то двустороннее разложение Пирса записывает A как прямую сумму eAe , eA (1 - e ), (1 - e ) Ae и (1 - e ) A (1 - e) ). Существуют также левые и правые разложения Пирса, где левое разложение записывает A как прямую сумму eA и (1 - e ) A , а правое записывает A как прямую сумму Ae и A (1 - e ).

В более общем смысле, если e ₁ , ..., являются _en взаимно ортогональными идемпотентами с суммой 1, то A является прямой суммой пространств e _i Ae _j для 1 ⩽ i , j ⩽ n .

Блоки

Идемпотент кольца называется центральным , если он коммутирует со всеми элементами кольца.

Два идемпотента e , f называются ортогональными , если ef = fe = 0.

Идемпотент называется примитивным, если он ненулевой и не может быть записан в виде суммы двух ортогональных ненулевых идемпотентов.

Идемпотент e называется блочным или центрально-примитивным, если он ненулевой и центральный и не может быть записан в виде суммы двух ортогональных ненулевых центральных идемпотентов. В этом случае идеальный eR иногда называют также блоком.

Если единицу 1 кольца R можно записать в виде суммы

1 = е ₁ + ... + е _н

ортогональных ненулевых центрально примитивных идемпотентов, то эти идемпотенты единственны с точностью до порядка и называются блоками или кольцом R . В этом случае кольцо R можно записать в виде прямой суммы

Р = е ₁ Р + ... + е _п Р

неразложимых колец, которые иногда называют также блоками R .

Ссылки

• Альберт, А. Адриан (1947), «Структурная теория йордановых алгебр», Annals of Mathematics , Вторая серия, 48 : 546–567, doi : 10.2307/1969128 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969128 , MR   0021546
• Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-95183-6 , МР   1838439
• Пирс, Бенджамин (1870), Линейная ассоциативная алгебра , ISBN  978-0-548-94787-6
• Скорняков, Л.А. (2001) [1994], «Разложение Пирса» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

• «Разложение Пирса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Разложение Пирса на http://www.tricki.org/