Нулевой идеал
В математике , а точнее в теории колец , левый, правый или двусторонний идеал кольца если называется нулевым идеалом, каждый из его элементов нильпотентен . [1] [2]
Нильрадикал ; коммутативного кольца является примером нулевого идеала фактически, это идеал кольца, максимальный относительно свойства быть нулевым. К сожалению, множество нильпотентных элементов не всегда образует идеал некоммутативных колец . Нулевые идеалы все еще связаны с интересными открытыми вопросами , особенно с нерешенной гипотезой Кете .
Коммутативные кольца
[ редактировать ]В коммутативных кольцах ниль-идеалы понятнее, чем в некоммутативных кольцах, прежде всего потому, что в коммутативных кольцах нильпотентны как произведения, содержащие нильпотентные элементы , так и суммы нильпотентных элементов. Это связано с тем, что если a и b — нильпотентные элементы R с a н = 0 и б м = 0, и r — любой элемент из R , то ( a · r ) н = а н · р н = 0, и по биномиальной теореме ( a + b ) м + н = 0. Следовательно, множество всех нильпотентных элементов образует идеал, известный как ниль-радикал кольца. Поскольку ниль-радикал содержит каждый нильпотентный элемент, идеал коммутативного кольца равен нулю тогда и только тогда, когда он является подмножеством ниль-радикала, и поэтому ниль-радикал является максимальным среди ненулевых идеалов. Более того, для любого нильпотентного элемента a коммутативного кольца R идеал aR равен нулю. Однако для некоммутативного кольца, вообще говоря, неверно, что множество нильпотентных элементов образует идеал или что a · R является ниль- (односторонним) идеалом, даже если a нильпотентен.
Некоммутативные кольца
[ редактировать ]Теория ниль-идеалов имеет важное значение в некоммутативной теории колец. В частности, благодаря пониманию ниль-колец — колец, каждый элемент которых нильпотентен, — можно получить гораздо лучшее понимание более общих колец. [3]
В случае коммутативных колец всегда существует максимальный ниль-идеал: нильрадикал кольца. Существование такого максимального ниль-идеала в случае некоммутативных колец гарантируется тем, что сумма ниль-идеалов снова равна нулю. Однако истинность утверждения о том, что сумма двух левых нулевых идеалов снова является левым нулевым идеалом, остается неуловимой; это открытая проблема, известная как гипотеза Кете . [4] Гипотеза Кете была впервые сформулирована в 1930 году и по состоянию на 2023 год остается нерешенной.
Отношение к нильпотентным идеалам
[ редактировать ]Понятие ниль-идеала глубоко связано с понятием нильпотентного идеала , и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, равен нулю. Есть два основных препятствия на пути к нильпотентности нулевых идеалов:
- Не обязательно должна быть верхняя граница показателя степени, необходимой для уничтожения элементов. Могут потребоваться произвольно высокие показатели степени.
- Произведение n нильпотентных элементов может быть отличным от нуля для сколь угодно большого n .
Очевидно, что необходимо избегать обоих этих барьеров, чтобы нулевой идеал мог квалифицироваться как нильпотентный.
В правом артиновом кольце любой нулевой идеал нильпотентен. [5] Это доказывается наблюдением того, что любой нулевой идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (в силу артиновой гипотезы), результат следует следующим образом. Фактически, это было обобщено на право нетеровы кольца ; результат известен как теорема Левицкого . Особенно простое доказательство Утуми можно найти в ( Herstein 1968 , теорема 1.4.5, стр. 37).
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Айзекс 1993 , с. 194
- ^ Herstein 1968 , определение (b), с. 13
- ^ Раздел 2 Смоктуновича 2006 , с. 260
- ^ Херштейн 1968 , с. 21
- ^ Айзекс 1993 , следствие 14.3, с. 195.
Ссылки
[ редактировать ]- Херштейн, Индиана (1968), Некоммутативные кольца (1-е изд.), Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-015-Х
- Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец» (PDF) , Международный конгресс математиков, Vol. II , Цюрих: Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN. 978-3-03719-022-7 , MR 2275597 , получено 19 августа 2009 г.